专题24 导数及其应用（解答题）（11月）（理）（解析版）-2020-2021学年高二《新题速递•数学（理）

专题24 导数及其应用（解答题）
1．求下列函数的导数：
（1）；
（2）；
（3）；
【试题来源】陕西省榆林市第十二中学2020-2021学年高三上学期第一次月考（理）
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】（1）因为，所以；
（2）因为，所以；
（3）因为，所以.
2．已知函数经过点，．
（1）求函数的解析式；
（2）设函数，求在点处的切线方程．
【试题来源】吉林省榆树市第一高级中学2020-2021学年高三10月月考（文）
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）函数经过点，，解得，；
（2），，，
，则切线方程为，即．
3．已知函数经过点，．
（1）求函数的解析式；
（2）设函数，若的图象与直线相切，求值．
【试题来源】吉林省榆树市第一高级中学2020-2021学年高三第一学期10月月考（理）
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由题意，，所以；
（2）由（1），设切点为，
，所以，
又，两者结合可解得，．
4．已知函数及点，过点作直线与曲线相切
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求曲线过点的切线的斜率．
【试题来源】湖南省张家界市民族中学2020-2021学年高二上学期第一次月考
【答案】（1）（2）或
【解析】（1）因为，所以，
所以切线的斜率为，又，
所以切线方程为，即．
（2）设切点为，则，
整理得，解得或，
所以切线的斜率为或，综上所述：切线的斜率为或.
5．已知函数，且．
（1）求和的解析式；
（2）令，求的单调区间．
【试题来源】辽宁省凌海市第二高级中学2020-2021学年高三上学期第二次月考
【答案】（1），；（2）的单调增区间为，单调递减区间为．
【解析】（1），整理得，
，由得，故；
（2），此函数的定义域为，
，
因为，所以，故解得，，解得，
所以的单调增区间为，单调递减区间为．
6．已知曲线（其中为自然对数的底数）在处切线方程为．
（1）求，值；
（2）证明：存在唯一的极大值点，且．
【试题来源】四川省泸州市2020届高三数学临考冲刺模拟试卷（（文））（四模）试题
【答案】（1），；（2）证明见详解
【解析】（1）在处切线方程为，而
所以，即，而，故切点为，
所以，即，故有，；
（2）由（1）知且定义域，
所以，若 ，
令，即在有恒成立，
所以单调增，又，：即的零点在内，
所以上，上，故在中，上有，
当时，，即，单调增，
当时，，即，单调减，
当时，，即，单调增，所以存在唯一的极大值点=，又有，
而，且，
所以(利用均值不等式，但等号不成立，因为无法取1)，
综上，得证：.
7．已知函数，曲线在点处的切线方程为．
（1）求a，b的值；
（2）证明：．
【试题来源】陕西省安康市2020-2021学年高三上学期10月联考（理）
【答案】（1），；（2）证明见解析．
【解析】（1）由已知得，所以．
，．
（2）设，则，由得；由得．
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得最小值，
所以当时，，所以，
所以要使在上成立，只需使在上成立，
即在上成立，
设，则，由得，由得．
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得最小值，即在上成立，
所以原不等式成立．
8．已知函数．
（1）求函数在区间上的最大值和最小值；
（2）若有解，求实数a的取值范围．
【试题来源】广西钦州市、崇左市2021届高三上学期第一次教学质量检测（理）
【答案】（1）最大值为，最小值为；（2）．
【解析】（1）由题可知的定义域为，
函数，，所以函数在区间上是增函数．
在区间上的最大值为，最小值为．
（2），令，
．当时，．，显然有解．
当时，由得，
当时，，当时，，
故在处取得最大值．
若使有解，只需，解得．
结合，此时a的取值范围为．
综上所述，a的取值范围为．
9．已知函数在处有极值．
（1）求的值，并判断是的极大值点还是极小值点？
（2）若不等式对于任意的恒成立，求的取值范围．
【试题来源】湖南省、河北省新高考联考2020-2021学年高三上学期10月质量检测
【答案】（1），是的极大值点；（2）．
【解析】（1）由，得，
由题意，得，即，解得．
当时，，由，得，
结合，解得．当时，；当时，，
所以是的极大值点．
（2）本题等价于对于一切恒成立．
记，则，．
由，得，所以，
即，所以．
从而在上是减函数，所以，故.
【名师点睛】本题考查不等式的恒成立问题，可按如下规则转化：
（1）若恒成立，则；（2）若恒成立，则．
10．已知函数(其中)，为的导数．
（1）求导数的最小值；
（2）若不等式恒成立，求的取值范围．
【试题来源】江西省南昌县莲塘第一中学2021届高三11月质量检测（文）
【答案】（1）1；（2）．
【解析】（1），令，
当时，则．故时，，
为增函数，故，即导数的最小值为1．
（2）令，，
当时，若，则由（1）可知，，
所以为增函数，故恒成立，即．
当时，由（1）可知在上为增函数，且，，
故存在唯一，使得．则当时，，
为减函数，所以，此时与恒成立矛盾．综上所述，．
11．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，，求a的取值范围．
【试题来源】陕西省安康市2020-2021学年高三上学期10月联考（文）
【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）．
【解析】（1），若，则，此时单调递增；
若，由得，由得，
此时在单调递减，在单调递增．
（2）由得，当时，显然成立；
当时，，，令，
则，
在上单调递减，，此时；
当时，，，
由知在时取得最小值，，
此时，综上可得a的取值范围是．
12．已知函数；
（1）若，求函数的单调递减区间；
（2）求证：若，则对任意的，有．
【试题来源】宁夏固原市五原中学补习部2021届高三上学期期中考试（文）
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】（1）的定义域为，
，因为，所以，
当即时，在单调递增，当时，即，
令得，所以单调递减，单调递减区间为，
综上所述，时，无单调递减区间；时， 单调递减区间为．
（2）设，
则，
令，所以，
因为，所以，所以，即，
所以在上单调递增，对任意，，
即，，所以．
13．已知函数，．
（1）当时，若在上的最大值为10，求实数的值；
（2）若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围．
【试题来源】云南省曲靖市第一中学2021届高三上学期高考复习质量监测（理）（三）
【答案】（1）-8；（2）．
【解析】（1）当时，由，得，
令，得或．当变化时，在的变化情况如下：





1

2



0

0




单调递减
极小值-2+b
单调递增
极大值
单调递减
-2+b
所以在上的最大值为，得．
（2）由，得，
因为，且等号不能同时取得，所以，即，
所以恒成立，即．
令，，则，
当时，，，从而，
所以在上为增函数，所以，所以．
【名师点睛】恒（能）成立问题的解法：若在区间D上有最值，则
（1）恒成立：；；
（2）能成立：；．
若能分离常数，即将问题转化为（或），则
（1）恒成立：；；
（2）能成立：；．
14．已知函数．
（1）求；
（2）求曲线过点的切线的方程．
【试题来源】吉林省吉林市蛟河市第一中学校2020-2021学年高三第一次月考（理）
【答案】（1）；（2）或．
【解析】（1），则；
（2）设切点为，
，所以，切线的斜率为，
所求切线方程为．
将，代入切线方程，得．
整理得，解得或．
当时，， 切线方程为，化简得；
当时，，切线方程为，化简得．
综上所述，曲线过点的切线的方程为或．
15．已知函数
（1）判断函数f(x)的单调性；
（2）若当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围．
【试题来源】云南省昆明市第一中学2021届高三高中新课标第一次摸底测试（理）
【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递减；在上单调递增；（2）．
【解析】（1）因为函数，所以的定义域为，，当时，，在上单调递增；
当时，令，得，所以在上单调递减；在上单调递增．
综上所述，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减；在上单调递增．
（2）当时，，所以．
设，则，
当时，，在上单调递增，
所以，所以，故．
由（1）可知，当时，在上单调递增，所以成立；
当时，，且在上单调递增，所以成立；
当时，在上单调递减；则有，不合题意．
综上所述，实数的取值范围为．
16．已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）是否存在实数，使得在具有单调性？若存在，求所有的取值构成的集合；若不存在，请说明理由．
【试题来源】北京市人大附中2021届高三年级10月数学月考试题
【答案】（1）；（2）存在实数，使得在单调递增，理由见解析．
【解析】（1）求导得，所以，
又，所以曲线在点处的切线方程为．
（2）存在实数，使得在单调递增，理由如下：
由（1）得，令，
则，故当时，在上恒成立，
故在上单调递增，由于，
故时，单调递减，时，单调递增．
当时，令得，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
由于，所以当时，，
所以不可能使得在恒成立，
所以当时，均不能使得在具有单调性．
当时，，
此时时，单调递减，时，单调递增，
所以，
所以在在恒成立，此时函数在单调递增．
故存在实数，使得在具有单调性．
17．定义在实数集上的函数．
（1）求函数的图象在处的切线方程；
（2）若对任意的恒成立，求实数m的取值范围．
【试题来源】新疆呼图壁县第一中学2021届高三上学期第二次月考（理）
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1），当时，，
因为，，所以所求切线方程为，即；
（2）令，则，
所以当时，；当时，；当时，；
要使恒成立，即．由上知的最大值在或取得．
而，，，解得．
所以实数m的取值范围．
18．已知函数，．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）证明：．
【试题来源】河南省许昌市、济源市、平顶山市2020届高三数学（（文））第三次质检试题
【答案】（1）（2）见解析
【解析】（1），切点坐标为，则有．
所以切线方程为，即．
（2）要证：，即证．
令， 则，
当时，单调递减，当时，单调递增
所以．令，，
当时，单调递增，当时，单调递减
所以，．所以，即．
19．已知函数，其中．
（1）当时，求曲线在点的切线方程；
（2）求证：若有极值，则极大值必大于0．
【试题来源】湖北省部分重点中学2020-2021学年高三上学期10月联考
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】（1），
当时，，，则在的切线方程为；
（2）证明：令，解得或，
①当时，恒成立，此时函数在上单调递减，所以无极值；
②当时，令，解得，令，解得或，
所以函数在上单调递增，在，上单调递减，
所以；
③当时，令，解得，令，解得或，
所以函数在上单调递增，在，上单调递减，
所以，
综上，函数的极大值恒大于0．
20．已知函数其中…
（1）当时，求在点处的切线方程；
（2）当时，求函数在区间的最小值．
【试题来源】安徽省安庆市宿松县程集中学2020-2021学年高三上学期9月月考（理）
【答案】（1）；（2）答案不唯一，具体见解析．
【解析】（1）当时，，
又，以，，故切线方程为；
（2）函数的定义域为，
当时，在区间单调递减，在区间上单调递增．









减

增
（1）当，即时，在区间单调递减，
所以，；
（2）当，即时，在区间单调递减，
在区间单调递增，所以，
（3）当，即时，在区间单调递增，
所以．
21．已知函数
（1）若的图象在点处的切线与直线垂直，求实数的值；
（2）若在上是减函数，求实数的取值范围．
【试题来源】湖南省张家界市民族中学2020-2021学年高二上学期第一次月考
【答案】（1）（2）
【解析】（1）因为，所以，
依题意可得，所以．
（2），，
依题意可得在上恒成立，
所以在上恒成立，
因为在上为递减函数，所以当时，取得最小值，
所以，即．
22．已知函数，且在处的切线为．
（1）求的值；
（2）求函数在区间上的最大值和最小值．
【试题来源】陕西省渭南市大荔县同州中学2020-2021学年高三上学期第一次月考
【答案】（1）；（2），．
【解析】（1）由已知，所以，
因为在处的切线为，所以，故，所以．
（2）由，可得，解得，列表如下：





2

3


+
0

0
+


6
↗

↘

↗
0
所以，．
23．设函数，其中，曲线在点处的切线经过点．
（1）求的值；
（2）求函数的极值；
（3）证明：．
【试题来源】北京市西城区2020届高三数学二模试题
【答案】（1）；（2）极小值，没有极大值；（3）证明见解析．
【解析】（1），则，
故在处的切线方程，把点代入切线方程可得；
（2）由（1）可得，
易得，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，故当时，函数取得极小值，没有极大值，
（3）等价于，
由（2）可得（当且仅当时等号成立）①，
所以，故只要证明即可，（需验证等号不同时成立）
设，，则，
当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
所以，当且仅当时等号成立，②
因为①②等号不同时成立，所以当时，．
24．已知函数，，．若在处与直线相切．
（1）求，的值；
（2）求在，上的最大值．
【试题来源】江苏省南京师大附中2020-2021学年高三上学期10月月考
【答案】（1）；（2） ．
【解析】（1）函数，，
函数在处与直线相切，，解得；
（2），，
当时，令得，令，得，
在，，上单调递增，在，上单调递减，
所以函数的极大值就是最大值，（1）．
25．已知函数（其中为常数）．
（1）若且直线与曲线相切，求实数的值；
（2）若在上的最大值为，求的值．
【试题来源】北京市中国人民大学附属中学2020届高三6月统一练习（三模）考试
【答案】（1）2；（2）2．
【解析】（1）时，，
设切点为，则切线方程为
点代入，化简解得．
（2），
①当即时，在上恒成立，故在单调递增，在的最大值为，故，满足；
②当即时，在上恒成立，故在单调递减，在的最大值为，故，不满足，舍去；
③当即时，由得，
时，时，
即在上单调递增，在上单调递减，故的最大值为
，即，所以，不满足，舍去，
综上所述， ．
26．已知函数．
（1）若，求曲线在处的切线方程；
（2）若函数有3个零点，求实数的取值范围．
【试题来源】河南省豫南九校2020-2021学年高三上期教学指导卷一（文）
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由题意，，故，
又当时，，
故所求的切线方程为，即．
（2）由题意，，
令，得或，
故当时，当时，当时，
故当时，函数有极大值，
当时，函数有极小值．
若函数有3个零点，实数满足，解得，
即实数的取值范围为．
27．已知函数．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数在其定义域内为增函数，求a的取值范围；
（3）在（2）的条件下，设函数，若在上至少存在一点，使得成立，求实数a的取值范围．
【试题来源】江西省赣州市十五县（市）2021届高三上学期期中联考数学（文） 试题
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】（1）当时，函数，
所以，，
曲线在点处的切线的斜率为．
从而曲线在点处的切线方程为，即，
（2）． ．
要使在定义域内是增函数，只需在内恒成立．
即得恒成立．
因为，所以，所以．
所以在内为增函数，实数a的取值范围是
法二： ，
当时，在定义域内恒成立，不合题意舍 ，
当时，即方程有两解，，
，，
故在恒有两解，不恒成立，不合题意舍去；
即，即在内恒成立，函数在其定义域内为增函数，所以实数a的取值范围是.
（3）因为在上是减函数，
所以时，，时，，即 ，
由（2）知，当；在定义域内是增函数，即，
存在，只需满足，，
即，解得 ．
所以实数a的取值范围是.
28．已知函数．
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）若，讨论函数的单调性．
【试题来源】山东省实验中学2020-2021学年高三第一次诊断考试（10月）
【答案】（1）；（2）答案见解析．
【解析】（1）当时，，，又，，
所以曲线在处的切线方程为．
（2）（），
①当时，在上单调递减，在上单调递增；
②当时，在和上单调递减，在上单调递增；
③当时，在上单调递减；
④当时，在和上单调递减，在上单调递增．
29．已知函数．
（1）求函数的定义域；
（2）求曲线在点处的切线方程；
（3）求证：当时，．
【试题来源】北京市朝阳区2020届高三年级学业水平等级性考试练习二（二模）
【答案】（1）；（2）；（3）见解析．
【解析】（1）由得，，，
所以的定义域为．
（2）由得，
又，所以曲线在点处的切线方程为．
（3）由（2）得，．当时，与单调递增，所以在上单调递增．
又，所以在上单调递减，在上单调递增．
故．
30．已知函数，，，其中是自然对数的底数．
（1）求函数在处的切线方程； 
（2）当时，恒成立，求的最大值．
【试题来源】湖南省长郡中学、雅礼中学、河南省南阳一中、信阳高中等湘豫名校2020届高三（5月）数学（理）
【答案】（1）；（2）1．
【解析】因为，所以，
因为，所以所求切线方程为，即；
（2）由得，现证明不等式，即证，
令，，因为，
所以当时，，递减；当时，，递增．
所以．因为
所以当时，，递增；当时，，递减．
所以，所以且等号不同时取得．
所以，即成立．综上，．
31．已知函数，．
（1）求证：曲线在点处的切线方程与实数的取值无关；
（2）若对恒成立，求实数的取值范围．
【试题来源】北京大学附属中学2021届上学期高三阶段性检测
【答案】（1）证明见详解；（2）
【分析】（1）求出导函数，并求出以及，求出切线方程即可证出．（2）讨论或，分离参数，转化为求函数的最值，利用导数求出函数的最值即可求解．
【解析】（1）由，则，
，由，所以在点处的切线方程为，
所以在点处的切线方程与实数的取值无关，即证．
（2）对恒成立，即对恒成立，对恒成立，当时，恒成立，
当时，对恒成立，令，
则，
令，解得，在，上单调递增，在上单调递减，，
，故实数的取值范围为．
32．已知函数在的切线与直线垂直，函数．
（1）求实数a的值；
（2）若函数存在单调递减区间，求实数b的取值范围；
【试题来源】新疆和田地区第二中学2020届高三11月月考（理）
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）
，又函数在的切线与直线垂直

（2），
函数存在单调递减区间，则在上成立，
即在上成立，（当且仅当时等号成立），
，检验当时函数在单增，不满足题意，.
33．已知函数．
（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值．
（2）若对于任意都有成立，试求的取值范围；
（3）记．当时，函数在区间上有两个零点，求实数的取值范围．
【试题来源】天津市南开中学2021届高三（上）第一次月考
【答案】（1）4；（2）；（3）．
【解析】（1）直线的斜率为，函数的定义域为，
因为，所以，所以．
（2），
由解得，由解得，
所以在区间，上单调递增，在区间上单调递减，
所以，当时，函数取得最小值，，
因为对于都有成立，所以即可，
则，由解得．所以的取值范围是．
（3）依题意得，则，
由，解得，由，解得，
所以函数在区间为减函数，在区间为增函数，
因为函数在区间上有两个零点，所以，即，
解得，所以的取值范围是．
34．已知函数，．
（1）当为何值时，直线是曲线的切线；
（2）若不等式在上恒成立，求的取值范围．
【试题来源】江苏省2020-2021学年高三上学期新高考质量检测模拟
【答案】（1） ．（2） ．
【解析】（1）令，，
设切点为，则，，则．
令，，则函数在上单调递减，在上单调递增，且，所以．
（2）令，则，
①当时，，所以函数在上单调递减，，满足题意．
②当时，令，得，
所以当时， ，当时，．
所以函数在上单调递增，在上单调递减．
（ⅰ）当，即时，在上单调递增，
所以，所以，此时无解．
（ⅱ）当，即时，函数在上单调递增，在上单调递减．所以 ．
设 ，则，
所以在上单调递增， ，不满足题意．
（ⅲ）当，即时，在上单调递减，
所以，所以 满足题意．综上所述：的取值范围为．
35．已知函数，其中．
（1）当时，求函数图象在点处的切线方程；
（2）若函数在区间上的最大值为，求a的值．
【试题来源】云南师范大学附属中学2021届高考适应性月考卷（三）（文）
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）当时，，，，，切线方程为．
（2），
①当，即时，若，恒成立，所以在上递增，
所以合题意；
②当，即时，当，，单调递减，
当，，单调递增，在处或处取到，
又时，
且；
③当，即时，当，，单调递减，
，又时，．
所以综上，．
36．已知函数在处的切线方程为．
（1）求实数、的值；
（2）求函数在区间上的最大值与最小值之和．
【试题来源】福建省龙岩市“长汀、连城、上杭、武平、永定、漳平”六县（市区）一中2021届高三上学期期中联考
【答案】（1），；（2）．
【解析】（1）由已知得切点为，且，
，解得，；
（2）由（1）知，，
当时，，此时函数单调递增；
当时，，此时函数单调递减．
所以，，又，，．
因此，函数在区间上的最大值与最小值之和为．
37．已知，函数．
（1）若，求在处的切线方程；
（2）若函数在上单调递增，求的取值范围；
（3）讨论函数的单调区间．
【试题来源】天津市2020-2021学年高三上学期联考
【答案】（1）；（2）；（3）答案见解析．
【解析】（1）时，的导数为，
，，切线，
（2）函数的导数为
在上恒成立，，，
因为，所以，
（3），，
①时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
②时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
③时，，函数在区间上单调递减.
38．已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）若当时，恒成立，求正整数的最大值．
【试题来源】云南省昆明市第一中学2021届高中新课标高三第二次双基检测（理）
【答案】（1）；（2） ．
【解析】（1）函数的定义域为，，因为，，
所以曲线在点处的切线方程为，即．
（2）由，得．
即对于恒成立，令，只需，
，
令，则，所以在单调递增，
因为，，，
所以，使得，
且当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以在单调递减，在单调递增，
所以，
因为，所以．
39．已知函数，其中是常数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若存在实数，使得关于的方程在上有两个不相等的实数根，求的取值范围．
【试题来源】天津市和平区2020-2021学年高三上学期期中
【答案】（1）（2）．
【解析】（1）由可得．
当时，，．
所以 曲线在点处的切线方程为，即；
（2） 令，解得或，
当，即时，在区间上，，所以是上的增函数．所以方程在上不可能有两个不相等的实数根．
当，即时，随的变化情况如下表












↘

↗
由上表可知函数在上的最小值为．
因为 函数是上的减函数，是上的增函数，
且当时，有．所以 要使方程在上有两个不相等的实数根，的取值范围必须是．
40．设函数，其中．
（1）若曲线在的切线方程为，求a，b的值；
（2）若在处取得极值，求a的值；
（3）若在上为增函数，求a的取值范围．
【试题来源】天津市南开区2020-2021学年高三上学期期中
【答案】（1），；（2）；（3）．
【解析】（1）因为，所以，
由题设可得，，解得，．
（2）因为在取得极值，所以，解得．
当时，，
令，解得x=1或3，所以为的极值点，故满足题意．
（3）令，得，．
当时，若，则，
所以在和上为增函数，
故当时，在上为增函数恒成立．
当时，在上为增函数，不符合题意，
当时，若，则，
所以在和上为增函数，从而在上也为增函数，满足题意．
综上所述，当时，在上为增函数．
41．已知函数．
（1）当时，求在处的切线方程；
（2）设，若有两个零点，求的取值范围．
【试题来源】江西省鹰潭市2021届高三第二次模拟考（理）
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）求出在处的导数，即切线斜率，求出，即可求出切线方程；
（2）求出的导数，讨论的范围，判断函数的单调性，利用零点存在性定理进行判断．
【解析】（1）当时，，，
，，
所以切线方程为即；
（2）因为，所以．
①当时，在上单调递增，在上单调递减．
因为，．所以在上有且只有一个零点．
取，使，且，则．
即有两个不同的零点．
②当时，，此时只有一个零点．
③当时，令，得或．
当时，，恒成立，所以在上单调递增．
当时，即．若或，则；
若，则．
所以在和上单调递增，在上单调递减．
当时，即．若时，
若，则．
所以在和上单调递增，在上单调递减，
当时，因为，
．
所以无零点，不合题意．
综上，有两个零点的取值范围是．
42．已知函数，，其中．
（1）当时，求的单调区间；
（2）若方程在(为自然对数的底数)上存在唯一实数解，求实数的取值范围．
【试题来源】四川省成都市蓉城名校联盟2021届高三第一次联考（理）
【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）．
【分析】求导，利用导函数不等式得到函数的单调区间；方程等价变形，构造函数，对参数进行讨论，利用单调性和函数零点得解．
【解析】（1）当时，
则当时，，为减函数
当时，，为增函数
故的单调递增区间为，单调递减区间为
（2）因为，所以，即；
令，由题意得只需函数在上有唯一的零点；
又，其中，
①当时，恒成立，单调递增，
又，则函数在区间上有唯一的零点；
②当时，恒成立，单调递减，
又，则函数在区间上有唯一的零点；
③当时，当时，，
单调递减，又，所以，
则函数在区间上有唯一的零点；
当时，，单调递增，
则当时，在上没有零点，符合题意，
即，解得，所以当时，
在上没有零点，此时函数在区间上有唯一的零点；
所以实数的取值范围是．
43．已知函数，其中．
（1）若在定义域内是单调函数，求的取值范围；
（2）当时，求证：对任意，恒有成立．
【试题来源】海南、山东等新高考地区2021届高三上学期期中备考金卷数学（A卷）试题
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】（1）因为，所以，
要使在定义域内是单调函数，需满足或．
①若，则，令，得，
易知，且函数在上单调递减，
当时，，所以在区间上，；在上，
所以在上单调递增，在上单调递减，
此时无最小值，不满足题意；
②若，则，由①知，的最大值为，
所以当时，在定义域上单调递减，满足题意．综上，的取值范围是．
（2）当时，，要证，即证，
当时，，而，
所以成立，即成立．
当时，令，则，
设，则，
因为，所以，所以当时，单调递增，
所以，即，所以在上单调递增，
所以，即成立．
综上，对任意，恒有成立．
44．已知函数．
（1）当时，求函数在上的最小值；
（2）若函数在上的最小值为1，求实数的取值范围；
（3）若，讨论函数在上的零点个数．
【试题来源】北京市第八中学 2019-2020学年高二下学期期末练习题
【答案】（1）1；（2）；（3）答案见解析．
【解析】（1）当时，
，
因为，所以，所以为单调递增函数，所以．
（2），，
当时，，所以为单调递增函数，，符合题意；
当时，在上，单调递减，在上，单调递增，所以，因为，故，与的最小值为1矛盾．故实数的取值范围为
（3）由（2）可知，当时，在上，为单调递增函数，，
此时函数的零点个数为0；
当时，，令，
则，函数单调递减，
令，解得，
所以当，，，，，，
所以当时，，此时函数在上的零点个数为0；
当时，，此时函数在上的零点个数为1；
，又，故在存在一个零点，
，故在存在一个零点，
此时函数在上的零点个数为2．
综上，可得时，函数在上的零点个数为0；时，函数在上的零点个数为1；，函数在上的零点个数为2．
45．已知函数，其中．
（1）若在内为减函数，求实数a的取值范围；
（2）求函数在上的最大值．
【试题来源】安徽省皖南八校2020-2021学年高三上学期10月第一次联考（文）
【答案】（1）；（2）．
【解析】．
（1）若在内为减函数，则在内恒成立．
而，所以在上恒成立．
若，则恒成立．若，则所以，
所以，所以，综上．
（2）当时，在内单调递减，所以．
当时，，，
则．
当时，，，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
所以的最大值只能在或处．．
当时，，所以．
当时，，所以．
当时，，所以．
综上，．
46．已知，函数，（）．
（1）讨论函数极值点的个数；
（2）若，当时，求证：．
【试题来源】江西省南昌县莲塘第一中学2021届高三11月质量检测（文）
【答案】（1）当时，没有极值点，当时，有一个极小值点；
（2）证明见解析．
【解析】（1）因为，所以，
当时，对，，
所以在是减函数，此时函数不存在极值；
当时，，令，解得，
若，则，所以在上是减函数，
若，则，所以在上是增函数，
当时，取得极小值，函数有且仅有一个极小值点，
所以当时，没有极值点，当时，有一个极小值点．
（2）设，且，
所以 ，且，设 ，且，
则，且在上是增函数，
所以 则在上是增函数，
，即，所以在上是增函数，
所以，即在上恒成立．
47．已知函数(a为常数)．
（1）当a=0时，求曲线y=f(x)在点(e，f(e))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若存在使得，求a的取值范围．
【试题来源】广东省佛山市顺德区2021届高三上学期第二次教学质量检测
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）函数f(x)的定义域为(0，+∞)，因为，
当a=0时，，，切线方程为，
令x=0，解，令y=0，解得所以
（2）若要存在使得，则只需f(x)在[1，+∞)上的最小值小于0即可，
当时，在(1，+∞)恒成立，函数f(x)在x=1处取得最小值，
所以，解得；
当时，函数在[1，a)上单调递减，在[a，+∞)上单调递增，
则当x=a时取得极小值也是最小值，由，解得，
综上可得a的取值范围是．
48．已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，判断方程的实根个数，并说明理由．
【试题来源】湖北省百所重点中学2020-2021学年高三上学期10月联考
【答案】（1）；（2）方程恰有三个不同的实根，1，，理由见解析．
【解析】（1）当时，，则，
因为，所以，
则所求切线方程为，即．
（2）当时，，方程，即．
令，定义域为，则．
令，则，令，得．
当时，，所以在上单调递减；
当时，，所以在上单调递增．
所以．
又，，，．
所以在上存在唯一零点，记为．在上存在唯一零点，记为．
则，．
当时，，所以在上单调递增；
当时，，所以在上单调递减；
当时，，所以在上单调递增．
又，，所以在上存在唯一零点1．
因为，，
所以存在唯一的，使得．
存在唯一的，使得，且，．
综上，方程恰有三个不同的实根，1，．
49．已知函数，
（1）求的图象在点处的切线的方程；
（2）若在上恒成立，求实数的取值范围．
【试题来源】河南省新乡市安阳市鹤壁市顶尖名校2020-2021学年高三10月联考（理）
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1），
，又，则切线方程为，即；
（2）设，则，
令，则，
当时，在上为增函数，，
当，即时，，则在上单调递增，
则，恒成立，
在上单调递增，，符合题意；
当时，存在，当时，，
在递减，此时，即，
则在递减，此时，
即当时，，故不恒成立，不符合题意；
当时，，，，
在上单调递增，，符合题意，综上，．
50．已知函数．
（1）当时，求曲线在处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若关于的方程在上恰有三个不同的实数解，求的取值范围．
【试题来源】河北省2021届高三上学期10月联考
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）当时，，所以．
又，所以切线的斜率，
则切线方程为．该切线与轴交于点，与轴交于点，
所以围成的三角形的面积为．
（2）显然是方程的根，
当且时，方程等价于，则．
记，则，
令，则，故在上单调递增，
故，即，
所以在上单调递增，又方程等价于，
故只需在上有两个不同的根．，令，则，
当时，；当时，．
所以在上单调递增，在上单调递减，故．
又，可得．
51．已知函数．
（1）若直线过点，且与曲线相切，求直线的方程；
（2）若时，成立，求整数的最大值．
【试题来源】山东省枣庄市滕州一中2020-2021学年高三10月月考
【答案】（1） （2）4
【分析】（1）设切点坐标，写出切线方程，建立等量关系求解；
（2）将问题转化为，恒成立，利用函数求解最值，即可得解．
【解析】（1）因为点不在直线上，
设切点坐标为，则．
因为．
所以，解得．
所以，所以直线的方程为．
（2）由题意知，，恒成立，，
令，．
设，所以，所以在上单调递增．
又，
所以存在，在，
所以在上单调递减，在上单调递增．
所以，而
所以．所以．
52．已知函数．
（1）求曲线在点，处的切线方程；
（2）确定在上极值点的个数，并说明理由．
【试题来源】吉林省梅河口五中、辽源五中、四平四中2021届高三（上）第一次联考（文）
【答案】（1）；（2）极值点的个数为2，理由见解析．
【解析】（1）由题意，函数，可得，则，
又由，所以曲线在点，处的切线方程为，即．
（2）由，
当时，，则在上单调递增，无极值点；
设，则，
当时，，则在上单调递减，
因为，，
所以存在唯一的实数，使得，
当时，，当时，，
所以在只有一个极值点，且该极值点为，
因为，所以为奇函数，
所以在上也只有1个极值点，且该极值点为．
综上可得，在上极值点的个数为2．
53．已知函数（）．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若在上无极值点，求的值；
（3）当时，讨论函数的零点个数，并说明理由．
【试题来源】广西南宁市第二中学2021届高三上学期数学（文）10月份考试
【答案】（1）； （2）时函数在上无零点；当时，函数在上有一个零点；当时，函数在上有两个零点．
【解析】（1）当时，，
，，，
所以曲线在点处的切线方程为．
（2），，依题意有，即，
，解得．
（3）时，函数在上恒为增函数且，函数在上无零点．
时：当，，函数为增函数；
当，，函数为减函数；
当，，函数为增函数．
由于，此时只需判定的符号：
当时，函数在上无零点；
当时，函数在上有一个零点；
当时，函数在上有两个零点．
综上，时函数在上无零点；当时，函数在上有一个零点；当时，函数在上有两个零点．
54．已知函数的图象在点处的切线方程为．(本题可能用的数据：，是自然对数的底数)
（1）求函数的解析式；
（2）若对任意，不等式恒成立，求整数t的最大值．
【试题来源】江西省南昌县莲塘第一中学2021届高三11月质量检测（理）
【答案】（1）；（2）最大值为8．
【解析】（1）函数的定义域为，，
所以有，解之得，故；
（2）当时，则，
令()，则由题意知对任意的，，
而，，再令()，
则，所以在上为增函数，
又，，
所以存在唯一的，使得，即，
当时，，，所以在上单调递减，
当时，，，所以在上单调递增，
所以，
所以，又，所以，
因为t为整数，所以t的最大值为8．
55．设函数，
（1）当时，求函数在点处的切线；
（2）当时，曲线上的点处的切线与相切，求满足条件的的个数．
【试题来源】吉林省吉林市2021届高三第一学期第一次调研考试 （文）
【答案】（1）；（2）2个．
【解析】（1）当时，，，，
即切线方程为；
（2）当时，，
则曲线上的点处的切线方程为
，即．
设直线与相切于点，即切线方程为．
即，即，，
令，则 ，
令，得 ，即在单调递减，在上单调递增，
即，
当时，，即 ，
当时， ，所以，当时，；当，，
即在单调递减，在单调递增，即，
因为，且，
在和上各有个零点，在和上各有个零点，
即有两个实根，即满足条件的有个．
【名师点睛】根据导数的几何意义求出，关键构造函数，将切点个数转化为函数的零点个数，考查了转化与划归的思想，属于难题．
56．若，曲线与直线相切，
（1）求的值
（2）任意，求的取值范围．
【试题来源】广东省中山纪念中学2021届高三上学期10月月考
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）设曲线与直线相切于点，
则有：即，
将（2）代入（1）得，即．
设函数，，
当单调递增，当单调递减．
有唯一零点，故方程有唯一根，所以．
（2）任意，代入，得，
解得，再由，可得，
整理得，，
所以原命题可以化为所以，令：，
观察可知为减函数，且时，，









单调递减

单调递增
，所以：，解得．综上．
57．已知函数(为自然对数的底数)．
（1）当时，求在处的切线方程和的单调区间；
（2）当时，，求整数的最大值．
【试题来源】安徽省皖江名校联盟2021届高三第二次联考（理）
【答案】（1）切线方程为，在上单调递减；（2）最大值为2．
【解析】（1）当时，，；
所以，，故可得切线方程为；
设，因为，令，解得，
所以在区间单调递增，在区间单调递减，
所以，所以在上单调递减．
（2）因为时，恒成立，即，恒成立．又，设，，
在区间单调递增，在区间单调递减，故．
①当，即时，，故在单调递减．
故，若满足题意，只需，
解得．故；
②当，即时，因为在区间单调递减，且，
当时，，此时在区间单调递减，
要满足题意只需，解得，故此时只需．
当时，因为在区间单调递减，故一定存在，，且使得在区间单调递增，单调递减．
故要满足题意，只需，
即．结合，只需，恒成立即可．只需在时恒成立即可．
显然是关于且开口向下的二次函数，无法满足题意．
综上所述：满足题意的范围是．因为，且，
故满足题意的整数的最大值为2．