专题11 空间向量与立体几何（选择题、填空题）（10月）（理）（解析版）-2020-2021学年高二《新题速递•数学（理）

专题11 空间向量与立体几何（选择题、填空题）
一、单项选择题
1．（江西省赣州市赣县第三中学2020-2021学年高二8月入学考试）已知点和点，且，则实数的值是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】A
【解析】，
，解得：或．故选A
2．（2020江西省新余期末质量检测）在空间直角坐标系中，已知P(－1，0，3)，Q(2，4，3)，则线段PQ的长度为(　　)
A． B．5
C． D．
【答案】B
【解析】由题得，所以线段PQ的长度为5．
故答案为B
3．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）已知空间向量，，且，则实数（ ）
A． B．-3
C． D．6
【答案】A
【解析】因为，所以，即：，
所以，解得．故选A．
4．（江西省新余一中、宜春一中2021届高二联考）如图所示，在正方体中，是底面正方形的中心，是的中点，是的中点，则直线，的位置关系是（ ）

A．平行 B．相交
C．异面垂直 D．异面不垂直
【答案】C
【分析】建立空间直角坐标系，写出与的坐标，即可判断位置关系．
【解析】建立空间直角坐标系，如图所示．设正方体的棱长为2，则，，，，
∴，．∵，∴直线，的位置关系是异面垂直． 故选: C

5．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于，点分别是的中点，则的值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由题意可得，再利用两个向量的数量积的定义求得结果．
【解析】
，故选C.
6．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）已知M，N分别是四面体OABC的棱OA，BC的中点，点P在线段MN上，且，设向量，，则（ ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】如图所示，连接ON，∵，，

所以，，，
∴
．故选C．
7．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）若两条不重合直线和的方向向量分别为，，则和的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交
C．垂直 D．不确定
【答案】A
【解析】因为两条不重合直线和的方向向量分别为，，
所以，即与共线，所以两条不重合直线和的位置关系是平行，故选A
8．（山东省滕州市第一中学2020-2021学年高二9月开学收心考试）设，向量且，则（ ）
A． B．
C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示求得参数，再求向量模长即可．
【解析】，
，
，，故选．
9．（江西省宜春市2016-2017学年高二上学期期末统考理）如图所示，在空间四边形中，，点在上，且为中点，则（ ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由向量的加法和减法运算：
．故选B
10．（陕西省商洛市商丹高新学校2019-2020学年高二下学期4月学情质量检测数学（理））如图，已知正方体，点是的中点，点是的三等分点，且，则（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】∵点是的中点，点是的三等分点，且，
∴
，故选D．
11．（安徽省六安市舒城中学2020-2021学年高二上学期开学考试数学（文）试题）如图，四个棱长为的正方体排成一个正四棱柱，是一条侧棱，是上底面上其余的八个点，则的不同值的个数为（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】，平面，，，，
则的不同值的个数为个，故选.
12．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）点P(1，2，3）关于xOy平面的对称点的坐标为（ ）
A．(－1，2，3) B．(1，－2，－3)
C．(－1，－2，－3) D．(1，2，－3)
【答案】D
【分析】关于xOy平面对称的点的坐标不变，只有坐标相反．
【解析】点P(1，2，3）关于xOy平面的对称点的坐标为．故选D．
13．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）若向量，向量，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据题意求出，再根据向量的减法坐标运算，由此即可求出结果．
【解析】因为向量，向量，则，
则，故选C．
14．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）已知正方体，点是上底面的中心，若，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】如图，
，所以，所以．故选C

15．（江苏省南京市秦淮区2019-2020学年高一下学期期末）空间直角坐标系中，已知两点，，则这两点间的距离为（ ）
A． B．
C． D．18
【答案】B
【解析】根据题意，两点，，
则；故选．
16．（湖北省恩施高中2020届高三下学期四月决战新高考名校交流卷（B））已知向量，，，且，，则的值为（ ）
A．6 B．
C．9 D．
【答案】C
【解析】∵，∴，，∴向量，
∵，∴，∴，∴．故选C．
17．（四川省绵阳市2019-2020学年高二下学期期末教学质量测试数学（理）试题）在空间直角坐标系中，若，，则点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】首先设出点，利用向量坐标公式以及向量相等的条件得到等量关系式，求得结果．
【解析】设，所以，
所以，所以，所以点的坐标为，故选D．
18．（广东省云浮市2019-2020学年高二上学期期末）如图，在三棱锥中，点，，分别是，，的中点，设，，，则（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】点，，分别是，，的中点，且，，，

．
故选D．
19．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）一个向量在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为向量在基底下的坐标为，所以，
设在基底下的坐标为，
所以，
有，，，在基底下的坐标为．
故选B．
20．（湖北省武汉襄阳荆门宜昌四地六校考试联盟2020-2021学年高三上学期起点联考）如图，直四棱柱的底面是菱形，，，M是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】用向量分别表示，利用向量的夹角公式即可求解．
【解析】由题意可得， 故选D
21．（河北省石家庄市第二中学2020-2021学年高二上学期8月线上考试（二））长方体中，为棱的中点，则直线与平面所成角的余弦值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】根据题意，建立如图所示直角坐标系：

则，设平面的法向量为，
则可得：，取，
则 =，设直线与平面的夹角为，
则，．故选A．
22．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）已知点，，则，两点的距离的最小值为
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由两点之间的距离公式求得AB之间的距离用t表示出来，建立关于t的函数，转化为求函数的最小值．
【解析】因为点，，
所以，
有二次函数易知，当时，取得最小值为，的最小值为，故选C．
23．（湖南省邵阳市邵东县第十中学2020届高三下学期模拟考试数学（文）试题）如图，在正方体中，，分别是棱，的中点，点在对角线上运动．当的面积取得最小值时，点的位置是（ ）

A．线段的三等分点，且靠近点 B．线段的中点
C．线段的三等分点，且靠近点 D．线段的四等分点，且靠近点
【答案】B
【解析】设正方体的棱长为1，以 为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：则，，的中点，

，，则，设，，
由与共线，可得，所以，所以，其中，因为，
，
所以，所以，即是动点到直线的距离，
由空间两点间的距离公式可得，所以当时，取得最小值，
此时为线段的中点，由于为定值，所以当的面积取得最小值时，为线段的中点．故选B
24．（云南省梁河县第一中学2019-2020学年高二7月月考数学（理）试题）长方体中，，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得异面直线与所成角的余弦值．
【解析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、，，，
．
因此，异面直线与所成角的余弦值为．故选B．
25．（广西桂林市2019-2020学年高二下学期期末质量检测数学（理））在正方体ABCD­-A1B1C1D1中，E是C1C的中点，则直线BE与平面B1BD所成角的正弦值为(　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】以为坐标原点，以为轴，以为轴，以为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与平面所成角的正弦值．
【解析】以为坐标原点，以为轴，以为轴，以为轴，建立如图空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则，，，，
∴，，，
设平面的法向量为，∵，，
∴，令，则，∴，
设直线与平面所成角为，则，故选B．

26．（陕西省商洛市商丹高新学校2020届高三下学期考前适应性训练理科）如图在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱且，则（ ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为底面是边长为1的正方形，侧棱且，
则 ，，，，，，
则

，故选B．
27．（2020届上海市七宝中学高三高考押题卷）已知是正方体内切球的一条直径，点在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用向量的线性运算和数量积运算律可将所求数量积化为，根据正方体的特点可确定的最大值和最小值，代入即可得到所求范围．
【解析】设正方体内切球的球心为，则，
，
为球的直径，，，，
又在正方体表面上移动，当为正方体顶点时，最大，最大值为；当为内切球与正方体的切点时，最小，最小值为，，即的取值范围为．故选．
【点睛】本题考查向量数量积的取值范围的求解问题，关键是能够通过向量的线性运算将问题转化为向量模长的取值范围的求解问题．
28．（湖北省荆门市2019-2020学年高二下学期期末）在平行六面体中，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由空间向量的线性运算，得，
由题可知，，则，所以，
．故选A．
29．（安徽省六校教育研究会2020-2021学年高三上学期第一次素质测试理科）如图，在直三棱柱中，已知，为侧棱上任意一点，为棱上任意一点，与所成角为，与平面所成的角为，则与的大小关系为（ ）

A． B．
C． D．不能确定
【答案】C
【分析】建立空间直角坐标系设，利用空间向量法分别求得，然后根据，利用余弦函数的单调性求解．
【解析】建立如图所示空间直角坐标系：

设，则，
所以，
所以，
又，，
所以，所以，
因为 在上递减，所以，故选C
30．（江西省赣州市赣县第三中学2019-2020学年高二6月份考试数学（理）试题）如图，在四棱柱中，底面为正方形，侧棱底面，，，是侧面内的动点，且，记与平面所成的角为，则的最大值为（ ）

A． B．
C．2 D．
【答案】B
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线面角的正切值的最大值．
【解析】以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
设，则，
，，
，
，的最大值为．故选．

31．（江西省赣州市赣县第三中学2019-2020学年高二6月份考试数学（理）试题）如图，在棱长都相等的正三棱柱中，是棱的中点，是棱上的动点．设，随着增大，平面与底面所成锐二面角的平面角是（ ）

A．增大 B．先增大再减小
C．减小 D．先减小再增大
【答案】D
【解析】设正三棱柱棱长为，，
设平面与底面所成锐二面角为，
以为坐标原点，过点在底面内与垂直的直线为轴，
所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
设平面的法向量，则，
即，令，则，
所以平面的一个法向量，
底面的一个法向量为，

当，随着增大而增大，则随着的增大而减小，
当，随着增大而减小，则随着的增大而增大．故选D．

32．（山东省滕州市第一中学2020-2021学年高二9月开学收心考试）已知空间直角坐标系中，，，，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】设，根据点在直线上，求得，再结合向量的数量积和二次函数的性质，求得时，取得最小值，即可求解．
【解析】设，由点在直线上，可得存在实数使得，
即，可得，
所以，
则，
根据二次函数的性质，可得当时，取得最小值，此时．
故选C．
【点睛】本题主要考查了空间向量的共线定理，空间向量的数量积的运算，其中解答中根据向量的数量积的运算公式，得关于的二次函数是解答的关键，着重考查运算与求解能力．
33．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）如图该几何体由半圆柱体与直三棱柱构成，半圆柱体底面直径BC＝4，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为半圆弧的中点，若异面直线BD和AB1所成角的余弦值为，则该几何体的体积为（ ）

A．16+8π B．32+16π
C．32+8π D．16+16π
【答案】A
【解析】设在底面半圆上的射影为，连接交于，设．
依题意半圆柱体底面直径，为半圆弧的中点，
所以且分别是下底面、上底面半圆的圆心．连接，
则与上下底面垂直，所以，
以为轴建立空间直角坐标系，设几何体的高为，则
，所以，
由于异面直线和所成的角的余弦值为，
所以，即．
所以几何体的体积为．故选A.

34．（安徽省阜阳市太和第一中学2020-2021学年高二（平行班）上学期开学考试）在正方体中，直线与平面所成角的余弦值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】分别以为轴建立如图所示空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量后可得所求线面角的余弦值．
【解析】分别以为轴建立如图所示空间直角坐标系，
设正方体的棱长为1，可得
∴，
设是平面的一个法向量，
∴，即，取，得，
∴平面的一个法向量为，设直线与平面所成角为，
∴，
∴，即直线与平面所成角的余弦值是，
故选C.

【点睛】用向量法求二面角大小的两种方法：
（1）分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小即为二面角的大小；
（2）分别求出二面角的两个半平面的法向量，然后通过两个法向量的夹角得到二面角大小，解题时要注意结合图形判断出所求的二面角是锐角还是钝角．
35．（2020届重庆市第一中学高三下学期6月模拟数学（理）试题）如图所示，在正方体中，点P是底面内（含边界）的一点，且平面，则异面直线与BD所成角的取值范围为（ ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】过A作平面平面，点P是底面内（含边界）的一点，且平面，则平面，即在与平面的交线上，连接，

，则四边形是平行四边形，，平面，
同理可证平面，平面平面，则平面即为，点在线段上，以D为坐标原点，建立如图坐标系，设正方体棱长为1，
则，，，设，，
，，，，，
设与BD所成角为，则
，当时，取得最小值为0，
当或1时，取得最大值为，，则．故选C．
36．（重庆市第八中学2020届高三下学期第五次月考数学（理）试题）如图，矩形ABCD中，，E为边AB的中点，将沿直线DE翻折成．在翻折过程中，直线与平面ABCD所成角的正弦值最大为（ ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】分别取DE，DC的中点O，F，则点A的轨迹是以AF为直径的圆，
以为轴，过与平面垂直的直线为轴建立坐标系，

则，平面ABCD的其中一个法向量为= (0，0．1)，
由，设，则，
记直线与平面ABCD所成角为，则，
设，
所以直线与平面ABCD所成角的正弦值最大为，故选A．
二、多项选择题
37．（江苏省南京市秦淮中学2019-2020学年高二（美术班）上学期期末）对于任意非零向量，，以下说法错误的有( )
A．若，则
B．若，则
C．
D．若，则为单位向量
【答案】BD
【解析】对于A选项，因为，则，A选项正确；
对于B选项，若，且，，若，但分式无意义，B选项错误；
对于C选项，由空间向量数量积的坐标运算可知，C选项正确；对于D选项，若，则，此时，不是单位向量，D选项错误．故选BD．
38．（2020届百师联盟高三开学摸底大联考山东卷）下面四个结论正确的是（ ）
A．向量，若，则．
B．若空间四个点，，，，，则，，三点共线．
C．已知向量，，若，则为钝角．
D．任意向量，，满足．
【答案】AB
【解析】由向量垂直的充要条件可得A正确；，即，，，三点共线，故B正确；当时，两个向量共线，夹角为，故C错误；由于向量的数量积运算不满足结合律，故D错误．故选AB.
39．（广东省中山市2019-2020学年高一下学期期末）在空间直角坐标系中，下列结论正确的是（ ）
A．点关于x轴对称的点的坐标为
B．到的距离小于1的点的集合是
C．点与点的中点坐标是
D．点关于平面对称的点的坐标为
【答案】BCD
【解析】对于选项A：点关于x轴对称的点的坐标为，所以A不正确；
对于选项B：点到的距离小于1为，所以B正确；
对于选项C：点与点的中点坐标是，所以C正确；对于选项D：由点关于平面对称的点的坐标为，所以D正确．
故选B C D．
40．（山东省威海市文登区2019-2020学年高二上学期期末）正方体的棱长为，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】如下图所示：

对于A选项，，A选项错误；对于B，，B选项正确；对于C选项，，C选项正确；对于D选项，，D选项错误．故选BC．
41．（福建省泉州市普通高中2019-2020学年毕业班第一次质量检查（理））如图，正方体的棱长为1，是的中点，则（ ）

A．直线平面 B．
C．三棱锥的体积为 D．异面直线与所成的角为
【答案】ABD
【解析】如图建立空间直角坐标系，，，，，，，，，，，，，，所以，即，所以，故B正确；，，，
设异面直线与所成的角为，则，又，所以，故D正确；设平面的法向量为，则，即，取，则，即，又直线平面，所以直线平面，故A正确；
，故C错误；故选ABD.

42．（海南省海南中学2019-2020学年高三第四次月考）如图所示，正方体中，，点在侧面及其边界上运动，并且总是保持，则以下四个结论正确的是（ ）

A． B．点必在线段上
C． D．平面
【答案】BD
【解析】对于，在平面上，平面平面，
到平面即为到平面的距离，即为正方体棱长，
，错误；
对于，以为坐标原点可建立如下图所示的空间直角坐标系：

则，，，，，
，，，
，，，即，
，，即三点共线，必在线段上，正确；
对于，，，，
与不垂直，错误；
对于，，，，，，
设平面的法向量，
，令，则，，，
，即，平面，正确．故选．
43．（福建省宁德市2019-2020学年高二上学期期末考试）如图所示，棱长为1的正方体中，P为线段上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（ ）

A．平面平面 B．不是定值
C．三棱锥的体积为定值 D．
【答案】ACD
【解析】A．因为是正方体，所以平面，平面，所以平面平面，所以A正确；B．
，故，故B不正确；
C．，的面积是定值，平面，点在线段上的动点，所以点到平面的距离是定值，所以是定值，故C正确；
D．，，，所以平面，平面，所以，故D正确．故选ACD
44．（山东省济南莱芜市第一中学2019-2020学年高二下学期第一次质量检测）关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
B．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面
C．设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底
D．若，则是钝角
【答案】ABC
【解析】对于A中，根据共线向量的概念，可知空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，所以是正确的；
对于B中，若对空间中任意一点，有，根据空间向量的基本定理，可得四点一定共面，所以是正确的；
对于C中，由是空间中的一组基底，则向量不共面，可得向量，也不共面，所以也是空间的一组基底，所以是正确的；
对于D中，若，又由，所以，所以不正确．
故选ABC．
45．（河北省沧州市盐山中学2019-2020学年高一下学期期末）若长方体的底面是边长为2的正方形，高为4，是的中点，则（ ）

A． B．平面平面
C．三棱锥的体积为 D．三棱锥的外接球的表面积为
【答案】CD
【解析】以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则
，，，，，，，
所以，，
因为，所以与不垂直，故A错误；
，，设平面的一个法向量为，则
由，得，所以，

不妨取，则，，所以，
同理可得设平面的一个法向量为，
故不存在实数使得，故平面与平面不平行，故B错误；
在长方体中，平面，故是三棱锥的高，
所以，故C正确；
三棱锥的外接球即为长方体的外接球，
故外接球的半径，
所以三棱锥的外接球的表面积，故D正确．故选CD．
46．（山东省济南市2019-2020学年高二下学期末考试）如图，棱长为的正方体中，为线段上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（ ）

A．直线与所成的角可能是
B．平面平面
C．三棱锥的体积为定值
D．平面截正方体所得的截面可能是直角三角形
【答案】BC
【解析】对于A，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，

，设
，


∴直线D1P与AC所成的角为，故A错误；
对于B，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1D1AA1，A1D1AB，
∵AA1AB＝A，∴A1D1平面A1AP，
∵A1D1平面D1A1P，∴平面D1A1P平面A1AP，故B正确；
对于C，，P到平面CDD1的距离BC＝1，
∴三棱锥D1﹣CDP的体积：为定值，故C正确；
对于D，平面APD1截正方体所得的截面不可能是直角三角形，故D错误；故选BC．
47．（江苏省苏州中学园区校2020-2021学年高三上学期8月期初调研）如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，，且，则下列结论中正确的是（ ）

A．线段上存在点，使得 B．平面
C．的面积与的面积相等 D．三棱锥的体积为定值
【答案】BD
【解析】如图，以为坐标原点建系，，为，，轴，
，，，，
即,∴，，，
∴，,，
∴与不垂直，A错误．，都在，上，又，
∴，平面，平面，∴平面，B正确
与不平行，则与的距离相等，∴，∴C错误
到的距离就是到平面的距离，到的距离为
，∴是定值，D正确．故选BD．

48．（江苏省扬州市宝应中学2020-2021学年高三上学期开学测试）在正三棱柱中，所有棱长为1，又与交于点，则（ ）
A．= B．
C．三棱锥的体积为 D．与平面BB′C′C所成的角为
【答案】AC
【解析】由题意，画出正三棱柱如图所示，

向量
，故选项A正确；
在中，，，，
，所以和不垂直，故选项B错误；
在三棱锥中，，点到平面的距离即中边上的高，所以，所以，故选项C正确；
设中点为，所以，又三棱柱是正三棱柱，
所以平面，所以即与平面BB′C′C所成的角，
，所以，故选项D错误．故选AC
49．（山东省泰安肥城市2020届高三适应性训练（一））如图四棱锥，平面平面，侧面是边长为的正三角形，底面为矩形，，点是的中点，则下列结论正确的是（ ）

A．平面
B．与平面所成角的余弦值为
C．三棱锥的体积为
D．四棱锥外接球的内接正四面体的表面积为
【答案】BD
【解析】取的中点，的中点，连接，因为三角形为等边三角形，所以，因为平面平面，所以平面 ，因为，所以两两垂直，所以，如下图，以为坐标原点，分别以所在的直线为轴，轴 ，轴，建立空间直角坐标系，则，
，因为点是的中点，所以，平面的一个法向量为，，显然 与不共线，所以与平面不垂直，所以A不正确；
，
设平面的法向量为，则，
令，则，所以，设与平面所成角为，
则，所以，所以B正确；
三棱锥的体积为
，所以C不正确；
设四棱锥外接球的球心为，则，
所以，解得，即为矩形对角线的交点，所以四棱锥外接球的半径为3，设四棱锥外接球的内接正四面体的棱长为，将四面体拓展成正方体，其中正四面体棱为正方体面的对角线，故正方体的棱长为，所以，得，所以正四面体的表面积为，所以D正确．故选BD.

50．（山东省滕州市第一中学2020-2021学年高二9月开学收心考试）在四面体中，以上说法正确的有（ ）
A．若，则可知
B．若为△的重心，则
C．若，，则
D．若四面体各棱长都为2，分别为的中点，则
【答案】ABC
【解析】对于 ，，，
， ，即，故正确；对于，为△的重心，则，，，即，故正确；
对于，若，，则，
，
，
，
，，故正确；
对于，



，故错误．故选ABC.

三、填空题
51．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且，若P，A，B，C四点共面，则实数t＝_________．
【答案】
【解析】P，A，B，C四点共面，且，，解得．
52．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）如图，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，，∠BAD＝∠BAA1＝120°，∠DAA1＝60°，则线段AC1的长度是_________．

【答案】
【解析】，

，．
53．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）已知，，若，则实数m的值为_________．
【答案】7
【解析】因为，所以，解得．
54．（湖北省宜昌市2019-2020学年高二下学期期末）在正四面体中，是上的点，且，是的中点，若，则的值为_________．
【答案】
【解析】如图所示：．

由空间向量基本定理得：，，．故．
55．（四川省成都市第七中学2020-2021学年高三入学考试理科）在空间直角坐标系中，记点在平面内的正投影为点，则_________．
【答案】
【解析】因为点在平面内的正投影为，即，
所以，故答案为：.
56．（江苏省无锡市梅村高级中学2020-2021学年高三上学期期初检测）二面角的棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于．已知，，，，则该二面角的大小为_________．
【答案】
【解析】由条件，知，，．
∴
．
∴，又∵，∴，
∴二面角的大小为．故答案为：．
57．（山东省滕州市第一中学2020-2021学年高二9月开学收心考试）在平行六面体中，，且所有棱长均为2，则对角线的长为_________．
【答案】
【分析】【解析】，
，，
，故对角线的长为.
四、双空题
58．（江苏省镇江中学2019-2020学年高二上学期期末）已知向量，，若，则实数m的值是_________；若，则实数m的值是_________．
【答案】
【解析】，，若，则，
解得；若，则，解得．
故答案为：和．
59．（浙江省舟山市2019-2020学年高二上学期期末）已知向量，，则_________；若，则_________．
【答案】3 0
【解析】∵向量，，∴．
若，则，解得．故答案为：3，0．
60．（河北省深州市长江中学2019-2020学年高二下学期第一次月考）若向量，向量，且，则_________，_________．
【答案】1 -2
【解析】由向量，向量，且，
则，解得：，故答案为：1，-2．
61．（北京市怀柔区2019-2020学年高二上学期期末考试）已知平面的一个法向量是，且点在平面上，若是平面上任意一点，则向量_________，点的坐标满足的方程是_________．
【答案】
【解析】∵平面α的一个法向量是，且点在平面上，是平面上任意一点，∴向量＝，∴＝，∴点的坐标满足的方程是．
62．（浙江省绍兴市阳明中学2019-2020学年高二下学期期中）如图，在底面边长均为2，高为1的长方体中，E、F分别为、的中点，则异面直线、所成角的大小为_________；平面与平面所成锐二面角的余弦值为_________．

【答案】
【解析】（1）以D为原点建立如图所示空间直角坐标系：

则，所以，
设异面直线、所成角的大小为，所以，
因为，所以；
（2），设平面的一个法向量为：，
则，即，令，则，
平面一个法向量为：，设平面与平面所成锐二面角为，所以．故答案为：①；②
63．（广东省江门市第二中学2019-2020学年高二下学期期中）如图，平行六面体中，与相交于M，设、、，则

（1）_________（用、、表示）；
（2）若、、三向量是两两成角的单位向量，则_________．
【答案】
【解析】平行六面体中，、、，
，
因为、、三向量是两两成角的单位向量，所以，，，
所以，
所以，故答案为：；.