数学选择性必修 第一册2.7.1 抛物线的标准方程一等奖ppt课件

课后素养落实(二十三)　抛物线的标准方程

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．抛物线y＝4x2的焦点坐标是(　　)

A．(0，1) 　　B．(1，0)　　C．　　D．

C　[由y＝4x2得x2＝y，∴焦点在y轴正半轴上且2p＝，∴p＝，∴焦点为．]

2．顶点在原点，且过点(－4，4)的抛物线的标准方程是(　　)

A．y2＝－4x B．x2＝4y

C．y2＝－4x或x2＝4y D．y2＝4x或x2＝－4y

C　[∵抛物线的顶点在原点，且过点(－4，4)，设抛物线的标准方程为x2＝2py(p＞0)或y2＝－2px(p＞0)，将点(－4，4)的坐标代入x2＝2py得16＝8p，∴p＝2，∴标准方程为x2＝4y；将(－4，4)代入y2＝－2px得p＝2，∴此时标准方程为y2＝－4x．]

3．已知函数y＝2x在区间[0，1]的最大值为a，则抛物线＝ax的准线方程是(　　)

A．x＝－3　　B．x＝－6　　C．x＝－9　　D．x＝－12

B　[函数y＝2x在[0，1]上为增函数，∴最大值为a＝2．

∴抛物线＝2x化为标准方程是y2＝24x，则2p＝24，p＝12，＝6．∴抛物线＝2x的准线方程为x＝－6．]

4．抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－＝1的渐近线的距离是(　　)

A．　　B．　　C．1　　D．

B　[抛物线y2＝4x的焦点是(1，0)，双曲线x2－＝1的一条渐近线方程为x－y＝0，根据点到直线的距离公式可得d＝．]

5．设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，曲线y＝(k＞0)与C交于点P，PF⊥x轴，则k＝(　　)

A．　　B．1　　C．　　D．2

D　[易知抛物线的焦点为F(1，0)，设P(xP，yP)，由PF⊥x轴可得xP＝1，代入抛物线方程得yP＝2或yP＝－2(舍去)，把P(1，2)代入曲线方程y＝(k＞0)得k＝2．]

二、填空题

6．设抛物线y＝－2x2上一点P到x轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是________．

　[抛物线y＝－2x2上一点到x轴的距离为4，即点到x轴的距离d＝4，则点P的纵坐标为－4，代入x2＝－y，解得x＝±，所以点P(，－4)或(－，－4)，抛物线x2＝－y的焦点坐标为，所以|PF|＝＋4＝．]

7．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为________．

2　[由抛物线方程y2＝2px(p＞0)，得其准线方程为x＝－．又圆的方程为(x－3)2＋y2＝16，∴圆心为(3，0)，半径为4．依题意，得3－＝4，解得p＝2．]

8．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽________米．

2　[以抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴建立平面直角坐标系(图略)．设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)，则点(2，－2)在抛物线上，代入可得p＝1，抛物线方程为x2＝－2y．当y＝－3时，x2＝6，所以水面宽为2米．]

三、解答题

9．根据下列条件求抛物线的标准方程．

(1)抛物线的焦点是双曲线16x2－9y2＝144的左顶点；

(2)抛物线的焦点F在x轴正半轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，|AF|＝5．

[解]　(1)双曲线方程化为－＝1，

左顶点为(－3，0)．

由题意设抛物线方程为y2＝－2px(p＞0)且＝－3，

∴p＝6，∴抛物线方程为y2＝－12x．

(2)设所求焦点在x轴正半轴上的抛物线方程为

y2＝2px(p＞0)，A(m，－3)．

由抛物线定义得5＝|AF|＝．

又(－3)2＝2pm，

∴p＝1或p＝9，

故所求抛物线方程为y2＝2x或y2＝18x．

10．已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴的正半轴上，设A，B是抛物线C上的两个动点(AB不垂直于x轴)，且|AF|＋|BF|＝8，线段AB的垂直平分线恒经过定点Q(6，0)，求抛物线的方程．

[解]　设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)，

则其准线为x＝－．

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为|AF|＋|BF|＝8，

所以x1＋＋x2＋＝8，

即x1＋x2＝8－p．

因为Q(6，0)在线段AB的垂直平分线上，所以|QA|＝|QB|，

即＝，

又y＝2px1，y＝2px2，

所以(x1－x2)(x1＋x2－12＋2p)＝0，

因为AB与x轴不垂直，所以x1≠x2．

故x1＋x2－12＋2p＝8－p－12＋2p＝0，即p＝4．

从而抛物线的方程为y2＝8x．

1．(多选题)在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l．设l与x轴的交点为K，P为抛物线C上异于O的任意一点，P在l上的射影为E，∠EPF的外角平分线交x轴于点Q，过Q作QM⊥PF交PF于M，过Q作QN⊥EP交线段EP的延长线于N，则(　　)

A．|PE|＝|PF| B．|PF|＝|QF|

C．|PN|＝|MF| D．|PN|＝|KF|

ABD　[如图，由抛物线的定义可知|PE|＝|PF|，故A正确；

因为PQ是∠EPF的外角平分线，所以∠FPQ＝∠NPQ，又EN∥KQ，所以∠NPQ＝∠PQF，所以∠FPQ＝∠PQF，所以|PF|＝|QF|，故B正确；若|PN|＝|MF|，则有△FMQ≌△PNQ，从而有|FQ|＝|PQ|，所以∠PFQ＝，此时P为定点，与P为抛物线C上异于O的任意一点矛盾，故C不正确；因为四边形KQNE是矩形，所以|EN|＝|KQ|，又|PE|＝|PF|＝|QF|，所以|PN|＝|KF|，故D正确．故选ABD．]

2．已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2＝8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|＝(　　)

A．3　　B．6　　C．9　　D．12

B　[∵抛物线C：y2＝8x的焦点为(2，0)，

准线方程为x＝－2，∴椭圆E的右焦点为(2，0)，

∴椭圆E的焦点在x轴上，设方程为＋＝1(a＞b＞0)，c＝2，∵e＝＝，∴a＝4，∴b2＝a2－c2＝12，

∴椭圆E的方程为＋＝1，

将x＝－2代入椭圆E的方程，解得A(－2，3)，B(－2，－3)，

∴|AB|＝6，故选B．]

3．抛物线C：y2＝2x的焦点坐标为________，经过点P(4，1)的直线l与抛物线C相交于A，B两点，且点P恰为AB的中点，F为抛物线的焦点，则|AF|＋|BF|＝________．

　9　[由抛物线C：y2＝2x，得2p＝2，p＝1，则＝，

∴抛物线的焦点F，过A作AM⊥准线，BN⊥准线，PK⊥准线，M，N，K分别为垂足．

则由抛物线定义可得|AM|＋|BN|＝|AF|＋|BF|，

再根据P为线段AB的中点，有(|AM|＋|BN|)＝|PK|＝，∴|AF|＋|BF|＝9．]

4．在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右支与焦点为F的抛物线x2＝2py(p＞0)交于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________．

y＝±x　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义可知|AF|＝y1＋，|BF|＝y2＋，|OF|＝，由|AF|＋|BF|＝y1＋＋y2＋＝y1＋y2＋p＝4|OF|＝2p，得y1＋y2＝p．

联立方程，得整理得－＋1＝0．

由根与系数的关系得y1＋y2＝－＝×b2＝p．

∴p＝p，即＝，解得＝，

∴双曲线的渐近线方程为y＝±x．]

如图，A地在B地北偏东45°方向，相距2 km处，B地与东西走向的高铁线(近似看成直线)l相距4 km．已知曲线形公路PQ上任意一点到B地的距离等于到高铁线l的距离，现要在公路旁建造一个变电房M(变电房与公路之间的距离忽略不计)，分别向A地、B地送电．

(1)试建立适当的直角坐标系，求曲线形公路PQ所在曲线的方程；

(2)问变电房M应建在相对A地的什么位置(方位和距离)，才能使得架设电路所用电线长度最短？并求出最短长度．

[解]　(1)如图，以经过点B且垂直于l(垂足为K)的直线为y轴，线段BK的中点O为原点，建立平面直角坐标系xOy，则B(0，2)，A(2，4)．

因为曲线形公路PQ上任意一点到B地的距离等于到高铁线l的距离，所以PQ所在的曲线是以B(0，2)为焦点，l为准线的抛物线．

设抛物线方程为x2＝2py(p＞0)，则p＝4，故曲线形公路PQ所在曲线的方程为x2＝8y．

(2)若要使架设电路所用电线长度最短，即使|MA|＋|MB|的值最小．

如图所示，过M作MH⊥l，垂足为H，依题意得|MB|＝|MH|，所以|MA|＋|MB|＝|MA|＋|MH|，故当A，M，H三点共线时，|MA|＋|MH|取得最小值，即|MA|＋|MB|取得最小值，此时M．

所以变电房M应建在A地正南方向且与A地相距 km处，此时所用电线长度最短，最短长度为6 km．