专题04 数列（解答题）（理）（9月第02期）（解析版）-2020-2021学年高二《新题速递•数学（理）

专题04 数 列（解答题）
1．（吉林省辽源市田家炳高级中学等友好学校2019-2020学年高一下学期期末考试数学（文）试题）在等差数列中，
（1）已知，求的值；
（2）已知，求的值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）利用等差数列下标和的性质求出的值，然后利用等差数列求和公式可求出的值；（2）利用等差中项的性质和等差数列的求和公式可计算出的值．
【解析】（1）由等差数列的性质可得
，
解得，因此，；
（2）由等差中项的性质和等差数列的求和公式得
．
2．（吉林省白城市洮南市第一中学2019-2020学年高一下学期第三次月考数学试卷）已知数列，满足，．
（1）证明：数列为等差数列．
（2）求．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）∵，，∴，
∴，即是首项为，公差为的等差数列．
（2）由上述可知，∴．
3．（上海市进才中学2019-2020学年高一下学期期中数学试题）数列{an}是首项为23，公差为整数的等差数列，且第6项为正，第7项为负．
（1）求数列的公差；
（2）求前n项和Sn的最大值．
【答案】（1）；（2）78．
【分析】（1）根据可得的范围，再根据为整数得到的值；（2）根据项的符号特征可得最大．
【解析】（1）由已知，得，．
解得．又，∴．
（2）∵，∴数列是递减数列．
又∵，，∴当时，取得最大值，为．
【点睛】一般地，等差数列的前项和的最值可以通过等差数列的通项的符号来确定，如果满足，，则有最小值且最小值为；如果满足，，则有最大值且最大值为．
4．（河北省唐山市开滦一中2019-2020学年高一下学期期末数学试题）已知等差数列和正项等比数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据条件列公差与公比方程组，解得结果，代入等差数列通项公式即可；
（2）根据等比数列求和公式直接求解．
【解析】（1）设等差数列公差为，正项等比数列公比为，
因为，
所以
因此；
（2）数列的前n项和
5．（湖北省襄阳市第一中学2019-2020学年高二下学期5月月考数学试题）在公差不为0等差数列中，，且，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【答案】（1），（2）
【分析】（1）由已知得，，解方程组可求出，从而可求出通项公式；（2）由（1）可得，然后利用分组求和求解即可
【解析】（1）设等差数列的公差为，
因为，所以，得，
因为，，成等比数列，所以，
所以，
将代入上式化简得，，
因为，所以，得，所以，
（2）由（1）得，
所以，

.
6．（安徽省合肥市第六中学2019-2020学年高一下学期学情检测数学试题）已知等差数列的前项和为，公差为2，且，，成等比数列．
（1）求，，；
（2）设，求数列的前9项和．
【答案】（1），，；（2）1103．
【分析】（1）直接利用已知条件求出，即可得出结果；（2）利用（1）可求出数列的通项公式，进一步求出新数列的通项公式，再利用分组求和法求和即可．
【解析】（1）由，，成等比数列得，
化简得，又，解得，所以，；
（2）由（1）可知数列的通项公式，所以．
设的前项和为，则，
又，所以的前9项和为．
7．（江苏省南京市金陵中学2020届高三下学期6月考前适应性训练数学试题）设数列的前n项和为，
（1）求证：数列是等比数列；
（2）若，是否存在q的某些取值，使数列中某一项能表示为另外三项之和？若能求出q的全部取值集合，若不能说明理由．
（3）若，是否存在，使数列中，某一项可以表示为另外三项之和？若存在指出q的一个取值，若不存在，说明理由．
【答案】（1）见详解；（2）不存在；（3）不存在
【分析】（1）由前项和公式，结合求出，进而可得出结论成立；（2）根据得，不妨设，两边同除以，再结合条件，即可得出结论；（3）同（2），先设，当，结合条件验证不成立即可．
【解析】（1）n=1时，，
时，（n=1也符合）
，，即数列是等比数列．
（2）若则
可设，两边同除以得：
因为左边能被q整除，右边不能被q整除，因此满足条件的q不存在．
（3）若则
可设，，，
不成立．
8．（湖南省湘潭市2019-2020学年高一下学期6月选科走班摸底考试数学试题）已知数列的前n项和为，且，（）．
（1）求数列的通项公式；
（2）令（），求数列的前n项和；
（3）令（），若对于一切正整数n，总有成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】（1）利用与的关系可得（），再利用等比数列的通项公式即可求解．（2）由（1）知，根据错位相减法求数列的和即可求解．（3）利用作差求出数列中的最大值，即求．
【解析】（1）由题意，当时，有，
两式相减，得，即（），所以，当时是等比数列，
又，有，所以数列是等比数列，从而得出．
（2）由（1）知，，
，
所以，
故.
（3）由（1）得，则，
∵，∴，又当时，，当时，，
∴当时数列有最大值，∴实数m的取值范围为．
【点睛】本题考查了与的关系、等比数列的通项公式、错位相减法求数列的和，求数列中的最大项，考查了计算能力，属于基础题．
9．（山西省2019-2020学年高一下学期期末数学（理）试题）已知公差不为零的等差数列的前项和为，，且成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，数列的前项和为，求．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）设公差为，因为，，成等数列，所以，即，
解得，或(舍去)，所以．
（2）由（1）知，所以，
，所以．
10．（安徽省皖西南名校2019-2020学年高二下学期期末联考数学（理）试题）已知数列的前n项和为，且，．
（1）求的通项公式；
（2）令，求数列的前n项和．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）由，得，两式做差整理可得，运用累加法即可求得的通项公式；
（2）将代入，运用裂项相消求和法即可求得结果．
【解析】（1）因为，所以，
两式作差可得，整理得，
则，故，
当时，满足上式，故．
（2）由（1）可知，
则
．
11．（安徽省黄山市屯溪第一中学2019-2020学年高一下学期期中数学试题）有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．
【答案】四个数为0，4，8，16或15，9，3，1．
【解析】设四个数分别为，根据题意得，
解得或，所以这四个数为0、4、8、16或为15、9、3、1．
12．（吉林省松原市扶余市第一中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题）已知等差数列的前项和为，且满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）设等差数列的公差为，建立关于首项和公差的方程组，由等差数列的通项公式可得答案．（2）根据等差数列的求和公式可得答案．
【解析】（1）设等差数列的公差为，则，解得，
所以数列的通项公式．
（2）．
13．（广西南宁三中2019-2020学年下学期高二期末考试（普通班）文科数学试题）设为等差数列，为数列的前项和，已知，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【答案】（1）（2）
【分析】（1）设等差数列的公差为，由条件建立方程组解出和即可；（2），利用等差等比数列的前项和公式计算即可．
【解析】（1）设等差数列的公差为，∵，，
∴，解得，∴；
（2）由（1）得，
∴
．
14．（河北省滦南县第一中学2019-2020学年高一下学期期末数学试题）已知数列满足，它的前项和为，且，．数列满足，其前项和为，求的最小值．
【答案】-225．
【分析】可得为等差中项，故数列为等差数列，由，，列等式解两个基本量，得出的通项公式，再由等差数列的前项和公式得出，将看作二次函数得出最小值．
【解析】∵，∴，故数列为等差数列．
设数列的首项为，公差为，
由，得：，解得，．
故，则，
令，即，解得，
∵，∴，即数列的前15项均为负值，∴最小．
∵数列的首项是-29，公差为2，∴，
∴数列的前项和的最小值为-225．
【点睛】数列中的五个基本量知三求二，，，灵活应用公式是快速解题的关键．应用函数的思想，将等差数列的和当作二次型函数对最值进行研究是常见方法．
15．（甘肃省会宁县第四中学2019-2020学年高二下学期期末考试数学（文）试题）已知是等比数列，是等差数列，且，，，
（1）求的值；
（2）求数列的前项和．
【答案】（1）9；（2）
【解析】（1）在等比数列中，，，所以，所以.
（2）由（1）知，，，，所以，
所以，所以.
16．（湖北省黄冈市黄梅县国际育才高级中学2019-2020学年高一下学期期中数学试题）已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为．若，，．
（1）求数列与的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【答案】（1）．（2）．
【分析】（1）先由题中条件得到，再设等差数列的公差为，结合题中数据求出公差，进而可得的通项公式；设等比数列的公比为，求出公比，即可得出通项公式；（2）先由（1）的结果，得到，再由分组求和法，结合等差数列与等比数列前项和公式，即可得出结果．
【解析】（1）由，，则
设等差数列的公差为，则，所以．
所以设等比数列的公比为，
由题，即，所以，所以；
（2），所以的前项和为
．
17．（四川省眉山市东坡区多悦高级中学校2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题）已知数列满足令．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求数列的通项公式．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）由题设知，于是有=+，bn﹣bn﹣1=，由此可知数列{bn}为等差数列．（2）由题设知bn=，于是有，两边同时取倒数后能够得到an=+2．
【解析】（1）∵an＝4－(n≥2)，∴an＋1－2＝2－＝(n≥1)．
∴＝＝＋(n≥1)，即bn＋1－bn＝(n≥1)．∴{bn}为等差数列．
（2）解：∵为等差数列，∴＝＋(n－1)·＝．
∴an＝2＋．∴{an}的通项公式为an＝2＋
18．（上海市进才中学2019-2020学年高一下学期期中数学试题）设数列的前项和为，为等比数列，且，．
（1）求数列和的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【答案】（1），；（2）
【分析】（1）由已知利用递推公式，可得，代入分别可求数列的首项，公比，从而可求．（2）由（1）可得，利用乘“公比”错位相减法求和．
【解析】（1）当时，，
当时，满足上式，故的通项式为．
设的公比为，由已知条件知，，，
所以，，即．
（2），
，
，
两式相减得：，
.
19．（山西省孝义市第二中学校2019-2020学年高一下学期期末数学试题）已知数列的前项和为，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）当时，，当时，也成立，可得；（2）由（1）知，故，则，利用错位相减法可得结果．
【解析】（1）由，得：当时，；
当时，．
经检验当时，也成立，所以．
（2）由（1）知，故，所以．
，①
，②
由①-②，得，
所以．
【点睛】本题主要考查等比数列的通项以及错位相减法求数列的前项和，属于中档题．一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解，在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式．
20．（山西省孝义市第二中学校2019-2020学年高一下学期期末数学试题）若是公差不为0的等差数列的前项和，且，，成等比数列．
（1）求等比数列，，的公比；
（2）若，求的通项公式；
（3）设，是数列的前项和，求使得对所有都成立的最大正整数．
【答案】（1）4；（2）；（3）19．
【分析】（1）用等差数列前项和公式表示出，由它们成等比数列得，代入后可；（2）由，结合（1）求出和，可得通项；（3）由裂项相消法求得和.
【解析】因为数列为等差数列，所以，，，
又，，成等比数列，所以，，∴，
因为公差不等于0，所以
（1）.
（2）因为，∴，又，∴，，∴
（3）因为，
所以，
要对恒成立，则，，∵，∴的最大值为19．
21．（湖南省湘潭市2019-2020学年高一下学期6月选科走班摸底考试数学试题）已知数列满是，．
（1）若数列为等比数列，求通项公式；
（2）若数列为等差数列，且其前n项和为，求的值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）根据，，利用“”法求解．
（2）根据，，利用“”法求解．
【解析】（1）设数列的公比为q，因为，，所以，
解得，．所以数列的通项公式为．
（2）设数列的公差为d，因为，．所以，
解得，．所以，可得．所以．
22．（安徽省高中教科研联盟2019-2020学年高二下学期期末联考理科数学试题）已知等比数列的公比，且．
（1）求；
（2）求数列的前n项和．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）根据等比数列通项的性质求得，结合首项写出通项公式．（2）根据错位相减法求得数列的前n项和．
【解析】（1）∵，∴．
由题意，得，∴．∴或．
∵，∴．∴．
（2），①
．②
①-②得
，∴．
23．（安徽省淮南市第一中学2019-2020学年高一下学期期末数学试题）正项数列的前项和满足：，，
（1）求数列的通项公式；
（2）令，数列的前项和为，证明：对于任意的都有．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【分析】（1）利用与的关系，结合等差数列的性质，即可得出数列的通项公式；
（2）由得出数列的通项公式，结合裂项相消法和不等式的性质证明即可．
【解析】（1）∵正项数列的前项和满足：，①，
则，②，①②得，
即，即，
又，．
又，所以数列是以2为首项2为公差的等差数列，所以．
（2）由于，则

．
24．（湖南省岳阳市2019-2020学年高二下学期期末数学试题）已知是等差数列，是等比数列，，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，在①，②这两个条件中任选一个，补充在题干条件中，是否存在，使得且？若问题中的存在，求的值；若不存在，说明理由．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】（1）；（2）答案见解析．
【分析】（1）求出等比数列的首项和公比后可得通项公式；（2）若选择条件，然后求出等差数列的首项和公差，得通项公式，且等价于，，求得即可，若选择，同样方法求得，若求不出实数值，说明不存在．
【解析】（1）设等比数列首项为，公比为，则由，可得，，
所以等比数列的通项公式.
（2）若选择的条件是，由（1），所以，
又，所以，此时，由，，解得，故，
若选择的条件是，，又，所以的公差，
故，由，，即，显然无解．
故不存在满足条件的正整数．
【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式，考查等差数列前项公式，对等差数列的前项的最值问题，利用等差数列前项和的最值与项的关系求解更加简便，也可利用二次函数性质求解．
25．（广东省湛江市2019-2020学年高二上学期期末数学试题）已知数列的前项和为，且满足（）．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）当时，得；当时，得，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，即可得到．（2）由（1）得，利用乘公比错位相减法，即可求解数列的前项和．
【解析】（1）当时，，；当时，，①
，②，①②得，，，，
数列是以1为首项，3为公比的等比数列，所以．　
（2）由（1）得，
，①
，②
①②，得
．所以．　
26．（湖北省荆门市龙泉中学2020届高三下学期高考适应性考试（一）理科数学试题）已知正项等比数列满足，，数列的前项和为，
（1）求与的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【答案】（1）an＝2n，n∈N*；bn＝2n﹣2，n∈N*；（2）T2n＝•22n+1+2n2．
【解析】（1）由题意，设正项等比数列的公比为，由题意知，，
则，解得或（舍去），则；
当时，，
当时，，所以．
（2）由（1）知，当为奇数时，，当为偶数时，，则


．
【点睛】本题考查等比中项，考查了等比数列的通项公式，考查了由求通项公式，考查了等差数列的前项和，考查了等比数列的前项和，考查了分组求和．本题的易错点有两个，一是忽略正项等比数列这一条件，忘记排除这一解；二是在求时，忘记讨论时的情况．已知求通向公式时，代入即可．
27．（湖北省襄阳市第一中学2019-2020学年高二下学期5月月考数学试题）已知数列前项和满足，其中
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）利用已知条件，通过，判断数列是等比数列，然后求解通项公式．（2）首先求出的通项，再利用裂项相消法求和即可．
【解析】（1），①
当，，当，，②
①②：，即：
又，对都成立，所以是等比数列，
（2），，
，
．
28．（湖北省十堰市第一中学2019-2020学年高一下学期4月月考数学试题）在数列中，，当时，其前项和满足．
（1）求；
（2）设，求数列的前项和．
（3）求．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）运用数列的递推式：an＝Sn﹣Sn﹣1（n≥2），代入化简整理，再由等差数列的定义和通项公式即可得到所求；（2）得bn＝＝（），利用裂项相消求数列的和即可；（3）当时，结合（1），化简计算即可．
【解析】（1）在数列中，，当时，，且，
∴，∴，
由题意得Sn﹣1•Sn≠0，∴，且，
即数列为以1为首项，以2为公差的等差数列，
∴，∴.
（2）由（1）得=，
∴；
（3）当时，，
∴.
29．（湖北省十堰市第一中学2019-2020学年高一下学期4月月考数学试题）已知等比数列的前项和为，且满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）由等比数列前n项和下标等距之差构成的数列是等比数列有，求原等比数列的公比，由已知求，即可得的通项公式；（2）由（1）可写出，进而可求数列的前项和
【解析】（1）由题意知：，
由等比数列的前n项和等距分段的性质知：，故，
，代入可得，.
（2）由（1）知，
.
【点睛】本题考查了等比数列，由已知前n项和并结合等比数列的性质求公比、首项，即可得通项公式；由新数列与已知数列通项的关系，写出新数列通项公式并求其前n项和，其中应用了公式法求等比数列、等差数列的前n项和.
30．（湖北省十堰市第一中学2019-2020学年高一下学期4月月考数学试题）已知数列满足，且．
（1）求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【答案】（1）证明见解析，；（2）．
【分析】（1）将等式变形为，进而可证明出是等差数列，确定数列的首项和公差，可求得的表达式，进而可得出数列的通项公式；（2）利用错位相减法可求得数列的前项和．
【解析】（1）因为，所以，
即，所以数列是等差数列，且公差，其首项
所以，解得.
（2），①
，②
①②，得
，所以．
31．（湖南省邵阳市2020届高三下学期第三次联考数学（文）试题）设数列满足：，，．
（1）求证：数列为等比数列，并求出的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和．
【答案】（1）证明见解析，；（2）．
【分析】（1）根据条件，结合，得到数列是首项为3，公比为的等比数列，进而求出；（2）先根据（1）中求得的求出，再利用分组求和法求出即可．
【解析】（1）∵，，
∴．∴．∴．
∴是首项为3，公比为的等比数列．
∴，故．
（2）由（1）得，
∴
．
32．（广东省广州市2019-2020学年广雅、执信、二中、六中四校高一下学期期末联考数学试题）设数列{an}前n项和为Sn且2a1=a2=2，等差数列{bn}满足b1=1，b2+b5=b8且b2Sn+1+b5Sn-1=b8Sn（n≥2，n∈N*）.
（1）求{an}和{bn}的通项公式；
（2）求数列{anbn}的前n项和Tn．
【答案】（1），；（2）
【分析】（1）根据等差数列求{bn}的公差，即可得其通项公式，由b2Sn+1+b5Sn-1=b8Sn（n≥2，n∈N*）有，再确认时成立即可得{an}的通项公式；（2）根据（1）的结论有数列{anbn}的通项公式为，通过分组、错位相减，求前n项和Tn．即可.
【解析】（1）等差数列{bn}满足b1=1，b2+b5=b8，令公差为d，
则，即，∴{bn}的通项公式为：，
又∵b2Sn+1+b5Sn-1=b8Sn（n≥2，n∈N*），即Sn+1+2Sn-1=3Sn（n≥2，n∈N*），
∴，又数列{an}前n项和为Sn，即，
而2a1=a2=2，可知在上都成立，
∴数列是公比为2的等比数列，即.
（2）由（1）知数列{anbn}的通项公式为，若令，
即的前n项和：①，
∴②，
∴①-②有：，即，
而，∴.
33．（广东省广州市2019-2020学年广雅、执信、二中、六中四校高一下学期期末联考数学试题）某化工厂从今年一月起若不改善生产环境，按生产现状每月收入为75万元，同时将受到环保部门的处罚，第一个月罚7万元，以后每月增加2万元，如果从今年一月起投资600万元添加回收净化设备(改设备时间不计)，一方面可以改善环境，另一方面可以大大降低原料成本，设添加回收净化设并投产后n个月的累计收入为，据测算，当时，(是常数)，且前4个月的累计收入为416万元，从第6个月开始，每个月的收入都与第5个月相同，同时，该厂不但不受处罚，而且还将得到环保部门的一次性奖励200万元．
（1）求添加回收净化设备后前7个月的累计收入；
（2）从第几个月起投资开始见效，即投资改造后的纯收入（累计收入连同奖励减去改造设备费）多于不改造的纯收入（累计收入减去罚款）？
【答案】（1）743（2）
【分析】（1）根据，计算的值，可得，再求出第5月的净收入，可得第6月、第7月净收入，即可得前7月累计收入．（2）先将表达式写出来，求出前个月总罚款为，令，结合即可解出的值．
【解析】（1）由题意知，得，即，
第5个月净收入为万元，
所以万元
（2）由（1）知即，
若不投资改造，则前个月总罚款为，
令，得，
当时，不成立，
当时，，即，即，
又因为，所以，所以经过9个月投资开始见效.
34．（湖北省宜昌一中、龙泉中学2020届高三下学期6月联考数学（文）试题）数列中，，．
（1）求，的值；
（2）已知数列的通项公式是，，中的一个，设数列的前项和为，的前项和为，若，求的取值范围．
【答案】（1），（2），且是正整数
【分析】（1）根据已知条件，分别令和，求得的值．（2）根据判断出数列的通项公式为，利用裂项求和法求得的值，利用累加法求得的值，根据列不等式，解不等式求得的取值范围．
【解析】（1）∵，
∴，∴，.
（2）由数列的通项公式是，，中的一个，和得数列的通项公式是，
由可得，
∴，∴，
∵，，
∴，即，
由，得，解得或，
∵是正整数，∴所求的取值范围为，且是正整数.
35．（2020届山西省高三高考考前适应性测试（二）数学（理）试题）已知数列中，，，．
（1）若，求的值；
（2）是否存在，使为等比数列？若存在，求的前项和；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）存在使为等比数列，．
【分析】（1）根据得，，，，再根据即可解得；（2）根据题意得，再假设存在，使为等比数列，则即可解得，，验证满足条件，再结合等比数列前项和公式计算即可得答案．
【解析】（1）因为，，所以，，，
由于，所以，，，，因为，所以
（2）因为，，，所以
假设存在，使为等比数列，所以有，即：，解得，
此时等比数列公比，所以，，满足题意，故存在，为等比数列，且，
此时前项和.
36．（山西省大同市灵丘县豪洋中学2019-2020学年高一下学期期末数学试题）设是等差数列，是公比大于0的等比数列．已知，，．
（1）求和的通项公式；
（2）设数列满足，求．
【答案】（1），；（2）．
【分析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据题意列出关于、的方程组求解；（2）用错位相减法求和．
【解析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为．
依题意，得，解得，故，．
所以的通项公式为，的通项公式为．
（2），记，①
则，②
②-①得，，
所以．
37．（山西省大同市灵丘县豪洋中学2019-2020学年高一下学期期末数学试题）设数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【答案】（1），；（2）．
【分析】（1）根据题意可知时，，两式相减即可求出通项公式；（2）根据，利用裂项相消法可求数列的和．
【解析】（1）因为，
故当时，．
两式相减得，所以，
又由题设可得，从而的通项公式为，；
（2）记数列的前项和为．由（1）知，，
则．
38．（湖南省常德市2019-2020学年高一下学期期末数学试题）正项数列的前项和为，且.
（1）求，的值及数列的通项公式；
（2）记，数列前的和为，求证：．
【答案】（1），，；（2）证明见解析．
【分析】（1）分别代入即可求出，，再利用可以得出，从而判断是等差数列，即可求出通项公式；
（2）写出，用错位相减法求出，即可得证．
【解析】（1）时，，解得，
时，，解得（舍）或，
时，，整理得，
数列是首项为2，公差为4的等差数列，；
（2），，
，
两式相减得：
，整理得，
，．
39．（山西省2019-2020学年高一下学期期末数学（理）试题）已知等差数列与等比数列满足，，且．
（1）求数列，的通项公式；
（2）设，是否存在正整数，使恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），．（2）存在正整数，，证明见解析
【分析】（1）根据题意，列出关于d与q的两个等式，解方程组，即可求出．
（2）利用错位相减求出，再讨论求出的最小值，对应的n值即为所求的k值．
【解析】（1）解：设等差数列与等比数列的公差与公比分别为，，
则，解得，于是，，．
（2）解：由，
即，①
，②
①②得：，
从而得．令，
得，显然、，
所以数列是递减数列，于是，对于数列，当为奇数时，即，，，…为递减数列，最大项为，最小项大于；
当为偶数时，即，，，…为递增数列，最小项为，最大项大于零且小于，
那么数列的最小项为．故存在正整数，使恒成立．
40．（安徽省合肥市第六中学2019-2020学年高一下学期学情检测数学试题）数列的前项和为且满足，数列满足，且，则：（1）求数列和的通项公式；
（2）记，求的前项和．
【答案】（1），；（2）
【分析】（1）数列通项与前n项和间的关系当时，，当时，由，
得，两式相减得，再利用等比数列的定义求解；根据，利用等差数列的定义求解；（2）由（1）知，然后利用错位相减法求解．
【解析】（1）当时，，
当时，由，得，两式相减得，
又，所以数列是以1为首项，以3为公比的等边数列，所以，
因为，又，所以，
所以数列是以1为首项，以1为公差的等差数列，所以．
（2）由（1）知，所以，
，
两式相减得：，
所以．
41．（湖南省娄底市2019-2020学年高二下学期期末数学试题）已知在等比数列中，，且是和的等差中项．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求的前项和．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由题意结合等差数列的性质得到关于公比的方程，解方程求得公比的值，然后结合首项求解数列的通项公式即可．（2）结合（1）的结果首先确定数列的通项公式，然后分组求和即可求得数列的前项和．
【解析】（1）设等比数列的公比为，则，，
∵是和的等差中项，∴，
即，解得，∴．
（2），
则．
【点睛】数列求和的方法技巧：
（1）倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．
（2）错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．
（3）分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．
42．（江苏省南通市2020届高三下学期高考考前模拟卷（九）数学试题）已知数列是公差不为零的等差数列，且，，，成等比数列，数列满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）求证：数列是等比数列；
（3）若数列满足，且为整数，求m的值．
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）或．
【分析】（1）根据，，成等比数列可求出等差数列公差，即可求出通项公式；
（2）根据及可求出的通项公式，即可求证；
（3）由，分析出时，符合题意．
【解析】（1）因为，，，成等比数列，所以
即，解得：或（舍去），所以.
（2）因为，
所以，①
②
①②得：，
又，所以，
当时，，即，也适合，所以，
由知数列是公比为2的等比数列．
（3），当时，，时，，
当时，由知，不是整数，所以为整数则或．
43．（黑龙江省大庆第一中学2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题）设等差数列的前项和为，若，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求的前项和为．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）根据等差数列的性质可知，即可求出，因而可求出公差，故可求得通项公式；（2）由的形式可知，采用裂项相消法求出数列{bn}的前n项和．
【解析】（1）设公差为，①，
②，
由①、②解得：，∴；
（2），
∴．
44．（广西钦州市2019-2020学年高一下学期期末教学质量监测数学试题）已知数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和为．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）利用，可求得时的通项公式，代入检验，满足上式，则可得的通项公式；（2）代入的通项公式，利用裂项相消求和法，化简整理，即可得答案．
【解析】（1）当时，；
当时，，
所以当时，也符合上式，故．
（2）因为，
所以．
45．（河南省商丘一中2019-2020学年高一（下）期末数学试题）已知公差大于零的等差数列的前项和为，且满足：，．
（1）求通项；
（2）若数列是等差数列，且，求非零常数；
（3）在（2）的条件下，求的最大值．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）利用等差数列的通项公式，由，，即可求得首项与公差，从而可得数列的通项公式；（2）由，可求得，从而得，再利用是等差数列由，即可求得的值；（3）由（2）求得，于是，利用基本不等式即可求得最大值．
【解析】（1）由题知，，
所以，或，所以公差或，
又因为，所以，又，因此，所以．
（2）由（1）知，，
所以，
由是等差数列得，，即
解得：，或(其中舍去)，
此时，，是公差为等差数列，
所以．
（3）由（2）知

当且仅当，即时取得等号，即的最大值为．
46．（贵州省贵阳市2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题）在等差数列中，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）已知数列是首项为2，公比为2的等比数列，求数列的前和．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）由数列是等差数列，且，，利用“”法求解．
（2）根据数列是首项为2，公比为2的等比数列，得到，进而得到，然后利用分组求和法求解．
【解析】（1）设数列的公差为，
则，即，解得，
所以．
（2）因为数列是首项为2，公比为2的等比数列，
所以，又，∴，


．
47．（贵州省铜仁市伟才学校2019-2020学年高二下学期期末考试数学（文）试题）各项均为正数的等比数列的前项和为．已知，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）设的公比为，由，，解得，即可求解数列的通项公式；（2）由（1）得，可得，利用等比数列的求和公式，即可求解数列的前项和．
【解析】（1）设的公比为，由，得，
于是，解得（不符合题意，舍去），
故．
（2）由（1）得，则，
则…．
48．（安徽省蚌埠市2019-2020学年高一下学期期末数学试题）已知正项数列的前项和为，满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）记数列的前项和为，若，求；
（3）求数列的最小项．
【答案】（1）；（2）；（3）-30．
【分析】（1）由得，，两式相减，并化简得，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以；（2）利用错位相减法可求得结果；（3）作差，判断数列的单调性，根据单调性可求得最小项．
【解析】（1）由得，，
两式相减，得，
即，化简得，
因为数列为正项数列，所以，得，
令，又，所以，
所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，．
（2）由（1）可得，，

，
两式相减，得，
所以，化简得．
（3），
当时，；当时，，
即，数列的最小项为．
49．（四川省内江市2019-2020学年高一（下）期末数学（文科）试题）已知等差数列的前项和为，若，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，是数列的前项和，求使得对所有都成立的实数的范围．
【答案】（1）；（2），．
【分析】（1）直接利用等差数列的性质求出数列的通项公式．（2）利用（1）的结论，进一步利用裂项相消法的应用求出数列的和，进一步利用放缩法的应用求出参数的取值范围．
【解析】（1）设公差为的等差数列的前项和为，首项为，
若，，所以，解得，所以．
（2）由（1）得：，，
所以．
所以对所有都成立，
只需满足，故，即，．
50．（山东省2020年普通高等学校招生统一考试数学必刷卷（四））已知等差数列中，首项，公差为整数，且满足数列满足，且其前项和为．
（1）求数列的通项公式；
（2）若为的等比中项，求正整数的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据等差数列通项公式和题目所给不等式列不等式组，结合为整数求得公差的值，进而求得数列的通项公式．（2）利用裂项求和法求得，然后根据为的等比中项列方程，解方程求得的值．
【解析】（1）由题意，得解得．
又，∴．∴．
（2）∵，
∴
∵，，，为的等比中项，
∴，即，解得．
51．（河北省重点中学2019-2020学年高一下学期期末数学试题）在等差数列中，已知．
（1）求的通项公式；
（2）设的前n项和为，若，求n的值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）利用等比数列与等差数列的通项公式及其性质即可得出；（2）根据等差数列的求和公式直接计算即可．
【解析】（1）设等差数列的公差为d，由题意得
解得故．
（2）因为的前n项和为，所以，
整理得，故（舍去）或．
52．（湖南省益阳市桃江县2019-2020学年高二下学期期末数学试题）已知等比数列的前项和为，，且成等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项的和．
【答案】（1）（2）
【解析】（1）设等比数列的公比为，由，
即，得，
，所以，，由成等差数列，可得，
即，所以，所以．
（2）当为偶数时，，当为奇数时，
所以
．
53．（浙江省杭州市学军中学2020届高三下学期高考模拟数学试题）已知数列满足，，，．
（1）证明：数列是等比数列；
（2）求数列的通项公式；
（3）证明：．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析．
【解析】（1）因为，所以，
因为，所以，所以数列是等比数列；
（2）因为，所以，所以，
又因为，所以，所以是以为首项，
为公比的等比数列，所以，所以；
（3）①当时，；
②若n是偶数，则，
所以当n是偶数时，
；
③当n是奇数，且时，
；
综上所述，当时，．
54．（黑龙江省七台河市勃利县2019-2020学年高一（下）期末数学试题）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，2Sn＝（n+1）2an﹣n2an+1，数列{bn}满足b1＝1，bnbn+1＝λ•．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）是否存在正实数λ，使得{bn}是等比数列？并说明理由．
【答案】（1）an＝2n；（2）.
【解析】（1）数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，2Sn＝（n+1）2an﹣n2an+1，①
当n≥2时，2Sn﹣1＝n2an﹣1﹣（n﹣1）2an，②
①﹣②得2an＝（n+1）2an﹣n2an+1﹣n2an﹣1+（n﹣1）2an，②
整理得2an＝an+1+an﹣1（n≥2），所以数列{an}为等差数列．
所以2S1＝4a1﹣a2，解得a2＝4，所以d＝4﹣2＝2，故an＝2+2（n﹣1）＝2n．
（2）存在实数，理由如下：
由于数列{bn}满足b1＝1，bnbn+1＝＝λ•9n，
所以b1b2＝9λ，解得b2＝9λ，，所以，则b3＝9b1＝9，
由于数列{bn}是等比数列，所以，
所以（9λ）2＝9，又，解得，当时，b2＝3，b1＝1，即公比，
由，即，满足数列{bn}是等比数列，故．
55．（湖南省长沙一中2020届高三（下）月考数学（文科）试题（八））设等差数列的前项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，证明：
【答案】（1）（2）证明见解析
【解析】（1）设等差数列的公差为，
∵，，∴
∴，，∴．
（2）∵，①
∴时，，∴，
时，，②
①-②得：，∴
又也符合上式，∴，
又，
∴当时，；当时，，
∴数列先单调递增再递减，∴．