专题12 两点间的距离公式（解析版）2020-2021学年高二数学培优对点题组专题突破（人教A版2019选择性必修第一册）

专题12  两点间的距离公式

考点一  两点间的距离公式

1.已知点M（－1,3），N（5,1），P（x，y）到M、N的距离相等，则x，y满足的条件是（　　）

A．x＋3y－8＝0

B．x－3y＋8＝0

C．x－3y＋9＝0

D．3x－y－4＝0

【答案】D

【解析】由|PM|＝|PN|，

得（x＋1）2＋（y－3）2＝（x－5）2＋（y－1）2，

化简得3x－y－4＝0.

2.已知A、B两点分别在两条互相垂直的直线2x－y＝0和x＋ay＝0上，且AB线段的中点为P（0，），则线段AB的长为（　　）

A．8

B．9

C．10

D．11

【答案】C

【解析】由已知两直线互相垂直可得：2×1＋（－1）×a＝0，解得a＝2，

∴线段AB中点为P（0,5），且AB为直角三角形AOB的斜边，

∵直角三角形斜边的中线PO的长为斜边AB的一半，且|PO|＝5.

故|AB|＝2|PO|＝10，故选C.

3.在平面直角坐标系中，定义d＝|x1－x2|＋|y1－y2|为两点P（x1，y1），Q（x2，y2）之间的“折线距离”．已知B（1,0），点M为直线x－y＋2＝0上的动点，则d（B，M）的最小值为（　　）

A．

B．2

C．2

D．3

【答案】D

【解析】如图，

直线与两轴的交点分别为A（－2,0），C（0,2），

设M（x，y）为直线上任意一点，作MN⊥x轴于N，于是有|MN|＝|AN|，

所以d＝|BN|＋|MN|＝|BN|＋|AN|，

过B作x轴的垂线交直线x－y＋2＝0于点G，

则当M在线段AG上时，d＝|BN|＋|MN|＝|BN|＋|AN|＝|AB|，

当M在直线x－y＋2＝0上且在线段AG外时，d＝|BN|＋|MN|＝|BN|＋|AN|＞|AB|，

所以，d（B，M）的最小值为|AB|＝3.

故选D.

4.已知△ABC的三个顶点分别是A（5,5），B（1,4），C（4,1），则△ABC的形状是（　　）

A．直角三角形

B．等腰三角形

C．等边三角形

D．等腰直角三角形

【答案】B

5.已知直线ax＋2y－1＝0和x轴、y轴分别交于A、B两点，且A、B两点的距离为，则a的值为（　　）

A．－1

B．－2

C．2

D．2或－2

【答案】D

【解析】直线ax＋2y－1＝0和x轴交于A（，0），与y轴交于B（0，），

且A、B两点的距离为，

解得a＝2或－2.故选D.

6.已知A（2,0），B（4,2），若|AB|＝2|BC|，则C点的坐标是（　　）

A．（－1,1）

B．（－1,1）或（5，－1）

C．（－1,1）或（1,3）

D．有无数多个

【答案】D

【解析】设点C（x，y），由|AB|＝2|BC|，

得x2＋y2－8x－4y＋18＝0，

满足方程x2＋y2－8x－4y＋18＝0的点有无数多个．

7.已知P1（2，－1），P2（0,5）且点P在P1P2的延长线上，|P1P|＝2|PP2|，则P的坐标为（　　）

A．（2，－7）

B．（，3）

C．（，3）

D．（－2,11）

【答案】D

【解析】设P（x，y），由题意P2为PP1的中点，

∵P1（2，－1），P2（0,5），

∴0＝x＋2,10＝y－1，

∴x＝－2，y＝11，

∴P（－2,11）．

故选D.

8.已知△ABC的顶点A（2,3），B（－1,0），C（2,0），则△ABC的周长是（　　）

A．2

B．3＋2

C．6＋3

D．6＋2

【答案】C

【解析】由于|AB|＝＝3，

|BC|＝3，|AC|＝＝3.

所以△ABC的周长是6＋3.

9.直线y＝kx＋b上的两点的横坐标分别为x1，x2，则两点间的距离为________；直线y＝kx＋b上的两点的纵坐标分别为y1，y2，则两点间的距离为________.

【答案】|x1－x2||y1－y2|

【解析】（1）分别把x1，x2代入到y＝kx＋b中得：y1＝kx1＋b，y2＝kx2＋b，

所以两点间的距离＝＝＝|x1－x2|.

（2）分别把y1，y2代入到y＝kx＋b中得：x1＝，x2＝，

所以两点间的距离＝＝＝|y1－y2|.

10.如图所示，将平面直角坐标系中的纵轴绕点O顺时针旋转30°（坐标轴的长度单位不变）构成一个斜坐标系xOy，平面上任一点P关于斜坐标系的坐标（x，y）用如下方式定义：过P作两坐标轴的平行线分别交坐标轴Ox于点M，Oy于点N，则M在Ox轴上表示的数为x，N在Oy轴上表示的数为y.在斜坐标系中，若A，B两点的坐标分别为（1,2），（－2,3），则线段AB的长为________________．

【答案】

【解析】如图，

∵在斜坐标系中，A（1,2），

∴过A作AE⊥x轴，

∵OF＝1，AF＝2，∠EAF＝30°，

∴EF＝1，AE＝，

∴在平面直角坐标系中，A（2，）．

∵在斜坐标系中，B（－2,3），

∴过B作BQ⊥x轴，

∵OP＝2，PB＝3，∠PBQ＝30°，

∴PQ＝，BQ＝，

∴在平面直角坐标系中，B（－，）．

∴线段AB的长|AB|＝＝.

11.已知点A（－2，－2），B（－2,6），C（4，－2），点P（x，y）满足方程x2＋y2＝4，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2的最值．

【答案】设P（x，y），

则x2＋y2＝4.

|PA|2＋|PB|2＋|PC|2

＝（x＋2）2＋（y＋2）2＋（x＋2）2＋（y－6）2＋（x－4）2＋（y＋2）2

＝3（x2＋y2）－4y＋68＝80－4y.

∵－2≤y≤2，

∴72≤|PA|2＋|PB|2＋|PC|2≤88.

即|PA|2＋|PB|2＋|PC|2的最大值为88，

最小值为72.

12.已知点A（－1,2），B（1,3），在直线y＝2x上求一点P，使|PA|2＋|PB|2取得最小值，并写出点P的坐标．

【答案】设点P的坐标为（x，y），由于点P在直线y＝2x上，所以y＝2x.

|PA|＝＝

＝＝，

|PB|＝＝

＝＝，

所以|PA|2＋|PB|2＝5x2－6x＋5＋5x2－14x＋10

＝10x2－20x＋15＝10（x－1）2＋5，

因此，当x＝1时，|PA|2＋|PB|2的最小值为5，

y＝2×1＝2，

所以所求点P的坐标为（1,2）．

13.如图，已知四边形OABC是矩形，O是坐标原点，O、A、B、C按逆时针排列，A的坐标是（，1），|AB|＝4.

（1）求点C的坐标；

（2）求BC所在直线的方程．

【答案】（1）因为四边形OABC是矩形，OA所在直线的斜率为kOA＝，

所以OC的斜率为－，OC所在直线方程为y＝－x，

设点C的坐标为（x，－x），

因为|OC|＝|AB|＝4，|OC|＝＝2＝4，

解得x＝2（舍）或x＝－2.

所以所求C的坐标为（－2,2）．

（2）因为OA∥BC，所以BC所在直线的斜率为，

又C（－2,2），

所以BC所在直线的方程为y－2＝（x＋2）．

即BC所在直线的方程为x－y＋8＝0.

考点二 坐标法的应用

14.在平面直角坐标系中，动点P到两条直线3x－y＝0与x＋3y＝0的距离之和等于4，则P到原点距离的最小值为________．

【答案】2

【解析】∵3x－y＝0与x＋3y＝0互相垂直，且交点为原点，

∴设P到直线的距离分别为a，b，则a≥0，b≥0，

则a＋b＝4，即b＝4－a≥0，得0≤a≤4，

由勾股定理可知|OP|＝＝＝＝，

∵0≤a≤4，

∴当a＝2时，OP距离最小值为|OP|＝2.

15.已知三角形的三个顶点是A（0,0），B（6,0），C（2,2）．

（1）求BC边所在直线的方程；

（2）设三角形两边AB，AC的中点分别为D，E，试用坐标法证明：DE∥BC且|DE|＝|BC|.

【答案】（1）因为B（6,0），C（2,2）．

所以直线BC的方程为y＝（x－6），

化简得x＋2y－6＝0.

（2）由A（0,0），B（6,0），C（2,2），得到D（3,0），E（1,1），

得|DE|＝|BC|.

kBC＝＝kDE＝＝，BC，DE不重合．

所以DE∥BC.

16.在△ABC中，D是BC边上任意一点（D与B，C不重合），且|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|.求证：△ABC为等腰三角形．

【答案】作AO⊥BC，垂足为O，以BC所在直线为x轴，以OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系（如图所示）．

设A（0，a），B（b,0），C（c,0），D（d,0）．

因为|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|，所以，由距离公式可得b2＋a2＝d2＋a2＋（d－b）（c－d），

即－（d－b）（b＋d）＝（d－b）（c－d）．

又d－b≠0，

故－b－d＝c－d，

即－b＝c.

所以|AB|＝|AC|，即△ABC为等腰三角形．

17.如图，△ABD和△BCE是在直线AC同一侧的两个等边三角形，

求证：|AE|＝|CD|.

【答案】如图，以B为原点，以直线AC为x轴建立平面直角坐标系，

设△ABD和△BCE的边长分别为a，c，

则有A(－a,0)，C(c,0)，D(，)，E(c)．

于是|AE|＝

＝＝，

|CD|＝

＝

＝，

所以|AE|＝|CD|.

18.若a，b，c，d都是实数，求证：＋≥.

【答案】设点A(a，c)，B(－b，－d)，O(0,0)．

∴＝|AO|，＝|BO|，

＝|AB|，

∵|AO|＋|BO|≥|AB|，

∴＋≥.

19.已知正△ABC的边长为a，在平面上求点P，使|PA|2＋|PB|2＋|PC|2最小，并求出最小值．

【答案】以正三角形的一边所在直线为x轴，

此边中线所在直线为y轴建立坐标系，

如图所示，则A，B，C，

设P(x，y)，则有|PA|2＋|PB|2＋|PC|2

＝++

＝3x2＋3y2－ay＋a2

＝3x2＋3＋a2.

∴当P坐标为(0,)时，|PA|2＋|PB|2＋|PC|2有最小值a2.