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    高中数学人教版新课标A必修51.1 正弦定理和余弦定理学案

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    这是一份高中数学人教版新课标A必修51.1 正弦定理和余弦定理学案,共4页。学案主要包含了学习目标,自主预习,互动探究,课堂练习等内容,欢迎下载使用。

    1.了解正弦定理的推导过程.
    2.掌握正弦定理并能解决一些简单的三角形度量问题.
    【自主预习】
    1.正弦定理
    2.解三角形
    (1)定义:一般地,把三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.
    (2)利用正弦定理可以解决的两类解三角形问题:
    ①已知三角形的任意两角与一边,求其他两边和一角.
    ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角,求另一边的对角,从而进一步求出其他的边和角.
    3.正弦定理的常见变形
    (1)asin B=bsin A,asin C=csin A,bsin C=csin B.
    (2)三角形的边长之比等于对应角的正弦比,即
    a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C.
    (3)a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C,sin A=eq \f(a,2R),sin B=eq \f(b,2R),sin C=eq \f(c,2R)(R为△ABC外接圆的半径).
    (4)eq \f(a+b+c,sin A+sin B+sin C)=eq \f(a,sin A)=eq \f(b,sin B)=eq \f(c,sin C).
    【互动探究】
    1. 在△ABC中,已知a=8,B=60°,C=75°,求A,c.
    解:A=180°-(B+C)=180°-(60°+75°)=45°.
    由eq \f(a,sin A)=eq \f(c,sin C),得c=eq \f(asin C,sin A)=eq \f(8×sin 75°,sin 45°)=eq \f(8×\f(\r(2)+\r(6),4),\f(\r(2),2))=4(eq \r(3)+1).
    所以A=45°,c=4(eq \r(3)+1).
    2.在△ABC中,已知a=1,b=eq \r(3),A=30°,求边c的长.
    解:由eq \f(a,sin A)=eq \f(b,sin B),得sin B=eq \f(bsin A,a)=eq \f(\r(3),2).
    因为aA,即B>30°.
    所以B为60°或120°.
    ①当B=60°时,C=180°-60°-30°=90°.
    此时,c=eq \r(a2+b2)=eq \r(1+3)=2.
    ②当B=120°时,C=180°-120°-30°=30°.
    此时,c=a=1.
    综上知c=1或2.
    3.在△ABC中,已知a2tan B=b2tan A,试判断△ABC的形状.
    解:由已知得eq \f(a2sin B,cs B)=eq \f(b2sin A,cs A).
    由正弦定理的推广得a=2Rsin A,b=2Rsin B(R为△ABC的外接圆的半径).
    所以eq \f(4R2sin2Asin B,cs B)=eq \f(4R2sin2Bsin A,cs A).
    所以sin Acs A=sin Bcs B.所以sin 2A=sin 2B.
    又A,B为三角形的内角,
    所以2A=2B或2A=π-2B,即A=B或A+B=eq \f(π,2).
    所以△ABC为等腰三角形或直角三角形.
    【课堂练习】
    1.在△ABC中,若sin A>sin B,则角A与角B的大小关系为( )
    A.A>B
    B.AC.A≥B
    D.A,B的大小关系不能确定
    答案:A
    2.在△ABC中,a∶b∶c=1∶5∶6,则sin A∶sin B∶sin C等于( )
    A.1∶5∶6 B.6∶5∶1
    C.6∶1∶5 D.不确定
    答案:A
    3.在△ABC中,a=bsin A,则△ABC一定是( )
    A.锐角三角形 B.直角三角形
    C.钝角三角形 D.等腰三角形
    答案:B
    4.在△ABC中,若sin2A+sin2B+cs2C=1,则△ABC的形状是__________________.
    答案:直角三角形
    5.在△ABC中,已知a=10,B=75°,C=60°,试求c及△ABC的外接圆半径R.
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