人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.1.1 空间向量及其运算精品课后作业题

这是一份人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.1.1 空间向量及其运算精品课后作业题，共5页。

基础卷A


1．下列命题中假命题是( )


A．向量eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(BA,\s\up6(→))的长度相等


B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同


C．只有零向量的模等于0


D．共线的单位向量都相等


答案 D


解析 容易判断D是假命题，共线的单位向量是相等向量或相反向量．


2．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，向量表达式eq \(DD1,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))化简后的结果是( )


A.eq \(BD1,\s\up6(→)) B.eq \(D1B,\s\up6(→)) C.eq \(B1D,\s\up6(→)) D.eq \(DB1,\s\up6(→))


答案 A


解析 如图所示，





因为eq \(DD1,\s\up6(→))＝eq \(AA1,\s\up6(→))，eq \(DD1,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(AA1,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(BA1,\s\up6(→))，


eq \(BA1,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(BD1,\s\up6(→))，


∴eq \(DD1,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(BD1,\s\up6(→)).


3已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，有eq \(OM,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OC,\s\up6(→))，则x的值为( )


A．1 B．0 C．3 D.eq \f(1,3)


答案 D


解析 ∵eq \(OM,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OC,\s\up6(→))，且M，A，B，C四点共面，∴x＋eq \f(1,3)＋eq \f(1,3)＝1，x＝eq \f(1,3)，故选D.


4.已知向量a、b，且eq \(AB,\s\up6(→))＝a＋2b，eq \(BC,\s\up6(→))＝－5a＋6b，eq \(CD,\s\up6(→))＝7a－2b，则一定共线的三点是( )


A．A、B、D B．A、B、C


C．B、C、D D．A、C、D


答案 A


5如图所示，空间四边形OABC中，eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，eq \(OC,\s\up6(→))＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC中点，则eq \(MN,\s\up6(→))=_____________





解析 由向量加法法则可知eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \(MO,\s\up6(→))＋eq \(ON,\s\up6(→))＝－eq \f(2,3)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)(eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→)))＝－eq \f(2,3)a＋eq \f(1,2)(b＋c)＝－eq \f(2,3)a＋eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)c.


6已知空间向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，则a·b＋b·c＋c·a的值为________．


答案 －13


解析 ∵a＋b＋c＝0，∴(a＋b＋c)2＝0，


∴a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，


∴a·b＋b·c＋c·a＝－eq \f(32＋12＋42,2)＝－13.


已知a，b，c中每两个的夹角都是eq \f(π,3)，且|a|＝4，|b|＝6，|c|＝2，计算|a＋b＋c|=____________.


解 ∵|a|＝4，|b|＝6，|c|＝2，


且〈a，b〉＝〈a，c〉＝〈b，c〉＝eq \f(π,3)，


∴|a＋b＋c|2＝(a＋b＋c)·(a＋b＋c)


＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2a·b＋2a·c＋2b·c


＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2|a|·|b|·cs〈a，b〉＋2|a|·


|c|cs〈a，c〉＋2|b|·|c|cs〈b，c〉


＝42＋62＋22＋4×6＋4×2＋6×2＝100，


∴|a＋b＋c|＝10.


8.已知|a|＝1，|b|＝eq \r(2)，且a－b与a垂直，则a与b的夹角为_________


解析 ∵a－b与a垂直，∴(a－b)·a＝0，


∴a·a－a·b＝|a|2－|a|·|b|·cs〈a，b〉


＝1－1·eq \r(2)·cs〈a，b〉＝0，


∴cs〈a，b〉＝eq \f(\r(2),2).


∵0°≤〈a，b〉≤180°，∴〈a，b〉＝45°


9.如图所示，已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD＝60°.求证：CC1⊥BD.





证明 设eq \(CB,\s\up6(→))＝a，eq \(CD,\s\up6(→))＝b，eq \(CC1,\s\up6(→))＝c，则|a|＝|b|.


∵eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(CD,\s\up6(→))－eq \(CB,\s\up6(→))＝b－a，


∴eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(CC1,\s\up6(→))＝(b－a)·c＝b·c－a·c


＝|b||c|cs 60°－|a||c|cs 60°＝0，


∴eq \(CC1,\s\up6(→))⊥eq \(BD,\s\up6(→))，即CC1⊥BD.


10.直三棱柱ABC—A1B1C1的各棱长都为2，E、F分别是AB、A1C1的中点，求EF的长．


解 如图所示，设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，eq \(AA1,\s\up6(→))＝c.由题意知|a|＝|b|＝|c|＝2，





且〈a，b〉＝60°，〈a，c〉＝〈b，c〉＝90°.


因为eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \(EA,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(→))＋eq \(A1F,\s\up6(→))


＝－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))


＝－eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋c，


所以|EF|2＝|eq \(EF,\s\up6(→))|2＝eq \(EF2,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)a2＋eq \f(1,4)b2＋c2＋2(－eq \f(1,2)a·eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)b·c－eq \f(1,2)a·c)


＝eq \f(1,4)×22＋eq \f(1,4)×22＋22＋2×(－eq \f(1,4))×2×2cs 60°


＝1＋1＋4－1＝5，


所以|EF|＝eq \r(5).