专题13 点到直线的距离公式 两条平行直线间距离（解析版）2020-2021学年高二数学培优对点题组专题突破（人教A版2019选择性必修第一册）

专题13 点到直线的距离公式 两条平行直线间距离

考点一 点到直线的距离
1.点P(x，y)在直线x＋y－6＝0上，O是原点，则|OP|的最小值是(　　)
A．10
B． 22
C．6
D． 32
【答案】D
【解析】由题意可知，过O作已知直线的垂线，垂足为P，此时|OP|最小，
则原点(0,0)到直线x＋y－6＝0的距离d＝-62＝32，即|OP|的最小值为32.故选D.
2.已知实数x，y满足2x＋y＋5＝0，那么x2+y2的最小值为(　　)
A．5
B．10
C． 25
D． 210
【答案】A
【解析】求x2+y2的最小值，就是求2x＋y＋5＝0上的点到原点的距离的最小值，转化为坐标原点到直线2x＋y＋5＝0的距离，d＝522+1＝5.故选A.
3.若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋ny＋5＝0相交于同一点，则点(m，n)到原点的距离的最小值为(　　)
A．5
B．6
C． 23
D． 25
【答案】A
【解析】联立y=2x,x+y=3,解得x＝1，y＝2.
把(1,2)代入mx＋ny＋5＝0可得，m＋2n＋5＝0.
∴m＝－5－2n.
∴点(m，n)到原点的距离d＝m2+n2＝(5+2n)2+n2＝5(n+2)2+5≥5，
当n＝－2，m＝－1时，取等号．
∴点(m，n)到原点的距离的最小值为5.
故选A.
4.点P(－2，－1)到直线l：(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y＝2＋5λ的距离为d，则d的取值范围是(　　)
A． 0≤d＜13
B．d≥0
C．d＞13
D．d≥13
【答案】A
【解析】直线l：(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y＝2＋5λ可化为
(x＋y－2)＋λ(3x＋2y－5)＝0，
∴x+y-2=0,3x+2y-5=0,
∴x=1,y=1.
∴直线l恒过定点A(1,1)(不包括直线3x＋2y－5＝0)．
∴PA＝(-2-1)2+(-1-1)2＝13.
∵PA垂直直线3x＋2y－5＝0时，点P(－2，－1)到直线的距离为13.
∴点P(－2，－1)到直线l：(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y＝2＋5λ的距离d满足0≤d＜13.
故选A.
5.过点P(1,2)作直线l，使直线l与点M(2,3)和点N(4，－5)距离相等，则直线l的方程为(　　)
A．y＋2＝－4(x＋1)
B． 3x＋2y－7＝0或4x＋y－6＝0
C．y－2＝－4(x－1)
D． 3x＋2y－7＝0或4x＋y＋6＝0
【答案】B
【解析】当直线l的斜率不存在时，显然不满足题意；
设直线l的斜率为k，
则直线l的方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y＋2－k＝0.
由题意可得2k-3+2-k1+k2=4k+5+2-k1+k2，
化简得k－1＝3k＋7或k－1＝－3k－7，
解得k＝－4或k＝-32.
则直线l的方程为：y－2＝－4(x－1)或y－2＝-32(x－1)，
即3x＋2y－7＝0或4x＋y－6＝0.
故选B.
6.已知直线l过点P(3,4)且与点A(－2,2)，B(4，－2)等距离，则直线l的方程为(　　)
A．2x＋3y－18＝0
B．2x－y－2＝0
C．3x－2y＋18＝0或x＋2y＋2＝0
D．2x＋3y－18＝0或2x－y－2＝0
【答案】D
【解析】当直线l的斜率不存在时，显然不满足题意；
设所求的直线方程为y－4＝k(x－3)，
即kx－y＋4－3k＝0.
由已知及点到直线的距离公式可得，
-2k-2+4-3k1+k2=4k+2+4-3k1+k2.
∴|5k－2|＝|k＋6|，
∴5k－2＝k＋6或5k－2＝－k－6，
∴k＝2或k＝-23.
∴所求的直线方程为2x－y－2＝0或2x＋3y－18＝0，
故选D.
7.直线l经过两条直线2x－y＝5和3x＋2y＝4的交点，且和点(3,2)的距离等于5，那么l的方程是(　　)
A．2x－y＋1＝0
B．2x＋y－3＝0
C．2x＋y－3＝0或x－2y－4＝0
D．2x－y＋1＝0或x－2y－4＝0
【答案】C
【解析】联立得：2x-y=5，3x+2y=4解得,x=2，y=-1，所以两直线交点坐标为(2，－1)，当直线l的斜率不存在时，显然不满足题意．则设直线l的方程为y＋1＝k(x－2)即kx－y－2k－1＝0，又因为点(3,2)到直线l的距离等于5，
所以k-3k2+1=5，解得k＝12或k＝－2.
所以直线l的方程为2x＋y－3＝0或x－2y－4＝0.
故选C.
8.若O(0,0)，A(4，－1)两点到直线ax＋a2y＋6＝0的距离相等，则实数a可能取值的个数共有(　　)
A．无数个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】C
【解析】由题意，直线ax＋a2y＋6＝0与直线OA平行或过OA连线的中点，
分两种情形讨论：
(1)当直线ax＋a2y＋6＝0与直线OA平行时，可得
直线OA的斜率为kOA＝-1-04-0=-14，
∴-1a=-14⇒a＝4.
(2)当直线ax＋a2y＋6＝0过OA连线的中点(2，-12)时，
2a－12a2＋6＝0⇒a＝6或a＝－2，
因此有3个a值符合题意，故选C.
9.已知直线方程为Ax＋By＋C＝0，直线在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，直线的斜率为k，坐标原点到直线的距离为p，则有(　　)
A．k＝ba
B．1a+1b=1
C．a＝－kb
D．b2＝p2(1＋k2)
【答案】D
【解析】若直线不过原点，则k＝-ba，①
∵p＝11a2+1b2，∴p2(a2＋b2)＝a2b2，②
由①②得b2＝p2(1＋k2)，
当a＝0，b＝0时，代入b2＝p2(1＋k2)也成立．
故选D.
10.对于坐标平面内的任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，定义运算“”为：P1P2＝(x1，y1)(x2，y2)＝(x1x2－y1y2，x1y2＋x2y1)．若点M(x，y)(－2≤x≤－1)，点N的坐标为(x，y)(1,1)，则点N到直线x＋y＋2＝0距离的最大值为________．
【答案】2
【解析】因为坐标平面内的任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，定义运算“”为：P1P2＝(x1，y1)(x2，y2)＝(x1x2－y1y2，x1y2＋x2y1)，
所以N的坐标为(x，y)(1,1)＝(x－y，x＋y)．
点N到直线x＋y＋2＝0的距离为x-y+x+y+21+1＝2x+22＝2|x＋1|(－2≤x≤－1)，
所以点N到直线x＋y＋2＝0的距离的最大值为2.
11.已知a、b、c为某一直角三角形的三条边长，c为斜边．若点(m，n)在直线ax＋by＋2c＝0上，则m2＋n2的最小值是________．
【答案】4
【解析】根据题意可知，当(m，n)运动到原点与已知直线作垂线的垂足位置时，m2＋n2的值最小，
由三角形为直角三角形，且c为斜边，根据勾股定理得，c2＝a2＋b2，
所以原点(0,0)到直线ax＋by＋2c＝0的距离d＝0+0+2ca2+b2＝2，
则m2＋n2的最小值为4.
12.已知△ABC的顶点为A(1,1)、B(m，m)、C(4,2)，1＜m＜4.当m为何值时，△ABC的面积S最大？
【答案】|AC|＝(4-1)2+(2-1)2＝10，
直线AC的方程为y-12-1＝x-14-1，
即x－3y＋2＝0.
∵点B(m，m) 到直线AC的距离d＝m-3m+212+(-3)2，
∴△ABC的面积S＝12|AC|·d＝12|m－3m＋2|＝12(m-32)2-14.
∵1＜m＜4，∴1＜m＜2，
∴0＜(m-32)2-14≤14，0＜S≤18.
∴当m＝32，即m＝94时，△ABC的面积S最大．
13.已知直线l：mx－y－2m－1＝0，m是实数．
(1)直线l恒过定点P，求定点P的坐标；
(2)若原点到直线l的距离是2，求直线l的方程．
【答案】(1)直线l：mx－y－2m－1＝0，
即m(x－2)＋(－y－1)＝0.
由x-2=0，-y-1=0，求得x=2，y=-1，
故直线l经过定点P(2，－1)．
(2)若原点到直线l的距离是2，
则有0-0-2m-1m2+1＝2，求得m＝34，
故直线l的方程为 3x－4y－10＝0.
14.已知△ABC的两条高线所在直线的方程为2x－3y＋1＝0和x＋y＝0，顶点A(1,2)，求：
(1)BC边所在直线的方程；
(2)△ABC的面积．
【答案】(1)∵A(1,2)不在两条高线2x－3y＋1＝0和x＋y＝0上，
∴AB、AC边所在直线的斜率分别为－32和1，
代入点斜式得，y－2＝－32(x－1)，y－2＝x－1.
∴AB、AC边所在直线方程为3x＋2y－7＝0，x－y＋1＝0.
由2x-3y+1=0,x-y+1=0解得x＝－2，y＝－1，
∴C(－2，－1)，同理可求B(7，－7)．
∴边BC所在直线的斜率k＝-1+7-2-7＝－23，方程是y＋1＝－23(x＋2)，化简得2x＋3y＋7＝0，∴边BC所在直线的方程为 2x＋3y＋7＝0.
(2)由(1)得，|BC|＝7+22+-7+12＝117，点A到边BC的高为h＝2+6+74+9＝1513，
∴△ABC的面积S＝12×|BC|×h＝12×313×1513＝452.

考点二 两条平行直线间的距离
15.与直线2x＋y＋1＝0的距离为55的直线的方程是(　　)
A．2x＋y＝0
B．2x＋y－2＝0
C．2x＋y＝0或2x＋y－2＝0
D．2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0
【答案】D
【解析】设与直线2x＋y＋1＝0的距离为55的直线的方程是2x＋y＋m＝0，则由两条平行直线间的距离公式可得m-15＝55，
解得m＝0或m＝2，故所求的直线方程为 2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0，
故选D.
16.在两条平行直线2x－y＝3,2x－y＝18之间，且到这两条平行直线的距离之比是3∶2的直线方程是(　　)
A．2x－y－9＝0或2x－y－48＝0
B．2x－y－9＝0或2x－y－12＝0
C．2x－y－12＝0或2x－y－48＝0
D．2x－y－12＝0或2x－y－27＝0
【答案】C
【解析】设直线方程为2x－y＋c＝0，并且设其与两条平行直线2x－y＝3,2x－y＝18的距离分别为d1，d2，由两条平行线间的距离公式可得，d1＝c+35，d2＝c+185.
因为直线到两条平行直线2x－y＝3,2x－y＝18的距离之比是3∶2，
所以2d1＝3d2，所以c＝－12或者c＝－48.
故选C.
17.到直线2x＋6y＋10＝0的距离为2且与此直线平行的直线方程是(　　)
A．2x＋6y＋510＝0
B．2x＋6y＋510＝0或2x＋6y－310＝0
C．2x＋6y－310＝0
D．2x＋6y＋510＝0或2x＋6y－210＝0
【答案】B
【解析】由平行关系可设所求直线的方程为2x＋6y＋c＝0，
由平行线间的距离公式可得c-1022+62＝2，
解得c＝510或c＝－310.
∴所求直线的方程为2x＋6y＋510＝0或2x＋6y－310＝0.
故选B.
18.设两条直线的方程分别为x＋y＋a＝0，x＋y＋b＝0，已知a，b是方程x2＋x＋c＝0的两个实根，且0≤c≤18，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是(　　)
A．13，33
B．33，13
C．22，12
D．12，22
【答案】C
【解析】因为a，b是方程x2＋x＋c＝0的两个实根，
所以a＋b＝－1，ab＝c，两条直线之间的距离d＝a-b2，
所以d2＝a+b2-4ab2＝1-4c2，因为0≤c≤18，
所以12≤1－4c≤1，
即d2∈[14，12]，所以两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是22，12.
故选C.
19.两平行直线l1、l2分别过点P(1,3)、Q(2, 1)，它们分别绕P、Q旋转，但始终保持平行，则l1、l2之间的距离的取值范围是(　　)
A．(0，＋∞)
B．[0，5]
C．(0，5]
D．[0，17]
【答案】C
【解析】当直线l1，l2均和PQ垂直时，二者的距离最大，
为|PQ|＝2-12+1-32＝5.
l1，l2保持平行，即不能重合，
二者距离又始终大于零．
所以d的取值范围为0＜d≤5.
故选C.
20已知直线l1过点A(1,2)，直线l2过点B(4,6)，l1∥l2，用d表示l1到l2的距离，则(　　)
A．d≥5
B．3≤d≤5
C．0≤d≤5
D．0＜d≤5
【答案】D
【解析】由题意可得|AB|＝5，d表示l1到l2的距离，再根据0＜d≤|AB|，可得 0＜d≤5，故选D.
20.设直线l过点A(2,4)，它被平行线x－y＋1＝0与x－y－1＝0所截的线段的中点在直线x＋2y－3＝0上，则l的方程是________．
【答案】3x－y－2＝0
【解析】到平行线x－y＋1＝0与x－y－1＝0距离相等的直线方程为x－y＝0.
联立方程组x+2y-3=0，x-y=0，解得x=1，y=1.
∴直线l被平行线x－y＋1＝0与x－y－1＝0所截的线段的中点为(1,1)．
∴直线l的两点式方程为x-12-1=y-14-1，
即3x－y－2＝0.
21.如图，矩形OABC的顶点O为原点，AB边所在直线的方程为3x＋4y－25＝0，顶点B的纵坐标为10.
(1)求OA，OC边所在直线的方程；
(2)求矩形OABC的面积．

【答案】(1)∵OABC是矩形，∴OA⊥AB，OC∥AB.
由直线AB的方程3x＋4y－25＝0可知kAB＝－34，
∴kOA＝43，kOC＝－34，
∴OA边所在直线的方程为y＝43x，即4x－3y＝0，
OC边所在直线的方程为y＝－34x，即3x＋4y＝0.
(2)∵点B在直线AB上，且纵坐标为10，
∴点B的横坐标为－5，即B(－5,10)．
∴OA＝0×3+0×4-2532+42＝5，
∴AB＝4×-5-3×1042+-32＝10,
∴矩形OABC的面积S＝|OA||AB|＝50.
22.如图，已知直线l1：x＋y－1＝0，现将直线l1向上平移到直线l2的位置，若l2、l1和坐标轴围成的梯形面积为4，求l2的方程．

【答案】设l2的方程为y＝－x＋b(b>1)，
则图中A(1,0)，D(0,1)，B(b,0)，C(0，b)．
∴|AD|＝2，|BC|＝2b.
梯形的高h就是A点到直线l2的距离，
故h＝1+0-b2=b-12=b-12(b>1)，
由梯形面积公式得2+2b2×b-12＝4，
∴b2＝9，b＝±3.
但b>1，∴b＝3.
故直线l2的方程是x＋y－3＝0.
23过A(－4,0)、B(0，－3)两点作两条平行线，求分别满足下列条件的方程：
(1)两平行线间距离为4；
(2)这两条直线各绕A，B旋转，使它们之间的距离取最大值．
【答案】(1)当两直线的斜率不存在时，
方程分别为x＝－4，x＝0，满足题意；
当两直线的斜率存在时，设方程分别为y＝k(x＋4)与y＝kx－3，
即kx－y＋4k＝0与kx－y－3＝0，
由题意得，4k+3k2+1＝4，解得k＝724，
所以所求的直线方程分别为7x－24y＋28＝0,7x－24y－72＝0.
综上，所求的直线方程分别为x＝－4，x＝0或7x－24y＋28＝0,7x－24y－72＝0.
(2)由(1)当两直线的斜率存在时，
两条平行线之间的距离d＝4k+3k2+1，
∴(d2－16)k2－24k＋d2－9＝0，
∵k∈R，∴Δ≥0，即d4－25d2≤0，
∴d2≤25，∴0＜d≤5，∴dmax＝5，
当d＝5时，k＝43.
当两直线的斜率不存在时，d＝4.
综上，dmax＝5，此时两直线的方程分别为4x－3y＋16＝0,4x－3y－9＝0.
24.已知直线l1：ax＋y＋2＝0(a∈R)．
(1)若直线l1的倾斜角为120°，求实数a的值；
(2)若直线l1在x轴上的截距为2，求实数a的值；
(3)若直线l1与直线l2：2x－y＋1＝0平行，求两平行线之间的距离．
【答案】(1)由题意可得tan 120°＝－a，解得a＝3.
(2)令y＝0，可得x＝－2a，即直线l1在x轴上的截距为－2a＝2，解得a＝－1.
(3)∵直线l1与直线l2：2x－y＋1＝0平行，
∴a＝－2，∴直线l1的方程可化为2x－y－2＝0.
∴两平行线之间的距离为-2-122+-12＝355.
25.两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(－3，－1)，并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.求：
(1)d的变化范围；
(2)当d取最大值时，两条直线的方程．
【答案】(1)如图所示，

显然有0 而|AB|＝6+32+2+12＝310.
故所求的d的变化范围为(0,310]．
(2)由图可知，当d最大时，两直线垂直于AB.
而kAB＝2--16--3＝13，∴所求的直线的斜率为－3.
故所求的直线方程分别为y－2＝－3(x－6)和y＋1＝－3(x＋3)，
即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.