专题06 不等式（解答题）（10月）（理）（解析版）-2020-2021学年高二《新题速递•数学（理）

专题06 不等式（解答题）
一、解答题
1．（北京市清华大学附属中学2020-2021学年高一10月考）求下列关于x的不等式的解集：
（1）x2-3x-4≥0；
（2）-x2+x-1<0；
（3）x2≤a．
【答案】（1）；（2）；（3）见解析.
【解析】（1）x2-3x-4≥0，即，解集为；
（2）-x2+x-1<0，，解集为；
（3）当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为.
2．（黑龙江省哈尔滨市第三中学2019-2020学年高一下学期期末考试）已知，．
（1）求证：；
（2）若，求ab的最小值．
【答案】（1）证明见解析；（2）1．
【解析】证明：（1）∵，
∴．
（2）∵，，∴，即，
∴，∴．当且仅当时取等号，此时ab取最小值1．
【点睛】该题主要是考查不等式的证明和运用基本不等式求最值，在证明不等式时，可以运用综合法也可以运用分析法，一般的比较大小的最重要的方法就是作差法，然后结合综合法和分析法来一起证明，属于中档题．
3．（重庆市南开中学2020届高三下学期第九次质检（文））已知，．
（1）若，求的最小值；
（2）求证．
【答案】（1）9；（2）证明见解析．
【分析】（1）首先将转化为，再利用基本不等式求最小值即可．（2）首先将题意转化为证明，再利用作差法证明即可．
【解析】（1）因为，，
所以，
当且仅当：，时取最小值9．
（2）因为，，
要证，只需证，
而．
，
当且仅当“”时取等号，即证：．
【点睛】本题第一问考查基本不等式求最值，第二问考查做差法证明不等式，同时考查学生分析问题的能力，属于中档题．
4．（安徽省六安市舒城中学2020-2021学年高一上学期开学考试）（1）已知，比较与的大小；
（2）解不等式．
【答案】（1）当时，，当且时，；
（2）或．
【分析】（1）利用作差法比较即可；（2）运用分式不等式的解法步骤，移项、通分转化为整式不等式，根据一元二次不等式的解法即可求解．
【解析】（1），
当时，，
当且时，且，，，，
综上所述：当时，，
当且时，．
（2）由得，即，等价于，
即 ，解得： ，
所以原不等式的解集为：或
5．（甘肃省古浪县第二中学2019-2020学年高二下学期期中考试（文））设，均为正数，且．证明：
（1）
（2）
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】（1）因为，均为正数，且，
所以
，
所以，所以成立．
（2）因为，均为正数，且，
所以
，
所以成立．
6．（重庆市巴蜀中学2020-2021学年高一上学期９月月考）已知函数满足：对定义域内任意，都有成立．
（1）若的定义域为，且有成立，求的取值范围；
（2）若的定义域为，求关于的不等式的解集．
【答案】（1）；（2）答案不唯一，具体见解析．
【分析】（1）由题意得函数在定义域内单调递减，可得，解不等式即可得答案；（2）由题即求不等式的解集，因式分解，再进行根的大小比较，即可得答案；
【解析】设是定义域内任意两个变量，且，
则，又，
所以，即，故在定义域内单调递减，
（1）的定义域为，且有成立，
等价于，解之得，故，
所以的取值范围是；
（2）不等式的解集，
等价于的解集，即解集，
①当时，不等式解集为{；
②当时，不等式的解集为或；
③当时，即求不等式的解集，
（i）当即时，不等式的解集为；
（ii）当即时，不等式的解集为；
（iii）当即时，不等式的解集为．
【点睛】本题考查利用函数的单调性解不等式、分类讨论解含参一元二次不等式，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力．
7．（江西省南昌十中2020-2021学年高一上学期第一次月考）已知二次函数的图像经过点，且不等式对一切实数都成立．
（1）求函数的解析式；
（2）若对一切，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1） ；（2）．
【解析】（1）由题意知，，
则，所以对一切实数都成立，
即恒成立，则 ，
解得，所以．
（2）由题意知，对一切恒成立，可转化为
对一切恒成立，整理可得，
对恒成立，
令，即 ，
解得，所以实数的取值范围为．
【点睛】本题考查了二次函数解析式的求解，考查了一元二次不等式恒成立问题，属于中档题．本题第二问关键是将已知恒成立问题转化成具体含参一元二次不等式恒成立问题．
8．（湖南省益阳市箴言中学2020-2021学年高一上学期第一次月考）已知不等式的解集为或．
（1）求a，b；
（2）解不等式．
【答案】（1），；（2）答案见解析．
【分析】（1）根据一元二次不等式与对应方程之间的关系，利用根与系数的关系，列出方程组，求出，的值；（2）将，的值代入，并将不等式因式分解为，通过对与2的大小关系进行讨论，得出不等式的解集．
【解析】（1）因为不等式的解集为或，
所以x1＝1与x2＝b是方程ax2－3x＋2＝0的两个实数根，且b>1．
由根与系数的关系，得 ，解得；
（2）原不等式化为：，即，
①当时，不等式的解集为，
②当时，不等式的解集为，
③当时，不等式的解集为．
【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，根与系数的关系的应用，考查了分类讨论的思想，属于基础题．
9．（山东省聊城市2019-2020学年高二上学期期末）某山村为响应习近平总书记提出的“绿水青山就是金山银山”的号召，积极进行生态文明建设，投资64万元新建一处农业生态园．建成投入运营后，第一年需支出各项费用11万元，以后每年支出费用增加2万元．从第一年起，每年收入都为36万元．设表示前年的纯利润总和（前年的总收入-前年的总支出费用-投资额）
（1）求的表达式，计算前多少年的纯利润总和最大，并求出最大值；
（2）计算前多少年的年平均纯利润最大，并求出最大值．
【答案】（1），．前13年的纯利润总和最大，最大值为105万元．（2）前8年的年平均纯利润最大，最大值为10万元．
【分析】（1）根据题意知每年的支出费用构成等差数列，求出通项公式，从而求出前年的纯利润总和，利用一元二次函数的单调性求得最值；（2）求出前年的年平均纯利润的表达式，利用基本不等式可求得最值．
【解析】（1）由题意，每年的支出费用组成首项为11，公差为2的等差数列，
故前年的总支出费用为，
∴，．
，∴时，取得最大值105，
即前13年的纯利润总和最大，且最大值为105万元．
（2）由（1）知，前年的年平均纯利润为，
∵，当且仅当，即时等号成立，
∴，即前8年的年平均纯利润最大，且最大值为10万元．
10．（江西省奉新县第一中学2020-2021学年高二上学期第一次月考（文））某化工厂生产的某种化工产品，当年产量在150吨至250吨之内，其年生产的总成本（万元）与年产量（吨）之间的关系可近似地表示为．
（1）当年产量为多少吨时，每吨的平均成本最低，并求每吨最低平均成本
（2）若每吨平均出厂价为16万元，求年生产多少吨时，可获得最大的年利润，并求最大年利润．
【答案】（1）吨时每吨成本最低为10元．（2）年产量为230吨时，最大年利润1290万元．
【分析】【解析】（1）设每吨的平均成本为（万元/吨）
……4分
当且仅当，吨时每吨成本最低为10元，
（2）设年利润为（万元）
，
当年产量为230吨时，最大年利润1290万元.
11．（江苏省连云港市赣榆智贤中学2020-2021学年高二上学期9月月考）某工厂生产某种产品的年固定成本为200万元，每生产千件，需另投入成本为，当年产量不足80千件时，（万元）．当年产量不小于80千件时，（万元）．每件商品售价为0．05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．
（1）写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；
（2）当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
【答案】（1）（2）100千件
【分析】（1）根据题意，分，两种情况，分别求出函数解析式，即可求出结果；（2）根据（1）中结果，根据二次函数性质，以及基本不等式，分别求出最值即可，属于常考题型．
【解析】（1）因为每件商品售价为0．05万元，则千件商品销售额为万元，依题意得：
当时，．
当时，
，所以
（2）当时，．
此时，当时，取得最大值万元．
当时，．
此时，即时，取得最大值1050万元．
由于，故当年产量为100千件时，该厂在这一商品生产中所获利润最大，
最大利润为1050万元
【点睛】本题主要考查分段函数模型的应用，二次函数求最值，以及根据基本不等式求最值的问题，属于常考题型．
12．（安徽省安庆市宜秀区白泽湖中学2020-2021学年高二上学期入学考试）在直角坐标系中，已知点，点在中三边围成的区域(含边界)上，且．
（1）若，求；
（2）用表示并求的最大值．
【答案】（1）；（2），最大值为．
【分析】（1）利用向量的坐标表示以及向量坐标运算求出，再根据向量模的坐标表示即可求解．（2）由已知得，从而可得，进而可得，
【解析】（1）由已知，，
所以，．
（2）由已知得，
∴，，∴．
利用线性规划可得，当直线过点时，截距最大，

可得的最大值为．
【点睛】本题考查了向量的坐标运算、向量模的坐标求法、线性规划求最值，考查了数形结合的思想，属于基础题．
13．（黑龙江省双鸭山市第一中学2020-2021学年高二10月月考（文））设满足约束条件．
（1）求目标函数的取值范围；
（2）若目标函数z＝ax＋2y仅在点(-1，1)处取得最大值，求a的取值范围．
【答案】（1）（2）a<1
【分析】（1）的几何意义是点与点连线的斜率，观察可行域可得斜率的取值范围；（2）若目标函数仅在点处取得最大值，判断目标函数的斜率，可得到结论．
【解析】（1）不等式表示的可行域，如图阴影部分：

的几何意义是点与点连线的斜率，
联立方程组可得，观察图像得：，
又，
所以目标函数的取值范围是；
（2）若目标函数仅在点处取得最大值，
由得，如图：

可得，解得．
【点睛】本题主要考查线性规划的应用，根据目标函数的几何意义是解决本题的关键．注意使用数形结合．
14．（吉林省吉林市吉化一中2019-2020学年高一下学期期末（文））设x、y满足约束条件
（1）画出不等式组表示的平面区域，并求该平面区域的面积；
（2）若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为4，求的最小值．
【答案】（1）图象见解析，10；（2）4．
【分析】（1）利用约束条件画出可行域，然后求解可行域的面积即可．（2）求出目标函数的最优解，得到ab的关系式，然后利用基本不等式求解最小值即可．
【解析】（1）x、y满足约束条件的可行域为：
由，解得C（4，6），A（2，0），B（0，2）
可行域的面积为：=10．
（2）目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为4，可知，z=ax+by经过C时，取得最大值，可得4a+6b=4⇒a+b=1，；
当且仅当2a=3b=1时取得最小值4．

【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合以及目标函数的几何意义是解决本题的关键．
15．（江西省奉新县第一中学2020-2021学年高二上学期第一次月考（文））若不等式的解集是．
（1）试求的值；
（2）求不等式的解集．
【答案】（1） （2）
【分析】（1）由解集得到方程的根，利用根与系数关系可求．
（2）利用（1）中的结果并把分式不等式转化为一元二次不等式可求解集．
【解析】（1）因为不等式的解集是．
所以且的解是和．故，解得 ．
（2）由（1）得，整理得到即，
解得，故原不等式的解集为．
【点睛】（1）一元二次不等式的解集的端点是对应的方程的根，也是对应的二次函数图像与轴交点的横坐标，解题中注意利用这个关系来实现三者之间的转化．
（2）一般地，等价于，而则等价于，注意分式不等式转化为整式不等式时分母不为零．
16．（重庆市渝北区、合川区、江北区等七区2019-2020学年高一（下）期末）已知关于的不等式．
（1）若，求不等式的解集；
（2）若不等式的解集为，求的值．
【答案】（1）（2）
【分析】（1）将代入，利用一元二次不等式的解法即可求解；（2）根据不等式的解集确定方程的根，再利用根与系数关系即可求解．
【解析】（1）时，不等式即为，
它等价于，则．
时，原不等式的解集为．
（2）不等式的解集为，
，且，是关于的方程的根．
，．
17．（江苏省南通市启东中学2020-2021学年高三上学期期初）已知．
（1）解关于的不等式；
（2）若不等式的解集为，求实数的值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）由f（1）＝－3＋a(6－a)＋6＝－a2＋6a＋3，得a2－6a－3<0，求解即可；
（2）f(x)>b的解集为(－1，3)等价于方程－3x2＋a(6－a)x＋6－b＝0的两根为－1，3，由根与系数的关系求解即可．
【解析】（1）∵f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6，
∴f（1）＝－3＋a(6－a)＋6＝－a2＋6a＋3，
∴原不等式可化为a2－6a－3<0，解得3－2 ∴原不等式的解集为{a|3－2 （2）f(x)>b的解集为(－1，3)等价于方程－3x2＋a(6－a)x＋6－b＝0的两根为－1，3，
等价于解得．
18．（安徽省宿州市泗县第一中学2020-2021学年高二上学期开学考试）已知函数．
（1）若 ，试求函数的最小值；
（2）对于任意的，不等式成立，试求a的取值范围．
【答案】（1）最小值为；（2）．
【分析】（1）由．利用基本不等式即可求得函数的最小值；
（2）由题意可得不等式成立”只要“在恒成立”．不妨设，则只要在[0，2]恒成立．结合二次函数的图象列出不等式解得即可．
【解析】（1）依题意得．
因为x>0，所以 ．当且仅当，即时，等号成立．
所以．故当时，的最小值为 ．
（2）因为，所以要使得“任意的，不等式成立”，只要“在上恒成立”．
不妨设，则只要在上恒成立．
所以 即，解得．所以a的取值范围是．
19．（安徽省六安市霍邱县第二中学2020-2021学年高三上学期开学考试（理））（1）关于的方程有两个不相等的正实数根，求实数取值的集合；
（2）不等式对任意实数都成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）由题意，列出不等式组，即可求解实数取值的集合；（2）根据和分类讨论，即可求解实数的取值范围．
【解析】（1）依题知，∴，
∴ 实数的取值的集合为；
（2）①当时，不等式成立，
②当时，，∴，综上，∴．
20．（北京101中矿大分校2020—2021学年度高一10月数学考试）求下列不等式的解集：
（1）；
（2）；
（3）.
【答案】（1），（2）（3）
【分析】（1）先根据绝对值定义化简不等式，再解一元一次不等式得结果，（2）先因式分解，再根据一元二次函数图象得结果；（3）先转化为对应一元二次不等式，再根据二次函数图象得结果．
【解析】（1）或
因此或，即不等式解集为；
（2）
因此或，即不等式解集为；
（3）
因此，即不等式解集为
【点睛】本题考查解含绝对值不等式、解一元二次不等式、解分式不等式，考查基本求解能力，属基础题．
21．（湖北省宜昌市宜都市第二中学2020-2021学年高一上学期9月月考）若不等式的解集是．
（1）解不等式；
（2）为何值时，的解集为．
【答案】（1）或；（2）.
【解析】（1）由题意知且－3和1是方程的两根，
∴，解得．∴不等式，即为，
解得或．∴所求不等式的解集为或；
（2），即为，
若此不等式的解集为，则，解得．
【点睛】此题考查了一元二次不等式的解法和由一元二次不等的解集求参数，考查了一元二次不等式恒成立问题，考查了计算能力，属于中档题．
22．（江苏省宿迁市泗阳县桃州中学2020-2021学年高二上学期第一次调研考试）已知不等式的解集是．
（1）若，求的取值范围；
（2）若，求不等式的解集．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）将代入不等式，满足不等式求解即可． （2）根据一元二次不等式与一元二次方程的关系，利用根与系数关系求出，将代入不等式求解即可．
【解析】（1）∵，∴，∴
（2）∵，∴是方程的两个根，
∴由根与系数关系得，解得，
∴不等式，即为：，其解集为．
【点睛】本题考查了由一元二次不等式的解集求参数值、一元二次不等式的解法，考查了考生的基本运算能力，属于基础题．
23．（江苏省南京市江浦高级中学2020-2021学年高一上学期检测（二））已知关于的不等式，其中．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）当，试求不等式的解集．
【答案】（1）；（2）见详解．
【分析】（1）由化原不等式为，求解，即可得出结果；
（2）分，，三种情况，分别解对应的一元二次不等式，即可得出结果．
【解析】（1）时，不等式可化为，即，解得，即不等式的解集为；
（2）当时，不等式可化为，解得；
当时，不等式可化为，而，所以解不等式得或；
当时，不等式可化为，而，
所以解不等式得；
综上所述，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为．
24．（吉林省吉林市第二中学2020-2021学年高一上学期9月月考）若不等式的解集为，求实数的取值范围．
【答案】
【分析】观察不等式，二次项系数为，故讨论系数，得到不等式解集为的的范围．
【解析】由题意，时，不等式为恒成立，满足题意，所以成立；
时，不等式的解集为，
等价于，解得；
综上得到的范围是；
25．（内蒙古包头市2019-2020学年高一下学期期末考试）已知，，求证：
（1）；
（2）．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【分析】（1）由，可得，结合，可得；
（2）由，，，利用基本不等式可得，，，三个式子相乘，进而可证明结论成立．
【解析】证明：（1）因为，所以，，
于是，即，由，得．
（2）因为，，，所以，，，
所以，
当且仅当时，等号同时成立，因为，所以上式中等号不能同时取得．
所以．
26．（山西省孝义市2019-2020学年高二下学期期末（文））设，，，都大于0，且；若，求证：．
【答案】证明见解析．
【分析】由题设有且，两式相加再开方后可得所证的不等式．
【解析】∵，∴，
又∵， ∴，
∴ 即．
∵，，∴．
【点睛】本题考查不等式的证明，注意结合要证明的不等式的特点对题设中的等式和不等式作合理的变形处理，本题属于基础题．
27．（北京101中矿大分校2020—2021学年度高一10月考试）已知，求证：
【答案】见解析
【解析】因为，故，
要证，即证，即证，即证：，
因为，故，故，
因为，故，故，故原不等式成立．
【点睛】本题考查不等式的证明，此类问题一般用综合法或分析法来证明，注意用分析法证明时关键词“要证、即证”必不可少，本题属于基础题．
28．（吉林省白城市通榆县第一中学2020-2021学年高三上学期第一次月考（文））某厂花费2万元设计了某款式的服装．根据经验，每生产1百套该款式服装的成本为1万元，每生产（百套）的销售额（单位：万元）．
（1）该厂至少生产多少套此款式服装才可以不亏本？
（2）试确定该厂生产多少套此款式服装可使利润最大，并求最大利润．
（注：利润=销售额-成本，其中成本=设计费+生产成本）
【答案】（1）1百套；（2）该厂生产6百套此款式服装时，利润最大，且最大利润为3．7万元．
【分析】（1）令利润，解不等式即可得到结论；（2）对的范围进行讨论，根据二次函数的性质和基本不等式得到利润的最大值．
【解析】（1）时，
利润．
令，得，
又，即x的最小值为1，则该厂至少生产百套此款式服装才可以不亏本．
（2）当时，由（1）知，
所以当时，万元），当时，利润
，
因为
（当且仅当，即时，取“=”），所以（万元）
综上，当时，（万元）．
答：（1）该厂至少生产1百套此款式服装才可以不亏本；（2）该厂生产6百套此款式服装时，利润最大，且最大利润为3．7万元．
【点睛】本题主要考查了函数的应用以及函数最值的求解问题，利用一元二次函数和基本不等式是解决最值问题的常用方法．属于中档题．
29．（吉林省长春市普通高中2021届高三一模数学文科试题）已知
（1）求证：；
（2）求证：．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）由，结合已知条件即可证结论；
（2）由知，利用基本不等式“1”的代换即可证明结论；
【解析】（1）证明：因为， ，而，
所以，(当且仅当时取等号)
（2）因为，所以
所以
，当且仅当时取等号．
【点睛】本题考查了基本不等式，应用重要不等式结合已知条件证明不等式，由基本不等式“1”的代换证明不等式.
30．（江苏省徐州市沛县郑集高级中学2020-2021学年高一上学期第一次学情调查）十九大以来，国家深入推进精准脱贫，加大资金投入，强化社会帮扶，为了更好的服务于人民，派调查组到某农村去考察和指导工作．该地区有200户农民，且都从事水果种植，据了解，平均每户的年收入为3万元．为了调整产业结构，调查组和当地政府决定动员部分农民从事水果加工，据估计，若能动员户农民从事水果加工，则剩下的继续从事水果种植的农民平均每户的年收入有望提高，而从事水果加工的农民平均每户收入将为万元．
（1）若动员户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，求的取值范围；
（2）在（1）的条件下，要使这200户农民中从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，求的最大值．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）求得从事水果种植的农民的总年收入，由此列不等式，解不等式求得的取值范围．（2）从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入列不等式，根据分离常数法求得的取值范围，由此求得的最大值．
【解析】（1）动员户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，则，解得．
（2）由于从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，则，（），
化简得，（）．
由于，
当且仅当时等号成立，
所以，所以的最大值为．
31．（重庆市渝北区、合川区、江北区等七区2019-2020学年高一（下）期末）已知美国某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元．设该公司一年内共生产该款手机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为R(x)万美元，且，
（1）写出年利润W(万美元)关于年产量x(万部)的函数解析式；
（2）当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．
【答案】（1）W＝；（2）当x＝32时，W取得最大值为6104万美元．
【解析】（1）利用利润等于收入减去成本，可得
当时，；
当时，
；
（2）当时，，
时，；
当时，，
当且仅当，即时，
，时，的最大值为6104万美元．
【点睛】本题考查分段函数模型的构建，考查利用基本不等式求最值，考查学生分析问题解决问题的能力，属于中档题．
32．（湖北省武汉市部分重点中学（武汉六中等）2019-2020学年高一（下）期末）设函数．
（1）当且时，解关于的不等式；
（2）已知，若的值域为，，求的最小值．
【答案】（1）或；（2）．
【分析】（1）把且，代入不等式，利用配方法可求得不等式的解；
（2）化简变形，再利用基本不等式，即可求得最小值．
【解析】（1）由且，代入不等式，得，
化简，得，或，
不等式的解集为或
（2）由的值域为，，可得，△，
，可得．
，．的最小值为．
33．（黑龙江省大庆实验中学2020-2021学年高一上学期开学考试）因新冠肺炎疫情影响，呼吸机成为紧缺商品，某呼吸机生产企业为了提高产品的产量，投入万元安装了一台新设备，并立即进行生产，预计使用该设备前年的材料费、维修费、人工工资等共为（）万元，每年的销售收入万元．设使用该设备前年的总盈利额为万元．
（1）写出关于的函数关系式，并估计该设备从第几年开始盈利；
（2）使用若干年后，对该设备处理的方案有两种：案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以10万元的价格处理；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以50万元的价格处理；问哪种方案处理较为合理？并说明理由．
【答案】（1），3年；（2）第二种方案更合适，理由见解析．
【分析】（1）利用年的销售收入减去成本，求得的表达式，由，解一元二次不等式求得从第年开始盈利．（2）方案一：利用配方法求得总盈利额的最大值，进而求得总利润；方案二：利用基本不等式求得时年平均利润额达到最大值，进而求得总利润．比较两个方案获利情况，作出合理的处理方案．
【解析】（1）由题意得： ，
由得即，解得 ，
由，设备企业从第3年开始盈利；
（2） 方案一总盈利额：，当时，
故方案一共总利润，此时，
方案二：每年平均利润：，
当且仅当时等号成立，故方案二总利润，此时，
比较两种方案，获利都是170万元，但由于第一种方案只需要10年，而第二种方案需要6年，故选择第二种方案更合适．
34．（湖北省宜昌市宜都市第二中学2020-2021学年高一上学期9月月考）运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x≤100(单位：千米/时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时14元．
（1）求这次行车总费用y关于x的表达式；
（2）当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．
【答案】（1） y＝＋x，x∈[50，100] (或y＝＋x，x∈[50，100])．（2） 当x＝18千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为26元．
【分析】（1）先确定所用时间，再乘以每小时耗油与每小时工资的和得到总费用表达式，（2）利用基本不等式求最值即得结果．
【解析】（1）设所用时间为t＝ (h)，y＝×2×＋14×，x∈[50，100]．
所以，这次行车总费用y关于x的表达式是y＝＋x，x∈[50，100]
(或y＝＋x，x∈[50，100])．
（2）y＝＋x≥26，
当且仅当＝x，即x＝18时等号成立．
故当x＝18千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为26元．
35．（江苏省连云港市赣榆智贤中学2020-2021学年高二上学期9月月考）已知，，
（1）当时，求的最小值；
（2）当时，求的最小值．
【答案】（1）9；（2）
【分析】（1）由，可利用基本不等式可知，从而得到的不等式，求得其最小值；（2）将变形为，与所求式子求乘积即可利用基本不等式求得其最小值
【解析】（1）当时，，
即， ，
，，当且仅当时，等号成立．的最小值为9．
（2）当时，可得，两边都除以，得，
，
当且仅当，即，时取等号．的最值为
36．（云南省石林彝族自治县民族中学2019-2020学年高一6月月考）围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x（单位：元）．设修建此矩形场地围墙的总费用为y．

（1）将y表示为x的函数；
（2）试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．
【答案】（1）y=225x+
（2）当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元．
【分析】（1）设矩形的另一边长为am，则根据围建的矩形场地的面积为360m2，易得，此时再根据旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，我们即可得到修建围墙的总费用y表示成x的函数的解析式；（2）根据（1）中所得函数的解析式，利用基本不等式，我们易求出修建此矩形场地围墙的总费用最小值，及相应的x值
【解析】（1）设矩形的另一边长为a m，
则45x+180（x-2）+180·2a=225x+360a-360，
由已知xa=360，得a=，所以y=225x+，
（2），
．当且仅当225x=时，等号成立．
即当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元．
37．（北京外国语大学附属苏州湾外国语学校2020-2021学年第一学期高二期中模拟考试）习近平总书记指出：“我们既要绿水青山，也要金山银山．”新能源汽车环保、节能，以电代油，减少排放，既符合我国的国情，也代表了世界汽车产业发展的方向．宁德某新能源公司投资144万元用于新能源汽车充电桩项目，第一年该项目维修保养费用为24万元，以后每年增加8万元，该项目每年可给公司带来100万元的收入．假设第年底，该项目的纯利润为．（纯利润＝累计收入－累计维修保养费－投资成本）
（1）写出的表达式，并求该项目从第几年起开始盈利？
（2）若干年后，该公司为了投资新项目，决定转让该项目，现有以下两种处理方案：
①年平均利润最大时，以72万元转让该项目；②纯利润最大时，以8万元转让该项目；你认为以上哪种方案最有利于该公司的发展？并说明理由．
【答案】（1），从第3年开始盈利；（2）选择方案①最合算，理由见解析．
【分析】（1）先根据等差数列求和公式得累计维修保养费，再根据纯利润＝累计收入－累计维修保养费－投资成本得的表达式，最后解不等式，确定盈利起始年；（2）按方案①：结合基本不等式求最值，确定总利润，按方案②，根据二次函数性质求最值，确定总利润，最后比较总利润大小以及时间成本，即可确定选择．
【解析】（1）由题意，每年的维修保养费是以24为首项，8为公差的等差数列，
设纯利润与年数的关系为，
则．
令，解得，
，∴该项目从第3年开始盈利．
（2）按方案①：年利润为，
当且仅当，即时，取等号，
∴按方案①共获利万元，此时．
按方案②：，
当时，，∴按方案②，共获利万元，此时．
以上两种方案，两种方案都获利264万元，但方案①只需6年，而方案②需要10年，
故选择方案①最合算．
38．（北京市清华大学附属中学2020-2021学年高一10月考）已知x+y=1，x，y∈R+．
（1）求x2+y2+xy的最小值；
（2）求的最大值；
（3）求x(1-3y)的最小值．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）由题可知，则；（2）将平方即可求出最大值；（3）将代入，即可根据二次函数的性质求出最值．
【解析】（1），，当且仅当时等号成立，
，的最小值为；
（2），
，即的最大值为；
（3），，
则，
当时，取得最小值．
39．（安徽省合肥市肥东县高级中学2020-2021学年高二上学期第二次月考（文））已知非负实数x，y满足．
（1）在所给坐标系中画出不等式组所表示的平面区域；

（2）求z＝x＋3y的最大值．
【答案】（1）见解析； （2） 9 ．
【分析】（1）根据不等式组以及可行域的概念画出可行域即可；（2）结合第一问的可行域，结合图像得到最值即可．
【解析】（1）由x，y取非负实数，根据线性约束条件作出可行域，如图所示阴影部分．

（2）作出直线l：x＋3y＝0，将直线l向上平移至l1与y轴的交点M位置时，此时可行域内M点与直线l的距离最大，而直线x＋y－3＝0与y轴交于点M(0，3)，所以zmax＝0＋3×3＝9．
【点睛】利用线性规划求最值的步骤：
（1）在平面直角坐标系内作出可行域．
（2）考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（型）、斜率型（型）和距离型（型）．
（3）确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解．
(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．
40．（江苏省南通市启东中学2020-2021学年高一上学期期初）解下列不等式：
（1）－4＋x－x2＜0；
（2）≥2；
（3）|2x＋1|＋|x－2|>4．
【答案】（1）R；（2）；（3）或．
【分析】（1）整理得x2－x＋4＞0，由 Δ＜0，可得 原不等式的解集为R；
（2）≥2等价于，利用一元二次不等式的解法求解即可；
（3）分类讨论去绝对、解不等式，然后求并集即可．
【解析】（1）整理得x2－x＋4＞0，∵ Δ＜0，∴ 原不等式的解集为R．
（2）≥2等价于，解集为；
（3）当x≤－时，原不等式可化为－2x－1＋2－x>4，∴ x<－1，此时x<－1；
当－4，∴ x>1，此时1 当x≥2时，原不等式可化为2x＋1＋x－2>4，∴ x>，此时x≥2．
综上可得，原不等式的解集为或．
41．（安徽省六安市霍邱县第二中学2019-2020学年高一下学期段考）已知函数
（1）当时，解关于的不等式；
（2）当时，解关于的不等式．
【答案】（1）；（2）当时，不等式的解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式的解集为．
【分析】（1）利用因式分解法，结合二次函数的图象和性质即可求得不等式的解集；
（2）利用十字叉乘法分解因式后，根据函数的零点的大小关系对的不同取值（范围）分类讨论，在各种不同情况下求得不等式的解集．
【解析】（1）当时，不等式可化为，
即，解得，
所以不等式的解集为．
（2）当时，不等式可化为，
即，则，
当时，，则不等式的解集为；
当时，不等式化为，此时不等式解集为；
当时，，则不等式的解集为．
【点睛】本题考查不含参数和含有参数一元二次不等式的解法，关键在于（2）中根据函数零点的大小关系对实数进行分类讨论，属中档题，难度一般．
42．（北京外国语大学附属苏州湾外国语学校2020-2021学年第一学期高二期中模拟考试）已知函数．
（1）若关于的不等式的解集为，求，的值；
（2）当时，求关于的不等式的解集．
【答案】（1）；（2）分类讨论，答案见解析．
【分析】（1）根据不等式解集得对应方程的根，再根据根与系数关系求，的值；
（2）根据与0的大小分类讨论，即得对应不等式解集．
【解析】（1）不等式的解集为
，解得．
（2），，即，
当时，，当时，，当时，或．
综上所述，当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为．
43．（北京外国语大学附属苏州湾外国语学校2020-2021学年第一学期高二期中模拟考试）（1）已知不等式的解集为，求的最小值；
（2）若正数满足，求证：．
【答案】（1）4；（2）证明见解析．
【分析】（1）利用根与系数的关系及基本不等式求解的最小值；
（2）直接利用基本不等式结合证明；
【解析】（1）时，，
因为不等式的解集为，
所以方程的两根为，
由根与系数关系可得，，因为，所以，
则，
当且仅当时取等号，故的最小值为4；
（2）基本不等式，由为正数且
由基本不等式，有
三式相加可得：
，即（当且仅当时等号成立）
44．（四川省泸县第四中学2020-2021学年高一上学期第一次月考）（1）求函数的值域；
（2）若函数的定义域为，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）利用换元法，结合二次函数的性质求得函数的值域．（2）结合偶次方根的被开方数为非负数、分式分母不为零列不等式，根据一元二次不等式恒成立的条件求得所满足的不等式，解不等式求得的取值范围．
【解析】（1）由得．令，则，
所以，
由于，所以，即函数的值域为．
（2）由于函数的定义域为，
所以在上恒成立，所以或，
解得：或，即实数的取值范围是．
【点睛】本题主要考查利用换元法求函数的值域，考查函数定义域的知识，考查一元二次方程恒成立问题的求解策略，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题．
45．（重庆市部分区2019-2020学年高一下学期期末联考）已知关于的不等式的解集为．
（1）求，的值；
（2）解关于的不等式．
【答案】（1），；（2）当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或．
【分析】（1）根据题意利用根与系数的关系列方程求出、的值；（2）不等式化为，求出对应方程的解，利用分类讨论写出不等式的解集．
【解析】（1）由题意可知，且和是方程的两根，
则有，解得，；
（2）由（1）知，原不等式可以化为，即，
当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为或．
综上所述：当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或．
46．（吉林省吉林市第二中学2020-2021学年高一上学期9月月考）（1）解不等式；
（2）解关于的不等式： ．
【答案】（1）；（2）当时，解集为；当时，解集为空集；当时，解集为．
【分析】（1）分式不等式用穿根法求解即可．（2）含参数的二次不等式求解，先求解对应方程的实数根，再结合二次函数图象对实数根的大小分类讨论解决即可．
【解析】（1）原不等式可化为且，由标根法（或穿针引线法）

可得不等式的解集为．
（2）原不等式等价于．
当 时，；
当 时， ，解集为空集；
当时，．
综上所述，当 时，解集为；当 时，解集为空集；当 时，解集为．
47．（江西省上饶市横峰中学2021届高三上学期第一次月考（文））已知函数，不等式的解集是．
（1）求的解析式；
（2）若对于任意，不等式恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）由已知可得为方程的解，根据根与系数关系，即可求解；（2）不等式恒成立，只需，根据二次函数的性质，求出即可．
【解析】（1）由不等式的解集是知，
2和3是方程的两个根．
由根与系数的关系，得，即．所以．
（2）不等式对于任意恒成立，
即对于任意恒成立．
由于的对称轴是，
当时，取最大值，，
所以只需，即．解得或．
故的取值范围为．
【点睛】本题考查函数的解析式，注意二次函数、一元二次方程和一元二次不等式三个“二次”之间的关系，考查不等式恒成立问题，属于中档题．
48．（山西省运城市2019-2020学年高二下学期期末（文））已知函数有两个零点，，且，的倒数和为．
（1）求函数的解析式；
（2）若在区间上，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）利用根与系数关系可得，从而可得答案；（2） 不等式等价于，利用二次函数的单调性求出函数在区间上的最大值，进而可得结果．
【解析】（1）因为函数有两个零点，，
所以，是方程的两个实数根，所以，．
所以．又，的倒数和为，所以．
所以．
（2）不等式等价于，即．
要使不等式在区间上恒成立，
只需令函数在区间上的最大值小于即可．
因为函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以，所以．因此，满足条件的实数的取值范围是．
【点睛】本题主要考查根与系数关系、二次函数的解析式以及二次函数在区间上的最值，考查了不等式恒成立，属于中档题．
49．（江苏省苏州市八校联盟2020-2021学年高三上学期10月第一次适应性检测）对于函数，若在定义域内存在实数x，满足，则称为“局部奇函数”．
（1）已知二次函数，试判断是否为“局部奇函数”？并说明理由；
（2）若为定义域R上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围．
【答案】（1）为“局部奇函数”．理由见解析；（2）．
【分析】（1）直接解方程，方程有解即得；（2）由方程有解，设换元后转化为关于的二次方程在上有解，可结合二次函数的性质或二次方程根的分布知识得出结论．
【解析】（1）当时，
方程即有解，所以为“局部奇函数”．
（2）当时，可化为
．
设，则，
从而在有解即可保证为“局部奇函数”．
令，
1° 当，在有解，
由，即，解得；
2° 当时，在有解等价于
解得．
（说明：也可转化为大根大于等于2求解）
综上，所求实数m的取值范围为．
【点睛】本题考查新定义，解题方法把新定义问题进行转化，转化为方程有解，从而把问题转化二次方程根的分布．
50．（江苏省宿迁市泗阳县桃州中学2020-2021学年高二上学期第一次调研考试）解关于的不等式：．
【答案】答案不唯一，见解析
【分析】由于参数的不确定性，可分为和，当时，又可具体分为，，，再结合二次函数的图像开口与判别式的关系即可求解
【解析】 当时，不等式即，解得．
当时，对于方程，
令，解得或；令，解得或；
令，解得或，方程的两根为．
综上可得，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为．
【点睛】本题考查含参不等式的解法，分类讨论法的具体应用，二次函数的图像与判别式的关系，逻辑转化能力，属于难题.
51．（四川省眉山市彭山区第一中学2019-2020学年高一下学期期中考试）设函数，
（1）若不等式的解集为，求的值；
（2）若，求的最小值．
（3）若 求不等式的解集．
【答案】（1）2；（2）；（3）分类讨论，详见解析．
【解析】（1）由不等式的解集为可得：
方程的两根为，3且，
由根与系数的关系可得：，所以
（2）由已知得，则
，
当时，，所以（当且仅当时等号成立）；
当时，，所以（当且仅当时等号成立）；
所以的最小值为；
（3）由得，
又 所以可化为，即，
当时，，原不等式或
若，原不等式
此时原不等式的解的情况应由与1的大小关系决定，故
当时，不等式的解集为；
当时，，不等式；
当时，，不等式 ．
综上所述，不等式的解集为：①当时，或；②当时，；③当时，；④当时，．
【点睛】本题综合考查二次函数与一元二次不等式、一元二次方程之间的转化的关系，以及利用基本不等式求解最值和讨论参数的范围求解一元二次不等式，属于中档题．