专题11 两条直线的交点坐标（解析版）2020-2021学年高二数学培优对点题组专题突破（人教A版2019选择性必修第一册）

专题11 两条直线的交点坐标

考点一 两条直线的交点
1.若点A（2，－3）是直线a1x＋b1y＋1＝0和a2x＋b2y＋1＝0的公共点，则相异两点（a1，b1）和（a2，b2）所确定的直线方程是（　　）
A．2x－3y＋1＝0
B．3x－2y＋1＝0
C．2x－3y－1＝0
D．3x－2y－1＝0
【答案】A
【解析】∵A（2，－3）是直线a1x＋b1y＋1＝0和a2x＋b2y＋1＝0的公共点，
∴2a1－3b1＋1＝0，且2a2－3b2＋1＝0，
∴两点（a1，b1）和（a2，b2）都在同一条直线2x－3y＋1＝0上，
故点（a1，b1）和（a2，b2）所确定的直线方程是2x－3y＋1＝0，
故选A.
2.直线l与两直线y＝1和x－y－7＝0分别交于A，B两点，若线段AB的中点为M（1，－1），则直线l的斜率为（　　）
A．32
B．23
C．－32
D．－23
【答案】D
【解析】设直线l与直线y＝1的交点为A（x1,1），
直线l与直线x－y－7＝0的交点为B（x2，y2），
因为M（1，－1）为AB的中点，
所以－1＝1+y22，即y2＝－3，代入直线x－y－7＝0，
得x2＝4，
因为点B，M都在直线l上，所以kl＝-3+14-1＝－23.
故选D.
3.若直线l与直线x－3y＋10＝0交于点M，与直线2x＋y－8＝0交于点N，MN的中点为P（0,1），则直线l的方程是（　　）
A．x＋4y＋4＝0
B．x＋4y－4＝0
C．x－4y＋4＝0
D．x－4y－4＝0
【答案】B
【解析】设M（a，b），根据P（0,1）为两交点的中点得到N（－a,2－b），
把M代入x－3y＋10＝0得到a－3b＋10＝0；①
把N代入2x＋y－8＝0得到－2a＋2－b－8＝0，
即2a＋b＋6＝0.②
联立①②，得a-3b+10=0,2a+b+6=0,解得a=-4,b=2,
所以M（－4,2），N（4,0）．
则直线l的方程为y－0＝0-24+4（x－4），
化简得x＋4y－4＝0.
故选B.
4.过2x＋y－8＝0和x－2y＋1＝0的交点且与4x－3y－7＝0平行的直线是（　　）
A．3x＋4y＋17＝0
B．4x－3y－6＝0
C．3x＋4y－17＝0
D．4x－3y＋18＝0
【答案】B
【解析】解方程组2x+y-8=0,x-2y+1=0,得x=3,y=2,
∴直线2x＋y－8＝0和x－2y＋1＝0的交点为（3,2），
设与直线4x－3y－7＝0平行的直线的方程为4x－3y＋a＝0，把点（3,2）代入4x－3y＋a＝0，得a＝－6，
∴所求直线方程为4x－3y－6＝0.
故选B.
5.两条直线x－my＋4＝0和2mx＋5y－4m＝0的交点在第二象限，则m的取值范围是（　　）
A．（－∞，5）
B．（－5，0）
C．（0，5）
D．（－5，5）
【答案】C
【解析】解出两条直线的交点为（4m2-202m2+5，12m2m2+5），
由交点在第二象限，得4m2-202m2+5<0且12m2m2+5>0，
解得m∈（0，5）．
6.若三条直线l1：ax＋y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0，l3：x＋y＋a＝0能构成三角形，则a应满足的条件是（　　）
A．a＝1或a＝－2
B．a≠±1
C．a≠1且a≠－2
D．a≠±1且a≠－2
【答案】D
【解析】为使三条直线能构成三角形，需三条直线两两相交且不共点．
（1）若三条直线交于一点，由x+ay+1=0,x+y+a=0,解得x=-a-1y=1,,
将l2，l3的交点（－a－1,1）代入l1的方程解得a＝1或a＝－2；①
（2）若l1∥l2，则由a×a－1×1＝0，得a＝±1，②
当a＝1时，l1与l2重合；
（3）若l2∥l3，则由1×1－a×1＝0，得a＝1，当a＝1时，l2与l3重合；
（4）若l1∥l3，则由a×1－1×1＝0，得a＝1，当a＝1时，l1与l3重合．
综上，当a＝1时，三条直线重合；
当a＝－1时，l1∥l2；当a＝－2时，三条直线交于一点，
所以要使三条直线能构成三角形，需a≠±1且a≠－2.
7.经过两直线11x＋3y－7＝0和12x＋y－19＝0的交点，且与A（3，－2），B（－1,6）等距离的直线的方程是________．
【答案】7x＋y－9＝0或2x＋y＋1＝0
【解析】两直线11x＋3y－7＝0和12x＋y－19＝0的交点坐标是（2，－5），AB的中点为（1,2），所求方程是7x＋y－9＝0；AB的斜率是－2，所以所求方程是2x＋y＋1＝0.故所求直线方程是7x＋y－9＝0或2x＋y＋1＝0.
8.已知△ABC中，顶点A（1,1），B（4,2），顶点C在直线x－y＋5＝0上，又BC边上的高所在的直线方程为5x－2y－3＝0，
（1）求顶点C的坐标；
（2）△ABC是否为直角三角形？
【答案】（1）由顶点C在直线x－y＋5＝0上，可设顶点C（m，m＋5），又BC边上的高所在的直线方程为5x－2y－3＝0，
∴BC的斜率为－25，即m+5-2m-4＝－25，∴m＝－1，
∴C（－1,4）．
（2）∵AB的斜率为2-14-1＝13，
BC的斜率为2-44+1＝－25，
AC的斜率为4-1-1-1＝－32，
任意两边的斜率之积都不等于－1，故△ABC不是直角三角形．
9.判定下列各对直线的位置关系，若相交，则求出交点的坐标．
（1）l1：7x＋2y－1＝0，l2：14x＋4y－2＝0；
（2）l1：（3－2）x＋y＝7，l2：x＋（3＋2）y－6＝0；
（3）l1：3x＋5y－1＝0，l2：4x＋3y＝5.
【答案】（1）解方程组7x+2y-1=0,14x+4y-2=0,
得x，y有无数组解，所以l1与l2重合．
（2）解方程组3-2x+y=7,x+3+2y-6=0,
得7＝6（3－2），矛盾，
方程组无解，所以两直线无公共点，l1∥l2.
（3）解方程组3x+5y-1=0,4x+3y=5,得x=2,y=-1.
故两直线相交，交点坐标为（2，－1）．

考点二 过两条直线交点的直线方程
10.已知P1（x1，y1）是直线l：f（x，y）＝0上的一点，P2（x2，y2）是直线l外的一点，则方程f（x，y）＋f（x1，y1）＋f（x2，y2）＝0表示的直线与直线l的位置关系是（　　）
A．互相重合
B．互相平行
C．互相垂直
D．互相斜交
【答案】B
【解析】∵P1（x1，y1）是直线l：f（x，y）＝0上的一点，
∴f（x1，y1）＝0.
∵P2（x2，y2）是直线l外的一点，∴f（x2，y2）≠0.
∴由方程f（x，y）＋f（x1，y1）＋f（x2，y2）＝0表示的直线即为f（x，y）＋f（x2，y2）＝0与直线l平行．
故选B.
11.已知P（x0，y0）是直线l：Ax＋By＋C＝0外一点，则方程Ax＋By＋C＋（Ax0＋By0＋C）＝0（　　）
A．过点P且与l垂直的直线
B．过点P且与l平行的直线
C．不过点P且与l垂直的直线
D．不过点P且与l平行的直线
【答案】D
【解析】∵P（x0，y0）是直线l：Ax＋By＋C＝0外一点，
∴Ax0＋By0＋C＝k，k≠0.
∴方程Ax＋By＋C＋（Ax0＋By0＋C）＝0，
即Ax＋By＋C＋k＝0.
∵直线Ax＋By＋C＋k＝0和直线l斜率相等，但在y轴上的截距不相等，
故直线Ax＋By＋C＋k＝0和直线l平行．
由Ax0＋By0＋C＝0，而k≠0，∴Ax0＋By0＋C＋k≠0，∴直线Ax＋By＋C＋k＝0不过点P，故选D.
12.已知直线l1：x－2y＋3＝0，l2：2x－4y－5＝0，在直角坐标平面上，集合{l|l：x－2y＋3＋λ（2x－4y－5）＝0，λ∈R}表示（　　）
A．过l1和l2交点的直线集合
B．过l1和l2交点的直线集合，但不包括直线l2
C．平行于直线l1的集合
D．平行于直线l2的集合
【答案】D
【解析】∵直线l1：x－2y＋3＝0和l2：2x－4y－5＝0的斜率都等于12，
∴直线l1和l2互相平行．
而直线l：x－2y＋3＋λ（2x－4y－5）＝0，即（1＋2λ）x－（2＋4λ）y＋3－5λ＝0，
可得直线l的斜率也等于12，与直线l1和l2方向相同．
当λ＝0时，直线l与直线l1重合，且直线l不可能与直线l2重合，
∴直线l的集合表示平行于直线l2的集合．
故选D.
13.过两条直线2x－3y－1＝0和3x－2y－2＝0的交点，且与直线3x＋y＝0平行的直线方程是（　　）
A．15x－5y－13＝0
B．15x＋5y－13＝0
C．15x＋5y＋13＝0
D．15x－5y＋13＝0
【答案】B
【解析】联立直线方程可得2x-3y-1=0,3x-2y-2=0,
求得x＝45，y＝15，
∵所求直线与3x＋y＝0平行，
故斜率为－3.
∴直线方程为y－15＝－3（x－45），
整理得15x＋5y－13＝0.
故选B.
14.已知直线l过直线2x＋y－5＝0和直线x＋2y－4＝0的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线l的方程为（　　）
A．x－y－1＝0
B．x＋y－3＝0或x－2y＝0
C．x－y－1＝0或x－2y＝0
D．x＋y－3＝0或x－y－1＝0
【答案】C
【解析】联立已知的两直线方程，得2x+y-5=0,x+2y-4=0,
解得x=2,y=1.
所以两直线的交点坐标为（2,1），
因为直线l在两坐标轴上的截距互为相反数，
①当直线l与坐标轴的截距不为0时，可设直线l的方程为x－y＝a，直线l过两直线的交点，所以把（2,1）代入直线l得a＝1，则直线l的方程为x－y＝1即x－y－1＝0；
②当直线l与两坐标的截距等于0时，设直线l的方程为y＝kx，直线l过两直线的交点，所以把（2,1）代入直线l得k＝12，所以直线l的方程为y＝12x，即x－2y＝0.
综合①②，直线l的方程为x－y－1＝0或x－2y＝0.
故选C.
15.求经过两直线2x＋y－8＝0与x－2y＋1＝0的交点，且在y轴上的截距为在x轴上截距的两倍的直线l的方程．
【答案】（1）2x＋y－8＝0在x轴、y轴上的截距分别是4和8，符合题意．
（2）当l的方程不是2x＋y－8＝0时，
设l：（x－2y＋1）＋λ（2x＋y－8）＝0，
即（1＋2λ）x＋（λ－2）y＋（1－8λ）＝0.
据题意，1＋2λ≠0，λ－2≠0.
令x＝0，得y＝－1-8λλ-2；
令y＝0，得x＝－1-8λ1+2λ.
∴－1-8λλ-2＝2·（－1-8λ1+2λ），
解得λ＝18，此时y＝23x，即2x－3y＝0.
∴所求直线方程为2x＋y－8＝0或2x－3y＝0.
16.在平面直角坐标系中，△ABC的顶点分别为A（0，a），B（b,0），C（c,0），设P（0，p）在线段AO上（异于端点），设a，b，c，p均为非零实数，直线BP，CP分别交AC，AB于点E，F，一同学已正确求得OE的方程为（1b－1c）x＋（1p－1a）y＝0，求直线OF的方程．
【答案】由截距式可得直线AB：?xb＋ya＝1，
直线CP：xc＋yp＝1，
点F为直线AB与直线CP的交点，
故过F点的直线系方程可设为l：xc＋yp－1＋λ（xb＋ya－1）＝0.
又直线l过原点（0,0），代入方程得λ＝－1，
故所求直线OF的方程为（1c－1b）x＋（1p－1a）y＝0.
17.（1）求经过直线l1：x＋3y－3＝0，l2：x－y＋1＝0的交点且平行于直线2x＋y－3＝0的直线方程．
（2）求证：不论m取什么实数，直线（2m－1）x＋（m＋3）y－（m－11）＝0都经过一个定点，并求出这个定点的坐标．
【答案】（1）方法一　由x+3y-3=0,x-y+1=0,得x=0,y=1,
∴直线l1与l2的交点坐标为（0,1），再设平行于直线2x＋y－3＝0的直线方程为2x＋y＋c＝0，
把（0,1）代入所求的直线方程，得c＝－1，
故所求的直线方程为2x＋y－1＝0.
方法二　设过直线l1、l2交点的直线方程为x＋3y－3＋λ（x－y＋1）＝0（λ∈R），
即（λ＋1）x＋（3－λ）y＋λ－3＝0，
由题意可知，?λ+1λ-3＝－2，解得λ＝53，
∴所求直线方程为83x＋43y－43＝0，
即2x＋y－1＝0.
（2）将已知方程以m为未知数，整理得（2x＋y－1）m＋（－x＋3y＋11）＝0.
由于m取值的任意性，
由2x+y-1=0,-x+3y+11=0.解得x=2,y=-3.
∴不论m取什么实数，所给的直线都经过一个定点（2，－3）．
18.如图，在平行四边形ABCD中，边AB所在直线方程为2x－y－2＝0，点C是直线x＝2与x轴的交点．
（1）求直线CD的方程；
（2）求AB边上的高CE所在直线的方程．

【答案】（1）∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD.
∴kCD＝kAB＝2.
∵点C（2,0），
∴直线CD的方程为y＝2（x－2），
即2x－y－4＝0.
（2）∵CE⊥AB，∴kCE＝－1KAB＝－12.
∵点C（2,0），
∴直线CE的方程为y＝－12（x－2），
即x＋2y－2＝0.

考点三 恒过定点的直线
19.已知点A（2，－3），B（－3，－2），直线l：λx－4y＋4－λ＝0与线段AB恒有公共点，则λ的取值范围是（　　）
A．λ≥3或λ≤－16
B．λ≥34或λ≤－4
C．－16≤λ≤3
D．3≤λ≤16
【答案】A
【解析】直线l：λx－4y＋4－λ＝0经过定点M（1,1），
所以kMA＝-3-12-1＝－4，kMB＝-2-1-3-1=34，
所以直线：λx－4y＋4－λ＝0与线段AB恒有公共点，
它的斜率λ4≥34或λ4≤－4，解得λ≥3或λ≤－16.
故选A.
20.已知直线l1：ax－y＋1＝0与l2：x＋ay＋1＝0，给出如下结论：
①不论a为何值时，l1与l2都互相垂直；
②当a变化时，l1与l2分别经过定点A（0,1）和B（－1,0）；
③不论a为何值时，l1与l2都关于直线x＋y＝0对称．
其中正确的结论有（　　）
A．①
B．①②
C．①③
D．②③
【答案】B
【解析】①a×1－1×a＝0恒成立，l1与l2垂直恒成立，故①正确；
②直线l1：ax－y＋1＝0，当a变化时，x＝0，y＝1恒成立，所以l1经过定点A（0,1）；
l2：x＋ay＋1＝0，当a变化时，y＝0，x＝－1恒成立，所以l2经过定点B（－1,0），
故②正确．
③在l1上任取一点（x，ax＋1），关于直线x＋y＝0对称的点的坐标为（－ax－1，－x），
代入l2：x＋ay＋1＝0的左边，显然不为0，故③不正确．
故选B.
21.已知0＜k＜4时直线L：kx－2y－2k＋8＝0和直线M：2x＋k2y－4k2－4＝0与两坐标轴围成一个四边形，则这个四边形面积取最小值时k的值为（　　）
A．2
B．12
C．14
D．18
【答案】D
【解析】如图所示：

直线L：kx－2y－2k＋8＝0，
即k（x－2）－2y＋8＝0，过定点B（2,4），
与y轴的交点C（0,4－k），
直线M：2x＋k2y－4k2－4＝0，即2x＋k2（y－4）－4＝0，
过定点（2,4），与x轴的交点A（2k2＋2,0），
由题意，四边形的面积等于三角形ABD的面积和梯形OCBD的面积之和，
∴所求四边形的面积为12×4×（2k2＋2－2）＋12×（4－k＋4）×2＝4k2－k＋8，
∴当k＝18时，所求四边形的面积最小，
故选D.
22.不论m为何实数，直线（m－1）x－y＋2m＋1＝0恒过定点（　　）
A．（1，－12）
B．（－2,0）
C．（－2,3）
D．（2,3）
【答案】C
【解析】直线（m－1）x－y＋2m＋1＝0可变为m（x＋2）＋（－x－y＋1）＝0.
令x+2=0,-x-y+1=0,解得x=-2,y=3.
故无论m为何实数，直线（m－1）x－y＋2m＋1＝0恒通过一个定点（－2,3）．
故选C.
23.若不论m取何实数，直线l：mx＋y－1＋2m＝0恒过一定点，则该定点的坐标为________．
【答案】（－2,1）
【解析】直线l：mx＋y－1＋2m＝0可化为m（x＋2）＋（y－1）＝0.
由题意，可得x+2=0,y-1=0,∴x=-2,y=1.
∴直线l：mx＋y－1＋2m＝0恒过一定点（－2,1）．
24.已知直线方程为（λ＋3）x＋（2λ－1）y＋7＝0.
（1）证明：不论λ为何实数，直线恒过定点；
（2）直线m过（1）中的定点且在两坐标轴的截距的绝对值相等，求满足条件的直线m的方程．
【答案】（1）∵直线方程为（λ＋3）x＋（2λ－1）y＋7＝0，即λ（x＋2y）＋（3x－y＋7）＝0，
由x+2y=0,3x-y+7=0,可得x=-2,y=1,
故不论λ为何实数，直线恒过定点（－2,1）．
（2）由题意可得，直线m过定点（－2,1），且在两坐标轴上的截距的绝对值相等．
当直线过原点时，由点斜式求得直线方程为y＝－12x，即x＋2y＝0.
当直线不过原点时，设方程为x＋y＝a或x－y＝b，
把定点（－2,1）代入可得－2＋1＝a或－2－1＝b，
解得a＝－1，b＝－3，故直线的方程为x＋y＋1＝0或x－y＋3＝0.
综上可得，所求的直线方程为x＋2y＝0或x＋y＋1＝0或x－y＋3＝0.
25.已知直线l：（a－2）y＝（3a－1）x－1.①求证：无论a为何值时，直线总过第一象限；②为使这条直线不过第二象限，求a的取值范围；③若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B.△AOB的面积为S且－2≤a≤－1，求S的最小值并求此时直线l的方程．
【答案】①∵a（3x－y）＋（－x＋2y－1）＝0对任意实数a恒过直线3x－y＝0与x－2y＋1＝0的交点（15，35），
∴直线系恒过第一象限内的定点（．
②当a＝2时，直线为x＝15，不过第二象限；当a≠2时，
直线方程化为y＝3a-1a-2x-1a-2，
不过第二象限的条件为3a-1a-2>0，-1a-2≤0⇒a>2.
∴a≥2时直线不过第二象限．
③令x＝0，得y＝-1a-2，
令y＝0，得x＝13a-1，
∴S＝12·-13a-1×-1a-2=12×13a2-7a+2.
∵S在a∈[－2，－1]上单调递增，
∴当a＝－2时，Smin＝156，
此时l：7x－4y＋1＝0.
26.已知点P（2，－3），Q（3,2），直线l：（2－a）x－（1＋2a）y＋（1＋2a）＝0（a∈R）．
（1）求当直线l与直线PQ平行时实数a的值；
（2）求直线l所过的定点（与a的值无关的点）M的坐标．
【答案】（1）∵点P（2，－3）、Q（3,2），
∴直线PQ的斜率k＝-3-22-3＝5，
当直线l与直线PQ平行时，直线l的斜率与PQ的斜率相等，
即2-a1+2a＝5，解得a＝－311.
（2）直线l：（2－a）x－（1＋2a）y＋（1＋2a）＝0，
整理得（2x－y＋1）＋a（－x－2y＋2）＝0，
由此可得直线l经过直线2x－y＋1＝0与－x－2y＋2＝0的交点．
联立方程组2x-y+1=0,-x-2y+2=0,解得x=0,y=1,
∴直线l所过的定点M的坐标为（0,1）．