2020-2021学年1.1.1 空间向量及其运算第一课时导学案

第一课时　空间向量的概念、空间向量的加法及线性运算

一天，梭子鱼、虾和天鹅发现路上有一辆车装满了好吃的东西，于是就想把车子从路上拖下来，三个家伙一齐铆足了劲，使出了平生的力气一起拖车，可是，无论它们怎样用力，小车还是在老地方一步也不动．原来，天鹅使劲往天上提，虾一步步向后倒拖，梭子鱼又朝着池塘拉去．

[问题]　同学们，你知道为什么车会一动不动吗？

知识点一　空间向量

1．空间向量的概念

(1)定义：空间中既有大小又有方向的量称为空间向量；

(2)模(或长度)：向量的大小；

(3)表示方法：

①几何表示法：可以用有向线段来直观地表示向量，如始点为A终点为B的向量，记为，模为||；

②字母表示法：可以用小写字母a，b，c来表示向量，模为|a|，|b|，|c|.

2．几类特殊的向量

(1)零向量：始点和终点相同的向量称为零向量，记作0；

(2)单位向量：模等于1的向量称为单位向量；

(3)相等向量：大小相等、方向相同的向量称为相等向量；

(4)相反向量：方向相反、大小相等的向量称为相反向量；

(5)平行(共线)向量：方向相同或者相反的两个非零向量互相平行，此时表示这两个非零向量的有向线段所在的直线平行或重合．通常规定零向量与任意向量平行；

(6)共面向量：一般地，空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移后，都能在同一平面内，则称这些向量共面．

1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)零向量与任意向量平行．(　　)

(2)向量的长度与向量的长度相等．(　　)

(3)空间向量a用几何表示法表示时，表示该向量的有向线段的起点可任意选取．(　　)

答案：(1)√　(2)√　(3)√

2. 如图，在长、宽、高分别为AB＝3，AD＝2，AA1＝1的长方体ABCD­A1B1C1D1的八个顶点的两点为起点和终点的向量中，

(1)试写出与向量相等的所有向量；

(2)向量、与三个向量共面吗？

解：(1)与向量相等的所有向量(除它自身之外)有，及．

(2)因＝，向量，与三个向量共面．

知识点二　空间向量的线性运算

与空间向量的线性运算相关的结论

(1)＝－；

(2)在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，有＝＋＋；

(3)若O为空间中任意一点，则：

①点P是线段AB中点的充要条件是＝＋；

②若G为△ABC的重心，则＝(＋＋).　

1．向量线性运算的结果还是向量吗？

提示：是向量．

2．λa的长度是a的长度的λ倍吗？

提示：不是，应是|λ|倍．

1．化简－＋所得的结果是(　　)

A． 　　　　　　　　  B．

C．0     D．

答案：C

2．已知空间四边形ABCD中，＝a，＝b，＝c，则等于(　　)

A．a＋b－c     B．c－a－b

C．c＋a－b     D．c＋a＋b

解析：选B　＝＋＋＝－－＋＝－a－b＋c＝c－a－b.

3．化简：5(3a－2b)＋4(2b－3a)＝________．

答案：3a－2b

[例1]　(1)下列说法中正确的是(　　)

A．若|a|＝|b|，则a，b的长度相同，方向相同或相反

B．若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b|

C．空间向量的减法满足结合律

D．在四边形ABCD中，一定有＋＝

[解析]　|a|＝|b|，说明a与b模相等，但方向不确定．对于a的相反向量b＝－a，故|a|＝|b|，从而B正确．只定义加法具有结合律，减法不具有结合律；一般的四边形不具有＋＝，只有平行四边形才能成立．故A、C、D均不正确．

[答案]　B

(2)如图所示，以长方体ABCD­A1B1C1D1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中：

①试写出与是相等向量的所有向量；

②试写出的相反向量；

③若AB＝AD＝2，AA1＝1，求向量的模．

[解]　①与向量是相等向量的(除它自身之外)有，及．

②向量的相反向量为，，，．

③||＝

＝ ＝＝3.

空间向量有关概念问题的解题策略

(1)两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件；

(2)熟练掌握空间向量的有关概念、向量的加、减法的运算法则及向量加法的运算律是解决好这类问题的关键.　　

[跟踪训练]

1．给出以下结论：

①两个空间向量相等，则它们的始点和终点分别相同；

②在正方体ABCD­A1B1C1D1中，必有＝；

③若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p.其中正确的个数是(　　)

A．0　　　　　　　　  B．1

C．2     D．3

解析：选C　两个空间向量相等，它们的始点、终点不一定相同，故①不正确；在正方体ABCD­A1B1C1D1中，必有＝成立，故②正确；③显然正确．故选C.

2．(多选)已知正方体ABCD­A1B1C1D1的中心为O，则下列结论中正确的有(　　)

A．＋与＋是一对相反向量

B．－与－是一对相反向量

C．＋＋＋与＋＋＋是一对相反向量

D．－与－是一对相反向量

解析：选ACD　∵O为正方体的中心，∴＝－，＝－，故＋＝－(＋)，同理可得＋＝－(＋)，故＋＋＋＝－(＋＋＋)，∴A、C正确；∵－＝，－＝，∴－与－是两个相等的向量，∴B不正确；∵－＝，－＝＝－，∴－＝－(－)，∴D正确．

　　[例2]　(2021·济宁一中月考)如图，在正六棱柱ABCDEF­A1B1C1D1E1F1中，化简－＋＋＋，并在图中标出化简结果的向量．

[解]　在正六棱柱ABCDEF­A1B1C1D1E1F1中，四边形AA1F1F是平行四边形，所以＝．

同理＝，＝，＝，

所以－＋＋＋＝＋＋＋＋＝，如图．

 [母题探究]

(变设问)若本例条件不变，化简＋＋＋，并在图中标出化简结果的向量．

解：根据正六棱柱的性质知四边形BB1C1C，DD1E1E都是平行四边形，

所以＝，＝，所以＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＋＝．如图．

解决空间向量线性运算问题的方法

进行向量的线性运算，实质上是在正确运用向量的数乘运算及运算律的基础上进行向量求和，即通过作出向量，运用平行四边形法则或三角形法则求和．运算的关键是将相应的向量放到同一个三角形或平行四边形中．

[注意]　(1)向量减法是加法的逆运算，减去一个向量等于加上这个向量的相反向量；

(2)首尾相连的若干向量构成封闭图形时，它们的和向量为零向量．　

[跟踪训练]

在正方体ABCD­A1B1C1D1中，下列选项中化简后为零向量的是(　　)

A．＋＋ 　　　　  B．－＋

C．＋＋      D．＋＋

解析：选C　在选项C中，＋＋＝(＋)＋＝0.

　　[例3]　设A是△BCD所在平面外一点，G是△BCD的重心．求证： ＝.

[证明]　如图，连接BG，延长后交CD于点E，由G为△BCD的重心，

知＝．

由题意知E为CD的中点，

∴＝＋．

∴＝＋＝＋

＝＋

＝＋[(－)＋(－)]

＝.

利用数乘运算进行向量表示的技巧

(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量；

(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质．

[跟踪训练]

如图所示，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是(　　)

A．－a＋b＋c　　　　  B．a＋b＋c

C．－a－b＋c     D．a－b＋c

解析：选A　∵＝＋，＝＝c，

＝＝＝(－)＝(b－a)，

∴＝c＋(b－a).故选A.

1．(多选)下列命题正确的是(　　)

A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小

B．两个相反向量的和为零向量

C．只有零向量的模等于0

D．空间中任意两个单位向量必相等

解析：选ABC　空间向量都是即有大小又有方向的量，所以任意两个向量不能比较大小，A正确；大小相等，方向相反的两个向量称为相反向量；由向量的加法可知，B正确；C显然正确；任意两个单位向量的大小相等，但方向不一定相同，故不一定相等，D不正确．

2．已知正方体ABCD­A1B1C1D1，则下列各式运算结果不是的为(　　)

A．＋＋      B．＋＋

C．＋＋      D．＋＋

解析：选D　选项A中，＋＋＝＋＝；选项B中，＋＋＝＋(＋)＝＋＝；选项C中，＋＋＝＋＝；选项D中，＋＋＝＋(＋)＝＋≠．故选D.

3．化简：(1)(a＋2b－3c)＋5＝________；

(2)(－)－(－)＝________．

解析：(1)原式＝a＋b－c＋a－b＋c＝a－b＋c.

(2)原式＝－－＋

＝＋－

＝－

＝0.

答案：(1)a－b＋c　(2)0