专题07 数列（填空题）（11月）（理）（解析版）-2020-2021学年高二《新题速递•数学（理）

专题07 数 列（填空题）
1．已知数列，，它的前n项和为，且是与的等差中项．若为等比数列，，则__________．
【试题来源】北京市陈经纶中学2020届高三上学期开学摸底考试
【答案】127
【解析】因为数列中，是与的等差中项．
所以，由，可得：，解得，又，
所以．故答案为127．
2．数列中，，．若其前项和为40，则__________．
【试题来源】河南省新乡市安阳市鹤壁市顶尖名校2020-2021学年高三10月联考数学（理）
【答案】4
【解析】因为数列中，，所以数列是以为首项，3为公比的等比数列；所以，所以，所以．故答案为．
3．若是等差数列的前项和，且，则__________．
【试题来源】福建省漳州市2020届高三高中毕业班第二次教学质量检测（文）
【答案】2
【分析】由等差数列前项和公式整理可得：，问题得解．
【解析】因为，所以，解得．
4．若等差数列的第1，2，3项依次为，，，则这个等差数列的第101项为__________．
【试题来源】河南省周口市中英文学校2020-2021学年高二上学期第一次月考
【答案】
【解析】因为等差数列的第1，2，3项依次为，，，所以，解得，所以，所以，
所以．
5．在等差数列中，若，，则__________．
【试题来源】山东省济南市历城区历城第二中学2020-2021学年高三上学期10月月考
【答案】
【解析】因为，故，故答案为8．
6．某学校启动建设一个全新的信息化“未来报告厅”，该报告厅的座位按如下规则排列：从第二排起，每一排都比前一排多出相同的座位数，且规划第7排有20个座位，则该报告厅前13排的座位总数是__________．
【试题来源】广东省广州市海珠区2019-2020学年高二上学期期末联考
【答案】260
【解析】因为从第二排起每一排都比前一排多出相同的座位数，所以座位数构成等差数列．因为，所以．故答案为．
7．已知等差数列{an}满足a1=1，a2=2，则{ an }的前5项和S5= __________．
【试题来源】2020年湖南省普通高中学业水平考试
【答案】15
【解析】由等差数列{an}满足a1=1，a2=2，知：公差，
所以{an}是首项为1，公差为1的等差数列，故通项公式为，
所以由等差数列前n项和公式，即可得．
8．已知数列的前项和，则数列的第4项是__________．
【试题来源】陕西省咸阳市秦都区百灵中学2020-2021学年高二上学期第一次月考
【答案】
【解析】由题可得，故答案为．
9．已知数列的前项和为，且，则__________．
【试题来源】四川省珙县中学校2020-2021学年高一下期数学第5月月考测试题
【答案】
【解析】当时，；当时，，，两式相减得，不适合，故．
10．已知数列中，，，则__________．
【试题来源】江西省赣州市十五县（市）2021届高三上学期期中联考数学（文） 试题
【答案】
【解析】当时，有 ①，当时，有 ②，
由①÷②，可得．
11．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数．比如，他们将石子摆成如图所示的三角形状，就将其所对应石子个数称为三角形数，则第10个三角形数是__________．

【试题来源】河南省周口市中英文学校2020-2021学年高二上学期第一次月考
【答案】55
【分析】观察规律得第10个三角形数是，计算即得解．
【解析】由题得第1个三角形数是1，第2个三角形数是1，第3个三角形数是1，，所以第10个三角形数是．故答案为55．
12．在等比数列中，若，且，则的值为__________．
【试题来源】陕西省渭南市临渭区尚德中学2020-2021学年高二上学期第一次月考
【答案】16
【解析】，，故，．
故答案为16．
13．已知数列为等比数列，，则__________．
【试题来源】河北省唐山市2020-2021学年高二上学期9月质量检测
【答案】1
【解析】因为等比数列满足，
由等比数列的性质可得：．
14．各项均为正数的等比数列中，且，，则等于__________．
【试题来源】陕西省西安市第一中学2020-2021学年高二上学期第一次月考
【答案】27
【解析】设各项均为正数的等比数列的公比为，因为，，
所以，，，或（舍），
．故答案为．
15．有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点．已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形的表面积（含最底层正方体的底面面积）超过39，则该塔形中正方体的个数至少是__________．

【试题来源】北京市清华附中2019-2020学年高一新生分班考试
【答案】6
【解析】底层正方体的表面积为，
第层正方体的棱长为，每个面的面积为，
第层正方体的棱长为，每个面的面积为，，
第层正方体的棱长为，每个面的面积为，
则该几何体为层，则它的表面积为 ，
，解得，该塔形中正方体的个数至少是6．故答案为6
16．设为数列的前项和，，若（），则__________．
【试题来源】江苏省徐州市沛县2020-2021学年高三上学期第一次学情调研
【答案】
【解析】当为奇数时，，则，，，，
当为偶数时，，则，，，，又，所以．
17．已知各项都为正数的等比数列的前项和为，若，，则的值为__________．
【试题来源】重庆市缙云教育联盟2020-2021学年高二上学期10月月考
【答案】1023．
【解析】因为，由等比数列的性质可得，又数列的各项都为正数，所以，设等比数列的公比为，则，由等比数列前项和公式可得，．故答案为
18．已知等比数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝2+an+1，则a1＝__________．
【试题来源】陕西省西安市高新一中2019-2020学年高三上学期期末（文）
【答案】
【解析】因为，故，所以即，
故等比数列的公比．又，故 ，故答案为．
【名师点睛】本题考查等比数列基本量的计算，一般地，我们常利用来实现之间的转化，本题属于基础题．
19．记为等比数列的前项和，若，，则__________．
【试题来源】广东省广州市华南师范大学附属中学2020届高三上学期9月月考（文）
【答案】
【解析】设等比数列的公比为，因为，，可得，解得，所以．故答案为．
【名师点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式及前项和公式的应用，其中解答中熟记等比数列的通项公式及前项和公式，准确运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力．
20．在等比数列中，若，则＝__________．
【试题来源】湖南省永州市2020-2021学年高三上学期第一次模拟
【答案】
【分析】由等比数列性质得，再根据对数运算即可得答案．
【解析】因为等比数列中，若，所以，
所以．故答案为．
21．设数列的前项和为，且，则__________．
【试题来源】湖南省郴州市2020-2021学年高三上学期第一次教学质量监测
【答案】
【分析】计算，根据公式得到，计算得到答案．
【解析】，当时，，解得；
当时，，即，
故，验证时成立，故．故答案为．
22．设是等差数列的前项和，且，则__________．
【试题来源】江西省赣州市会昌县七校2021届高三联合月考（文）
【答案】7
【分析】先建立方程组解得，再求即可．
【解析】因为数列是等差数列，
所以，即，解得
则，故答案为7．
23．已知等差数列的公差不为零，若，，成等比数列，则__________．
【试题来源】河北省唐山市2021届高三上学期第一次摸底
【答案】0
【解析】设等差数列的公差为，，因为，，成等比数列，所以，
所以，整理得，因为，所以，
所以．故答案为0．
24．已知等差数列{an}的前n项和为Sn 且，则__________．
【试题来源】江苏省常州市第三中学2020-2021学年高二上学期10月学情检测
【答案】8
【分析】由所给等式可得第6项到第10项的和，与前5项和作差可求得公差，所求等式可转化为，代入相应值即可．
【解析】①，，②，
又{an}是等差数列，②①得：，解得，
．
25．设等差数列的前项和为，若，，则等于__________．
【试题来源】陕西省咸阳市武功县2020-2021学年高三上学期第一次质量检测（文）
【答案】90
【分析】根据，，求得，再代入前n项和公式求解．
【解析】设等差数列的公差为d，因为，，所以， ，
解得，所以 ．
26．已知等差数列中，是的前n项和，若，则的值是__________．
【试题来源】陕西省渭南市临渭区尚德中学2020-2021学年高二上学期第一次月考
【答案】2
【分析】直接利用等差数列求和公式化简得到，代入数据计算得到答案．
【解析】．故答案为2．
27．已知等比数列满足，，则__________．
【试题来源】宁夏石嘴山市2020届高三适应性测试（文）
【答案】
【解析】因为，，所以，
所以，所以，则．故答案为
28．已知等差数列中，，是方程的两根，则__________．
【试题来源】陕西省西安市第一中学2020-2021学年高二上学期第一次月考
【答案】
【解析】根据题意，由韦达定理得：，
根据等差数列角标和的性质得：，
所以．故答案为．
29．若有穷数列，，…，（m为正整数）满足条件：，，…，，则称其为“对称”数列．例如，数列1，2，5，2，1与数列8，4，2，4，8都是“对称”数列．已知在21项的“对称”数列中，，，…，是以1为首项，2为公差的等差数列，则__________．
【试题来源】陕西省宝鸡市扶风县法门高中2020-2021学年高二上学期第一次月考
【答案】19
【分析】根据“对称”数列可知，再利用等差数列的通项公式即可求解．
【解析】根据题意可得，，，…，是以1为首项，2为公差的等差数列，
所以．故答案为19
30．已知数列是等差数列，其前n项和为，，，则__________．
【试题来源】河南省许昌市、济源市、平顶山市2020届高三数学（（理））第三次质检试题
【答案】
【解析】由已知得，，
，，，
，．
31．将数列{3n+1}中的项数为奇数的项按照从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为__________．
【试题来源】广东省佛山市顺德区2021届高三上学期第二次教学质量检测
【答案】3n2+n
【解析】令，则，
由于，所以是以6为公差，以为首项的等差数列，所以．故答案为．
32．等差数列中，，则该数列的前项的和__________．
【试题来源】上海市新场中学2021届高三上学期第一次月考
【答案】52．
【分析】由数列前n项和，结合等差数列的性质知即可求值．
【解析】因为，而等差数列中，所以等差中项性质：，
所以，故答案为52．
33．等差数列中，是它的前项和，，，则该数列的公差为__________．
【试题来源】江苏省苏州市吴江汾湖高级中学2020-2021学年高二上学期10月月考
【答案】4
【分析】根据题意，设等差数列的公差为，结合等差数列的通项公式和前项和公式，可得，，解可得的值，即可得答案．
【解析】根据题意，等差数列中，设其公差为，由于，，
则有，，
解可得：，．故答案为4．
34．已知等差数列中，，则__________．
【试题来源】湖北省恩施州利川市第五中学2019-2020学年高二上学期期中
【答案】0
【分析】根据等差数列的性质得到，再根据特殊角的三角函数值计算可得；
【解析】由题意可得，故．
35．等差数列中，，，则的通项公式为__________．
【试题来源】广东省湛江市2017-2018学年高二上学期期末（理）
【答案】
【解析】数列为等差数列，设公差为，，，
则，解得，，所以，
所以数列的通项公式为．故答案为
36．等比数列的前n项和为，且，，成等差数列，若，则__________．
【试题来源】陕西省西安中学2020-2021学年高三上学期期中（文）
【答案】
【分析】先根据题意得，再根据等比数列前项和公式计算即可得答案．
【解析】设等比数列的公比为，由，，成等差数列，
所以，即，所以，解得．
由于，所以，所以．故答案为．
37．设等差数列的前项和为，，，，则__________．
【试题来源】湖南省长沙市长郡、雅礼、一中、附中2020-2021学年高三上学期11月联合编审名校卷
【答案】
【解析】由题意知，，两式相加可得：
，
所以，则，因此．故答案为．
38．设等差数列的前项和为，若，则__________．
【试题来源】北京市2020届高三数学高考考前冲刺模拟试题
【答案】45
【解析】设等差数列的公差为，因为，
所以，化简得，即，
所以，故答案为45．
39．已知为等差数列，为其前项和．．若．则的值为__________．
【试题来源】天津市和平区2020-2021学年高三上学期期中
【答案】60
【分析】由等差数列的通项公式和前项和公式求得首项和公差，然后再求和．
【解析】设数列的公差为，则，解得，
所以．故答案为60．
40．已知等差数列和的前项和分别为与，且，则__________．
【试题来源】陕西省咸阳市秦都区百灵中学2020-2021学年高二上学期第一次月考
【答案】
【分析】设，，分别求出，然后做商即可．
【解析】由，设，，
则，
，．
41．若数列满足，则数列的通项公式为__________．
【试题来源】广西岑溪市第一中学2020-2021学年高二9月月考
【答案】
【分析】采用少写一项的方法，得，两式作比，再验证即可求出数列的通项公式．
【解析】，当时，；
当时，，
故当时，，所以．
42．若数列满足：，，则__________．
【试题来源】江西省南昌市第二中学2021届高三上学期第三次考试（文）
【答案】702
【分析】由，可得，，故可得为等比数列，且，可得，可得答案．
【解析】因为，所以，则
故为等比数列，所以，
故．
43．设数列的前n项和为，且，若，则__________．
【试题来源】广东省珠海市第二中学2020-2021学年高二上学期10月月考
【答案】
【分析】由可得，结合已知条件即可求．
【解析】由题意知，，即，而，
所以，可得．
44．数列中，，，则__________．
【试题来源】陕西省榆林市第一中学2020-2021学年高二上学期第一次月考
【答案】
【分析】根据递推关系构造等比数列即可求解．
【解析】因为，所以．
又，所以数列是首项为2，公比为3的等比数列．
所以，所以．故答案为
45．已知为数列的前项和，，则__________．
【试题来源】湖南三湘名校教育联盟2020届高三第二次大联考（文）
【答案】
【分析】利用证得数列是等比数列，由此求得的值．
【解析】由于，当时．当时，两式相减得．所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以．故答案为
46．数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…的第100项是__________．
【试题来源】陕西省西安市第一中学2020-2021学年高二上学期第一次月考
【答案】14
【分析】次数列是由一个1，二个2，三个3，…组成，欲求第100项，则需求自然数列前n项和不大于100的n的值即可．
【解析】因为，由，得n的最大值为13，
即最后一个13是第91项，而14共有14项，所以第100项是14，故答案为14．
47．数列满足则__________．
【试题来源】云南省保山市第九中学2020-2021学年高二上学期第一次月考
【答案】25
【解析】因为所以；
；；；
，故答案为25．
48．已知数列的前项和为，且满足：，，，若不等式恒成立，则实数的取值范围是__________．
【试题来源】江苏省2020-2021学年高三上学期新高考质量检测模拟
【答案】(1，＋∞)
【分析】由题知，当 时，有，，两式相减得，利用等比数列的通项公式与求和公式可得，，再利用数列的单调性即可得出．
【解析】由题知，当 时，有，，
两式相减得，又，，，均有对任意 成立，
，，恒成立只需的最大值，
当时，右式取得最大值1，．故答案为(1，＋∞)．
49．设等比数列的前项和为，若，则__________．
【试题来源】陕西省榆林市第一中学2020-2021学年高二上学期第一次月考
【答案】
【分析】由题意公比不为1，利用等比数列的求和公式求解即可．
【解析】，否则．
所以，所以．所以．
50．已知等比数列的公比为2，前n项和为，则=__________．
【试题来源】江苏省镇江市名校2020-2021学年高三上学期10月月考
【答案】
【解析】由等比数列的定义，可得S4=a1＋a2＋a3＋a4=＋a2＋a2q＋a2q2，
所以＋1＋q＋q2=．
51．在各项均为正数的等比数列中，，且，，成等差数列，记是数列的前n项和，则__________．
【试题来源】宁夏石嘴山市2020届高三适应性测试（理）
【答案】126
【分析】设等比数列公比为，再根据，，成等差数列以及基本量法求解，再根据等比数列求和公式求即可．
【解析】设等比数列公比为，因为，，成等差数列，故，又，故，即，因为，故．故．故答案为
52．已知首项为，公比为q的等比数列满足，则首项的取值范围是__________．
【试题来源】湖北省武汉市五校联合体2019-2020学年高一下学期期末
【答案】
【分析】利用等比数列通项公式可整理已知等式得到，令可得到，由函数的单调性可求得的取值范围．
【解析】由得：，
．
令，则，
在上单调递减，；
在上单调递减，；
综上所述：的取值范围为．
【名师点睛】本题考查函数值域的求解问题，涉及到等比数列通项公式的应用；关键是能够将表示为关于的函数，利用分离常数法可确定函数的单调性，进而利用函数单调性求得函数的最值，从而得到所求的取值范围．
53．在数列中，其前n项和，若数列是等比数列，则常数k的值为__________．
【试题来源】山西省新绛县第二中学2019-2020学年高一下学期6月月考
【答案】
【分析】由，以及时，，可分别求出数列的前三项，再根据数列是等比数列，即可求出常数的值．
【解析】因为数列前项和，
所以，，，
又，，，
因为数列是等比数列，所以，即，解得 ，
54．已知数列的各项均为正数，其前项和为，，，则__________．
【试题来源】湖南省怀化市2020-2021学年高二上学期10月联考
【答案】
【分析】首先令求出，令由递推式可解的值，进而构造出，得数列为等比数列，可得结果．
【解析】当时，，所以当时，，解得，
所以，当时，，
即，，即数列是以为首项，3为公比的等比数列，故，所以．
55．等比数列的首项，前项和为，若，则公比__________．
【试题来源】陕西省汉中市五校2020-2021学年高二上学期第一次月考
【答案】
【解析】是等比数列，由数列前项和的定义及等比数列通项公式得

，，．
【名师点睛】本题考查等比数列前项和的计算、通项公式．利用数列前项和的定义，避免了在转化时对公比是否为1的讨论．
56．已知数列的前n项和为，若，则数列的通项公式为__________．
【试题来源】山西省太原市第五中学2021届高三上学期9月阶段性考试（文）
【答案】
【分析】令，得，当时，，由此推导出数列是首项为3，公比为3的等比数列，从而得到．
【解析】令，得，解得，当时，由，
得，两式相减得，即，
整理得，所以数列是首项为，公比为3的等比数列，
所以，所以．
57．已知两个等差数列，的前项和分别是，若，则__________．
【试题来源】宁夏海原第一中学2020-2021学年高二上学期第一次月考
【答案】
【解析】由题意，等差数列，的前项和分别是，且，
可得，所以．
【名师点睛】本题主要考查了等差数列的性质，以及等差数列的前和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的性质，以及合理利用等差数列的求和公式进行化简运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力．
58．如图是一个数表，第1行依次写着从小到大的正整数，然后把每行相邻的两个数的和写在这两数正中间的下方，得到下一行，数表从上到下与从左到右均为无限项，则这个数表中的第11行第7个数为__________（用具体数字作答）

【试题来源】北京市清华附中2019-2020学年高一新生分班考试
【答案】12288
【解析】设表示第行的第个数，由数表可知，每一行成等差数列，且第行的公差为，则，，
则，即数列是首项为，公差为的等差数列，
则，即，
，
即．
59．已知等差数列前项和，且，若，则的值为__________．
【试题来源】湖北省鄂州高中、鄂南高中2020-2021学年高二上学期10月联考
【答案】1010
【分析】利用等差数列的性质与前项和公式求解．
【解析】，则，，
所以，，则，
所以，所以，
由等差数列的性质知数列前项为正，从第1011项起均为负，
所以满足的．
60．一个剧场共有20排座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有60个座位，则该看台的总座位数为__________．
【试题来源】河南省南阳市六校2020-2021学年高二上学期第一次联考
【答案】820
【解析】剧场有20排座位，后―排比前一排多2个座位，最后―排有60个座位，
20排座位组成以60为首项，为公差的等差数列，．故答案为820．
【名师点睛】本题考查简单的计数问题，考查等差数列的求和，考查学生的计算能力，确定20排座位组成以60为首项，为公差的等差数列是关键．
61．已知等差数列的前n项和，其前三项和为6，后三项和为39，则该数列有__________项．
【试题来源】广东省深圳市外国语学校2021届高三上学期第一次月考
【答案】30
【分析】根据题意和等差数列的性质，求得，得到，在结合等差数列的求和公式，列出方程，即可求解．
【解析】由等差数列的前三项和为6，后三项和为39，可得，
根据等差数列的性质，可得，所以，
又由，解得．故答案为．
62．已知等差数列的前项和为，且，，则取得最大值时__________．
【试题来源】河南省豫南九校2020-2021学年高二（9月份）第一次联考（文）
【答案】14
【分析】设等差数列的公差为，由已知条件可求得数列的首项和公差，得到数列的通项公式，然后由等差数列的性质可得值．
【解析】设等差数列的公差为，由已知条件可得，
解得，故，故当时，；当时，，
所以当时，取最大值．故答案为14．
63．已知数列的前项和为，若，则__________．
【试题来源】上海市浦东外国语学校2020-2021学年高二上学期10月月考
【答案】
【分析】已知与的关系式，利用即可求的通项公式．
【解析】由已知条件，知：当时，；
当时，；
当n=1时不满足上式，所以，故答案为．
64．已知向量序列，满足如下条件：，，，且，若，则__________．
【试题来源】上海市七宝中学2020-2021学年高二上学期10月月考
【答案】9
【分析】由题意知{ }是以为首项，为公差的等差数列，则，计算即可求解．
【解析】因为，所以，因为，所以，
所以，解得．
65．已知等差数列（公差不为零）和等差数列，如果关于x的方程：有实数解，那么以下2021个方程，，，…，中，无实数解的方程最多有__________个．
【试题来源】上海市交通大学附属中学2021届高三上学期10月月考
【答案】1010
【解析】设等差数列的公差为，等差数列的公差为，
则，，
所以原方程可变为，
由该方程有实数解可得即，
若要使方程无解，
则要使，
设，，
易得为开口向上的抛物线的一部分，为直线的一部分，
又时，，所以满足的的取值最多可有1010个，
即无实数解的方程最多有1010个．故答案为1010．
66．已知数列对任意，都满足，且，若命题“，”为真，则实数的最大值为__________．
【试题来源】四川省成都市蓉城名校联盟2021届高三第一次联考（文）
【答案】7
【分析】利用已知，令可得数列是等差数列，从而得，再分离参数后，利用勾形函数的单调性得函数的最小值，从而得的最大值．
【解析】令，则，则是等差数列，，
由对恒成立，则恒成立，
令，该函数在上递减，在上递增，
由，当，，当时，，则，则．
故答案为7．
67．把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表．设是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数，如．若，则__________．
1
2 4
3 5 7
6 8 10 12
9 11 13 15 17
14 16 18 20 22 24
【试题来源】湖北省宜昌市夷陵中学、荆门市钟祥一中两校2020-2021学年高二上学期10月联考
【答案】82
【解析】从所给的部分数表可看出，所有奇数都在奇数行，所有偶数都在偶数行．是偶数，所以它位于偶数行，将奇数除外，
前n行偶数共有个，由得，
所以是第1010个偶数，因为，所以位于第32偶数行，
即第行，，前31行偶数共有个偶数，所以第31偶数行的最后一个数为，
第32偶数行的第一个数为1986，是第个数，即，所以．故答案为82．
68．已知首项为1的数列的前项和为，若，则数列的前项和__________．
【试题来源】百校联盟2021届高三普通高中教育教学质量监测考试全国卷数学（文） 试题
【答案】
【解析】因为，所以，
所以，所以，
即，所以，即，故，
则，
故．
69．已知数列的前项和为，且，若，则的取值集合是__________．
【试题来源】河南省名校联盟2020-2021学年高三9月质量检测数学（文）
【答案】
【分析】利用已知求的法，求出数列，可知是递减数列，所以，，，结合，即可求得的取值集合．
【解析】当时，，解得；
当时，和两式相减，得，即，
则数列是首项为、公比为的等比数列，所以，
是递减数列，即各项依次为，，，，，，…，
所以，，，结合，得的取值集合是．
70．已知数列满足，，则__________．
【试题来源】浙江省名校联盟2020-2021学年高三上学期第一次联考
【答案】
【分析】本题首先可根据题意得出，然后通过累加法得出，再然后根据得出，最后代入即可得出结果．
【解析】因为，所以，即，
则，，，，
将上述算式相加可得，
因为，所以，，故答案为．
71．已知数列前项的和为，，，则通项公式为__________．
【试题来源】湖南省张家界市民族中学2019-2020学年高一下学期第二次月考
【答案】
【分析】首先根据题意得到，，两式相减得到，从而得到数列是从第二项开始的等比数列，再求通项公式即可．
【解析】由题知：，，
两式相减得：，即．
又，所以数列是从第二项开始的等比数列，．
72．设公差不为零的等差数列的前n项和为，．若存在常数，使得恒成立，则取最大值时，__________．
【试题来源】浙江省精诚联盟2020-2021学年高二上学期开学考试
【答案】或19
【解析】设等差数列的公差为，由题意，当时，，
当时，，所以，解得 或（舍去），
所以，记，
所以，
当，时，，此时，
当时，时，，此时，
所以取最大值时，或19．故答案为或19．
73．若数列满足，，则使得成立的最小正整数的值是__________．
【试题来源】浙江省山水联盟2020-2021学年高二上学期开学考试
【答案】
【分析】根据递推关系式可证得数列为等比数列，根据等比数列通项公式求得，代入不等式，结合可求得结果．
【解析】，，，数列是以为首项，为公比的等比数列，，，
由得：，即，
，且，满足题意的最小正整数．故答案为．
【名师点睛】本题考查根据数列递推关系式求解数列通项公式并解不等式的问题，关键是能够通过构造的方式，通过递推关系式得到等比数列的形式，进而利用等比数列通项公式来进行求解．
74．数列中，则__________．
【试题来源】广东省中山市华侨中学港澳台班2019-2020学年高二上学期期末
【答案】
【解析】因为，所以，即，又，
所以数列是以为首项，2为公差的等差数列，
所以，所以．故答案为
75．已知数列满足：，（），记数列的前项和为，若对所有满足条件的，的最大值为，最小值为，则__________．
【试题来源】2020届上海市嘉定区高三一模
【答案】1078
【分析】由，（），分别令，求得的前项，观察得到最小值，最大值，计算可得的值．
【解析】由，（），可得，解得，
又，可得或，
又，可得或； 或；或；又，可得或或；或或；
或或或或；或或或或，
综上所示可得的最大值为，
最小值为，所以．
76．数列满足，，则的最小值是__________．
【试题来源】重庆市第八中学2021届高三上学期适应性月考
【答案】8
【分析】根据累加法求出，从而求出，再根据基本不等式即可求出最值．
【解析】因为，所以，
所以，，……，，又，
上述个式子相加得，
所以，当且仅当即时，等号成立，故答案为8．
77．在数列中，，，若对于任意的，恒成立，则实数的最小值为__________．
【试题来源】河南省南阳市六校2020-2021学年高二上学期第一次联考
【答案】
【解析】由有，
故数列为首项为，公比为的等比数列，可得．
不等式可化为，
令，当时；当时，．
故当时，，故，
，因此，实数的最小值是．故答案为．
78．已知数列的前项和为，若，则__________．
【试题来源】陕西省部分学校2020-2021学年高三上学期摸底检测（文）
【答案】
【分析】由题意利用数列与的关系可转化条件为，进而可得，利用等比数列的通项公式即可得解．
【解析】，，，，
即，
又，数列是首项为，公比为3的等比数列，
，．故答案为．
79．已知数列的首项，其前项和为，且满足，若数列是递增数列，则实数的取值范围是__________．
【试题来源】安徽省四校2020-2021学年高三上学期适应性测试（文）
【答案】
【分析】利用退一作差法求得，再求得，根据列不等式，解不等式求得的取值范围．
【解析】由可得：
两式相减得：，，
两式相减可得：，数列，，，．．．是以为公差的等差数列，数列，，，．．．是以为公差的等差数列，
将代入及可得：，
将代入可得，
，要使得，恒成立，
只需要即可，，解得，
则的取值范围是．故答案为
80．取出数列的任意连续四项，若其中奇数项之和，偶数项之和均为同一个常数（如连续四项，，，，满足），则称数列为错位等和数列，其中常数是公和．若表示的前项和，有如下命题：
（1）若一个等差数列是错位等和数列，则；
（2）若一个等比数列是错位等和数列，则；
（3）若，则错位等和数列一定是最小正周期为4的周期数列；
（4）在错位等和数列中，，且，若是偶数，则；
其中，真命题的序号是__________．
【试题来源】上海市浦东外国语学校2020-2021学年高二上学期10月月考
【答案】（1）（2）（3）（4）
【解析】（1）由得，即为常数数列，所以正确；
（2）由得，所以为常数数列，，所以，正确；
（3）任取四项，则，且，即有，同理，又，所以错位等和数列一定是最小正周期为4的周期数列，正确；
（4）由（3）及，得，
又，即，所以，且，
而错位等和数列一定是最小正周期为4的周期数列，
所以．故答案为（1）（2）（3）（4）
81．在数列中，，，则__________．
【试题来源】山西省山西大学附属中学2020-2021学年高二上学期9月模块诊断（开学考试）
【答案】
【分析】通过递推公式求出可得数列是周期数列，根据周期即可得答案．
【解析】，，，
可得数列是以3为周期的周期数列， ，故答案为．
82．设数列中，若等比数列满足，且，则__________．
【试题来源】内蒙古赤峰市2020届高三（5月份）高考数学（（理））模拟试题
【答案】2．
【解析】根据题意，数列满足，即，
则有，
而数列为等比数列，则，则，
又由，则．故答案为2．
83．已知等差数列的前项和为，，．数列的前项和为，若对一切，恒有，且，则的最大值为__________．
【试题来源】重庆市第八中学2021届高三上学期高考适应性月考（二）
【答案】9
【解析】设等差数列的公差为d，则依题得解得
所以，，则．
令，所以 ，
故，所以，
则的最小值为，所以，则m的最大值为9．故答案为9
【名师点睛】本题主要考查等差数列通项的求法，考查数列的单调性的判断和数列的恒成立问题的求解，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
84．已知数列满足，则数列的前32项之和为__________．
【试题来源】贵州省遵义市2021届高三上学期第一次联考（理）
【答案】528
【分析】分为奇数和偶数两种情况，发现数列的特点，再分组求和．
【解析】当为奇数时，，，
两式相减得，当为偶数时，，
，两式相加得 ，
所以
．故答案为528．
85．已知数列的前项和满足：（），则数列中最大项等于__________．
【试题来源】安徽省皖北名校2020-2021学年高二上学期第二次联考
【答案】
【分析】利用得到，令，可得数列的通项公式，进而可得数列的通项公式，利用的正负确定数列中最大项．
【解析】因为，得时，，
两式相减得：，即：，
令，又，所以数列是首项，公差为1的等差数列，
则，所以，，，
所以，故数列中且最大，故答案为 ．
【名师点睛】本题考查构造等差数列，利用递推式求通项公式，考查学生的观察能力和分析能力，对于数列最大或者最小项，可以通过的正负来寻找，是中档题．
86．已知数列中，，且，，数列的前项和为，则__________．
【试题来源】南昌市2020届高三数学（（理））零模试题
【答案】
【分析】由得，即数列是以2为首项，以为公比的等比数列，即可求出，进而求得
【解析】因为，所以，
因为，所以数列是以2为首项，以为公比的等比数列，
所以，即，
，所以．故答案为
87．已知数列满足，为的前项和，记，数列的前项和为，则__________．
【试题来源】河南省豫南九校2020-2021学年高二（9月份）第一次联考（文）
【答案】
【分析】由等差数列的求和公式，求得，得到，利用分组求和，即可求解．
【解析】由题意，数列满足，则，
则，
则

．
【名师点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式和前项和公式的应用，以及数列的分组求和，其中解答中熟记等差数列的通项公式和求和公式，合理应用分组求和求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力．
88．等差数列中，为其前项和，若，，则__________．
【试题来源】湖北省六校2020-2021学年高三上学期10月联考
【答案】
【分析】先利用等差数列的求和公式证得是等差数列，并由已知条件计算该数列的公差，进而利用等差数列的推广的通项公式求解．
【解析】等差数列中，记首项为，公差为，利用等差数列求和公式，可得，
又，
所以是首项为，公差为等差数列，
由，，得，，
所以的公差为，
所以，所以
【名师点睛】本题考查等差数列的证明，及等差数列通项公式的求法，解题的关键是要证得是等差数列，考查学生的逻辑推理能力与运算求解能力，属于难题．
89．已知数列的前n项和为，数列的前n项和为，满足，，且．若对，恒成立，则实数的最小值为__________．
【试题来源】河南省豫南九校2020-2021学年高二上学期第一次联考（9月）（理）
【答案】
【分析】当时，解得，当时，由化简得，利用累乘法求得，进而得，利用裂项求和法得，因此利用对，恒成立即可求解．
【解析】当时，，解得．
当时，由，得．
依据叠乘法（累乘法）可得．由，得，
于是．
由于对，恒成立，，故实数的最小值为．
【名师点睛】本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和，以及数列的函数特征，考查满足条件的实数值是否存在的判断与求法，综合性强，难度大．
90．已知数列的前项和为，若对一切正整数，不等式恒成立，则满足条件的最小整数为__________．
【试题来源】江西省临川二中、临川二中实验学校2020届高三第二次模拟考试（文）
【答案】2020
【解析】当时，，得，
当时，，
整理得 ，等式两边同除得，
则数列是以为首项，1为公差的等差数列，，
则，所以不等式对一切正整数恒成立，
即对一切正整数恒成立，
令，当时，最大，，
解得，因为，，此时，
，即．所以满足条件的最小整数为2020．
【名师点睛】本题考查递推式求通向公式，考查数列不等式恒成立问题，关键是将恒成立问题转化为最值问题，是一道难度较大的题目．
91．设数列的前项和为，已知，，若，则的最小值是__________．
【试题来源】重庆市巴蜀中学2021届高三上学期高考适应性月考（三）
【答案】4
【解析】因为，所以，
所以，所以是等比数列且，
又，所以，所以，
所以当时，，则有，
又，所以，
化简得，解得或，
因为，所以，则．故答案为．
【名师点睛】本题考查数列与不等式的综合应用，其中涉及构造法求通项公式以及利用求的通项公式，难度较难．
92．已知数列的通项公式为，数列为公比小于1的等比数列，且满足，，设，在数列中，若，则实数的取值范围为__________．
【试题来源】四川省珙县中学校2020-2021学年高一下期数学第5月月考测试题
【答案】
【解析】在等比数列中，由，又，且公比小于，，因此，由，得到是取中最大值，
是数列中的最小项，又单调递减，单调递增，
当时，，即是数列中的最小项，则必须满足，即得，当时，，即，
是数列中的最小项，则必须满足，即得，综上所述，实数的取值范围是．
93．若数列满足，且对任意都有，则的最小值为__________．
【试题来源】河北省石家庄正定中学2021届高三上学期第二次半月考
【答案】8
【解析】数列满足
当时，有，则，，
分析可得：在中，最大为，
设，则有，且，
变形可得：，所以数列是首项为6﹣8＝﹣2，公比为的等比数列，则，则，
即，又为递增数列，且，
所以若对任意任意都有成立，则，即的最小值为8．