数学选择性必修 第一册2.7.1 抛物线的标准方程课堂检测

这是一份数学选择性必修 第一册2.7.1 抛物线的标准方程课堂检测，共11页。试卷主要包含了若抛物线C，已知点M是抛物线C等内容，欢迎下载使用。

基础过关练
题组一 抛物线的定义及轨迹问题
1.(2020山西临汾一中月考)在平面内,“点P到某定点的距离等于其到某条定直线的距离”是“点P的轨迹为抛物线”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.若点M(x,y)满足x2+y2=|3x+4y-1|5,则动点M的轨迹是( )
A.直线B.圆
C.椭圆D.抛物线
3.(2020四川成都七中高二期中)设圆C与圆x2+(y-3)2=1外切,与直线y=0相切,则C的圆心轨迹为( )
A.抛物线B.双曲线
C.椭圆D.圆
4.若动点P到定点F(1,1)的距离与它到直线l:3x+y-4=0的距离相等,则动点P的轨迹是( )
A.椭圆B.双曲线
C.抛物线D.直线
题组二 抛物线的标准方程
5.若抛物线的焦点坐标为(0,-3),则抛物线的标准方程是 ( )
A.y2=-6xB.y2=-12x C.x2=-6yD.x2=-12y
6.(2020安徽蚌埠高二月考)若点(3,5)在抛物线y2=mx(m≠0)的准线上,则该抛物线的标准方程为( )
A.y2=12xB.y2=20x C.y2=-12x D.y2=-20x
7.(2020浙江余姚高二期末)若抛物线y2=2px的焦点与双曲线x25-y24=1的右焦点重合,则下列各点中,在抛物线y2=2px上的是( )
A.(1,2)B.(3,-6) C.(2,-2)D.(1,6)
8.(2020山东省实验中学高二期中)已知d为抛物线y=2px2(p>0)的焦点到其准线的距离,则pd的值等于( )
A.12p2 B.p2 C.12 D.14
9.若抛物线C:y=ax2经过点(4,2),则抛物线的焦点坐标为 .
10.(2020广东茂名高二期中)已知点M是抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,F为C的焦点,MF的中点坐标是(2,2),则p的值为 .
11.(2020重庆酉阳一中高二月考)动圆P与定圆A:(x+2)2+y2=1外切,且与直线l:x=1相切,求动圆的圆心P的轨迹方程.
12.若抛物线y2=(m+1)x的焦点到点(0,-4)的距离等于5,求实数m的值.
能力提升练
题组一 抛物线定义的应用
1.(2020黑龙江哈尔滨六中高二期中,)过焦点为F的抛物线y2=12x上一点M向其准线作垂线,垂足为N,若|NF|=10,则|MF|=( )
A.163B.253C.283D.323
2.(2020广西南宁三中高二月考,)已知点F是抛物线y=2x2的焦点,M,N是该抛物线上的两点,若|MF|+|NF|=174,则线段MN的中点的纵坐标为( )
A.32B.2C.52D.3
3.(2020四川成都外国语学校高二期中,)抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,连接PF并延长交抛物线C于点Q,若|PF|=45|PQ|,则|QF|=( )
A.3B.4C.5D.6
4.(2020广东肇庆高二期中,)已知点A(3,0),点P在抛物线y2=4x上,过点P的直线与直线x=-1垂直相交于点B,|PB|=|PA|,则cs∠APB的值为( )
A.12B.13C.-12D.-13
5.(2020山东潍坊一中高二月考,)设F为抛物线y2=4x的焦点,A,B,C为该抛物线上三个不同的点,若FA+FB+FC=0,则|FA|+|FB|+|FC|= .
6.(2020山西太原高二期中,)已知点F为抛物线y2=-8x的焦点,O为原点,点P是抛物线准线上一动点,A在抛物线上,且|AF|=4,则|PA|+|PO|的最小值是 .
7.(2020甘肃武威高二月考,)如图,已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,A是抛物线上横坐标为4,且位于x轴上方的点,点A到抛物线准线的距离等于5,过点A作AB垂直于y轴,垂足为点B,OB的中点为M.
(1)求抛物线的方程;
(2)过点M作MN⊥FA,垂足为N,求点N的坐标.
8.(2020吉林通化一中高二月考,)设P是抛物线y2=4x上的一个动点,F为抛物线的焦点.
(1)若点P到直线x=-1的距离为d,A(-1,1),求|PA|+d的最小值;
(2)若B(3,2),求|PB|+|PF|的最小值.
题组二 抛物线的方程及应用
9.(2020河南濮阳高二月考,)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在抛物线上,且|MO|=|MF|=32,O为坐标原点,则OM·MF=( )
A.94B.74C.-94D.-74
10.(2020河北景县中学高二期中,)抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,O为坐标原点,M为抛物线上一点,且|MF|=4|OF|,△MFO的面积为43,则抛物线方程为( )
A.y2=6xB.y2=8x
C.y2=16xD.y2=152x
11.(2020安徽蚌埠高二月考,)已知抛物线x2=4y的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,过P作PA⊥l于点A,当∠AFO=30°(O为坐标原点)时,|PF|=( )
A.43B.83C.2D.3
12.(多选)(2020山东省实验中学高二月考,)已知抛物线C:x2=3y的焦点为F,过点F的直线l交抛物线C于A,B两点,其中点A在第一象限,若弦AB的长为4,则( )
A.直线l的倾斜角为30°或150°
B.|AF|-|BF|=4
C.|AF||BF|=13或3
D.S△AOB=92
答案全解全析
基础过关练
1.B 若点P的轨迹为抛物线,则点P到某定点的距离等于其到某条定直线的距离,但若点P到某定点的距离等于其到某条定直线的距离,且该定点在该定直线上,则点P的轨迹就不是抛物线,故应为必要不充分条件.
2.D 依题意,动点M到点(0,0)的距离等于其到定直线3x+4y-1=0的距离,且点(0,0)不在直线3x+4y-1=0上,因此动点M的轨迹是抛物线.
3.A 由题意知,圆C的圆心到点(0,3)的距离比到直线y=0的距离大1,即圆C的圆心到点(0,3)的距离与到直线y=-1的距离相等,根据抛物线的定义可知,所求轨迹是抛物线.
4.D 设动点P的坐标为(x,y),则由题意可得(x-1)2+(y-1)2=|3x+y-4|10,化简、整理,得x-3y+2=0,所以动点P的轨迹为直线.
5.D 依题意,设抛物线的标准方程为x2=-2py(p>0),又p2=3,所以p=6,2p=12,故抛物线的标准方程为x2=-12y.
6.C 由于点(3,5)在抛物线y2=mx(m≠0)的准线上,所以准线方程必为x=3,因此m<0,且-m4=3,故m=-12,即抛物线的标准方程为y2=-12x.
7.B 双曲线x25-y24=1的右焦点为(3,0),所以抛物线y2=2px的焦点为(3,0),因此抛物线方程为y2=12x,结合选项知点(3,-6)在该抛物线上.故选B.
8.D 抛物线方程可化为x2=12py,所以d=14p,故pd=p·14p=14.
9.答案 (0,2)
解析 依题意有2=a·42,所以a=18,因此抛物线方程为x2=8y,其焦点坐标为(0,2).
10.答案 4
解析 依题意,有Fp2,0,设My022p,y0,则有p2+y022p=2×2,0+y0=2×2,所以p=4.
11.解析 设动圆P的半径为r,由题意可得定圆A的圆心A(-2,0),半径为1,
所以|PA|=r+1.
因为动圆P与直线l:x=1相切,所以圆心P到直线l的距离d=r,所以|PA|=d+1,即P到A(-2,0)的距离比P到直线l的距离大1,因此P到A(-2,0)的距离与到直线x=2的距离相等,故P的轨迹是以A为焦点,x=2为准线的抛物线,易知其方程为y2=-8x.
12.解析 当m+1>0,即m>-1时,2p=m+1,p2=m+14,所以焦点为m+14,0,
依题意有m+142+42=5,解得m=11或m=-13(舍去);
当m+1<0,即m<-1时,2p=-(m+1),p2=-m+14,所以焦点为m+14,0,
依题意有m+142+42=5,解得m=11(舍去)或m=-13.
综上,m的值为11或-13.
能力提升练
1.B 记准线与x轴的交点为A,因为|AF|=6,|NF|=10,所以|AN|=8,即点M的纵坐标为8或-8,设点M的横坐标为xM,则xM=6412=163,故|MF|=163+3=253.
2.B 抛物线的标准方程为x2=12y,设线段MN的中点为Q(x0,y0),过M,N,Q作准线的垂线,垂足分别为M1,N1,Q1,则有|MF|+|NF|=|MM1|+|NN1|=2|QQ1|=174,所以|QQ1|=178,因此y0+18=178,解得y0=2.
3.C 设Q到l的距离为d,则由抛物线的定义可得,|QF|=d,
∵|PF|=45|PQ|,∴|PQ|=5|QF|=5d,
不妨设Q在第四象限,则直线PF的斜率为-(5d)2-d2d=-26,
∵F(2,0),∴直线PF的方程为y=-26(x-2),与y2=8x联立可得3x2-13x+12=0,解得x=3或x=43,由题意可得点Q的横坐标大于2,故x=3,∴|QF|=d=3+2=5.故选C.
4.D 易知抛物线的焦点F(1,0),由过抛物线y2=4x上一点P的直线与直线x=-1垂直相交于点B,可得|PB|=|PF|,又|PB|=|PA|,故|PA|=|PF|,所以P的坐标为(2,±22),可得|AB|=26,由余弦定理可得cs∠APB=|PB|2+|PA|2-|AB|22·|PB|·|PA|=32+32-(26)22×3×3=-13.
5.答案 6
解析 易知F(1,0),因为FA+FB+FC=0,所以点F为△ABC的重心,设A,B,C三点的横坐标分别为xA,xB,xC,则xA+xB+xC3=1,故|FA|+|FB|+|FC|=xA+1+xB+1+xC+1=6.
6.答案 213
解析 由|AF|=4及抛物线的定义可得A到准线的距离为4,所以A点横坐标为-2,因此A(-2,±4).又原点关于准线的对称点B的坐标为(4,0),所以|PA|+|PO|的最小值为|AB|=36+16=213.
7.解析 (1)抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=-p2,于是4+p2=5,所以p=2,
所以抛物线的方程为y2=4x.
(2)由题意得A(4,4),B(0,4),M(0,2).
又F(1,0),所以kAF=43,则直线FA的方程为y=43(x-1).
因为MN⊥FA,所以kMN=-34,则直线MN的方程为y=-34x+2.
解方程组y=-34x+2,y=43(x-1)得x=85,y=45,所以N85,45.
8.解析 (1)依题意,抛物线的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1.由已知及抛物线的定义,可知|PF|=d,于是问题转化为求|PA|+|PF|的最小值.由平面几何知识知,当F,P,A三点共线时,|PA|+|PF|取得最小值,最小值为|AF|=5,即|PA|+d的最小值为5.
(2)把点B的横坐标代入y2=4x中,得y=±23,因为23>2,所以点B在抛物线的内部.过B作BQ垂直准线于点Q,交抛物线于点P1(如图所示).由抛物线的定义,可知|P1Q|=|P1F|,则|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q|=|BQ|=3+1=4,所以|PB|+|PF|的最小值为4.
9.D 易知Fp2,0,不妨设M(m,2pm).因为|MO|=|MF|=32,所以m2+2pm=94且m+p2=32,又p>0,所以m=12,p=2,所以M12,2,F(1,0),故OM·MF=-74.
10.B 依题意有Fp2,0,所以|MF|=4×p2=2p,设M(x0,y0),由抛物线的定义知M点的横坐标x0=2p-p2=3p2,因此其纵坐标y0满足y02=2p·3p2=3p2,故|y0|=3p,又△MFO的面积为43,所以12·p2·3p=43,所以p=4,故抛物线方程为y2=8x.
11.A 设l与y轴交于点B,在Rt△ABF中,∠AFB=30°,|BF|=2,所以|AB|=233.
设P(x0,y0),则x0=±233,于是y0=13,从而|PF|=|PA|=y0+1=43.
AC 由题意知F0,34,故可设直线l的方程为y=kx+34(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),联立x2=3y,y=kx+34,消去y,
整理得4x2-12kx-9=0,
∴x1+x2=3k,x1x2=-94,
∴|AB|=1+k2|x1-x2|=1+k2·(x1+x2)2-4x1x2=3(1+k2)=4,∴k=±33,所以直线l的倾斜角为30°或150°.设|AF||BF|=λ,则当直线l的倾斜角为30°时,|AF|+|BF|=(λ+1)|BF|=4,|AF|-|BF|=(λ-1)|BF|=2,∴(λ+1)|BF|(λ-1)|BF|=42=2,∴λ+1λ-1=2,∴λ=3,即|AF||BF|=3;同理可得当直线l的倾斜角为150°时,λ=13.S△AOB=12×|OF|×|x1-x2|=12×34×(x1+x2)2-4x1x2=12×34×3-4×-94=334.故选AC.