高中数学人教版新课标A必修51.1 正弦定理和余弦定理学案

这是一份高中数学人教版新课标A必修51.1 正弦定理和余弦定理学案，共4页。学案主要包含了学习目标，自主预习，互动探究，课堂练习等内容，欢迎下载使用。

1．了解正弦定理的推导过程．
2．掌握正弦定理并能解决一些简单的三角形度量问题．
【自主预习】
1．正弦定理
2．解三角形
(1)定义：一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．
(2)利用正弦定理可以解决的两类解三角形问题：
①已知三角形的任意两角与一边，求其他两边和一角．
②已知三角形的任意两边与其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求出其他的边和角．
3．正弦定理的常见变形
(1)asin B＝bsin A，asin C＝csin A，bsin C＝csin B．
(2)三角形的边长之比等于对应角的正弦比，即
a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C．
(3)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，sin A＝eq \f(a,2R)，sin B＝eq \f(b,2R)，sin C＝eq \f(c,2R)(R为△ABC外接圆的半径)．
(4)eq \f(a＋b＋c,sin A＋sin B＋sin C)＝eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)．
【互动探究】
1. 在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，求A，c．
解：A＝180°－(B＋C)＝180°－(60°＋75°)＝45°．
由eq \f(a,sin A)＝eq \f(c,sin C)，得c＝eq \f(asin C,sin A)＝eq \f(8×sin 75°,sin 45°)＝eq \f(8×\f(\r(2)＋\r(6),4),\f(\r(2),2))＝4(eq \r(3)＋1)．
所以A＝45°，c＝4(eq \r(3)＋1)．
2.在△ABC中，已知a＝1，b＝eq \r(3)，A＝30°，求边c的长．
解：由eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，得sin B＝eq \f(bsin A,a)＝eq \f(\r(3),2)．
因为aA，即B＞30°．
所以B为60°或120°．
①当B＝60°时，C＝180°－60°－30°＝90°．
此时，c＝eq \r(a2＋b2)＝eq \r(1＋3)＝2．
②当B＝120°时，C＝180°－120°－30°＝30°．
此时，c＝a＝1．
综上知c＝1或2．
3.在△ABC中，已知a2tan B＝b2tan A，试判断△ABC的形状．
解：由已知得eq \f(a2sin B,cs B)＝eq \f(b2sin A,cs A)．
由正弦定理的推广得a＝2Rsin A，b＝2Rsin B(R为△ABC的外接圆的半径)．
所以eq \f(4R2sin2Asin B,cs B)＝eq \f(4R2sin2Bsin A,cs A)．
所以sin Acs A＝sin Bcs B．所以sin 2A＝sin 2B．
又A，B为三角形的内角，
所以2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝eq \f(π,2)．
所以△ABC为等腰三角形或直角三角形．
【课堂练习】
1．在△ABC中，若sin A>sin B，则角A与角B的大小关系为( )
A．A>B
B．AC．A≥B
D．A，B的大小关系不能确定
答案：A
2．在△ABC中，a∶b∶c＝1∶5∶6，则sin A∶sin B∶sin C等于( )
A．1∶5∶6 B．6∶5∶1
C．6∶1∶5 D．不确定
答案：A
3．在△ABC中，a＝bsin A，则△ABC一定是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
答案：B
4．在△ABC中，若sin2A＋sin2B＋cs2C＝1，则△ABC的形状是__________________．
答案：直角三角形
5．在△ABC中，已知a＝10，B＝75°，C＝60°，试求c及△ABC的外接圆半径R．