专题4.4 随机变量的数字特征（A卷基础篇）【解析版】-2020-2021学年高中数学新教材（人教B）同步单元双基双测AB卷

专题4.4随机变量的数字特征（A卷基础篇）

参考答案与试题解析

第Ⅰ卷（选择题）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（2020·湖北张湾·车城高中期中（理））已知随机变量X的分布列为：

若，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

由题意，解得．

故选：A．

2．（2020·江苏泰州·期末）抛掷一枚质地均匀的正方体骰子4次，设表示向上一面出现6点的次数，则的数学期望的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

抛掷一枚质地均匀的正方体骰子1次，向上一面出现6点的概率为

故选：D

3．（2020·江苏镇江·期末）若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

，因此.

故选：C.

4．（2020·江苏省前黄高级中学期中）甲、乙两个运动员射击命中环数ξ、η的分布列如下表．表中射击比较稳定的运动员是(　　)

A．甲 B．乙

C．一样 D．无法比较

【答案】B

【解析】

E(ξ)＝9.2，E(η)＝9.2，所以E(η)＝E(ξ)，D(ξ)＝0.76，D(η)＝0.56<D(ξ)，所以乙稳定．

5．（2020·吉林扶余市第一中学期中（理））若随机变量的概率分布列如下表：

则等于（    ）

A．2031 B．12 C．3.04 D．15.2

【答案】A

【解析】

据题意，得，

所以.

故选：A.

6．（2020·河北邢台·高二期末）已知随机变量满足，且为正数，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由方差的性质可得，，

因为，所以，

又a为正数，所以．

故选：C.

7．（2020·尤溪县第五中学高一期末）若一组数据，，，…，的平均数为2，方差为3，则，，，…，的平均数和方差分别是（    ）

A．9，11 B．4，11 C．9，12 D．4，17

【答案】C

【解析】由题，则，.

故选：C

8．（2020·山东高三其他）随机变量ξ的分布列为：

其中，下列说法不正确的是(    )

A． B．

C．D(ξ)随b的增大而减小 D．D(ξ)有最大值

【答案】C

【解析】

根据分布列的性质得，即，故正确；

根据期望公式得，故正确；

根据方差公式得，

因为，所以时，取得最大值，故不正确，正确；

故选：C

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.

9．（2020·山东济宁·期末）已知随机变量的分布列如下，且，则下列说法正确的是（    ）

A．， B．，

C． D．

【答案】BC

【解析】

依题意，

所以，结合，解得，所以B选项正确.

，所以C选项正确.

故选：BC

10．（2020·永安市第三中学高二期中）设离散型随机变量的分布列为

若离散型随机变量满足，则下列结果正确的有（    ）

A． B．，

C．， D．，

【答案】CD

【解析】

由概率的性质可得，解得，

，

，

，

,

故选：CD

11．（2020·江苏海陵·泰州中学高二月考）若随机变量X服从两点分布，其中，E（X）、D（X）分别为随机变量X均值与方差，则下列结论正确的是（    ）

A．P（X＝1）＝E（X） B．E（3X+2）＝4

C．D（3X+2）＝4 D．

【答案】AB

【解析】

随机变量X服从两点分布，其中，

∴P（X＝1），

E（X），

D（X）＝（0）2（1）2，

在A中，P（X＝1）＝E（X），故A正确；

在B中，E（3X+2）＝3E（X）+2＝34，故B正确；

在C中，D（3X+2）＝9D（X）＝92，故C错误；

在D中，D（X），故D错误.

故选：AB.

12．（2020·山东泰安·期末）设离散型随机变量的分布列为

若离散型随机变量满足，则下列结果正确的有（）

A． B．，

C．， D．，

【答案】ACD

【解析】

【分析】

先计算的值，然后考虑、的值，最后再计算、的值.

【详解】

因为，所以，故A正确；

又，

，故C正确；因为，所以，，故D正确.

故选ACD.

第Ⅱ卷（非选择题）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．（2020·四川泸州·期末（理））已知随机变量，若，，则的值为______.

【答案】

【解析】

由题可知：

所以为

故答案为：

14．（2020·湖北黄州·黄冈中学其他（理））一批产品的二等品率为，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取次，表示抽到的二等品件数，则=________.

【答案】

【解析】

由于是又放回的抽样，所以抽到二等品的件数符合二项分布，即，

由二项分布的方差公式可得

故答案为：.

15．（2020·吴起高级中学月考（理））某一智力游戏玩一次所得的积分是一个随机变量，其概率分布如表，数学期望.则__________.

【答案】

【解析】

根据题意可得方程组：，解得，从而.

16．（2019·浙江诸暨中学高三其他）已知随机变量的的分布列如图所示，则________；若，则________.

【答案】       

【解析】

由题意可知：，，

解得，，

所以，

．

故答案为：；．

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（2020·大连市普兰店区第一中学高二月考）某人投弹击中目标的概率为.

（1）求投弹一次，击中次数的均值和方差；

（2）求重复投弹次，击中次数的均值和方差.

【答案】（1）；（2），

【解析】

（1）由题意可知服从两点分布

因为，，

所以，.

所以，

（2）由题意可知击中次数服从二项分布，即

所以，，

.

18．袋中有同样的球个，其中个红色，个黄色，现从中随机且不返回地摸球，每次摸个，当两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，记随机变量为此时已摸球的次数，求：.

(1)随机变量的概率分布列；

(2)随机变量的数学期望与方差.

【答案】(1)见解析；（2），.

【解析】

 (1)随机变量可取的值为．

；

得随机变量的概率分布列为：

 (2)随机变量的数学期望为：；

随机变量的方差为：

19．（2019·全国课时练习）甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ与η,且ξ,η的分布列为

(1)求a,b的值.

(2)计算ξ,η的均值与方差,并以此分析甲、乙的技术状况.

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】

 (1)由离散型随机变量的分布列的性质可知a+0.1+0.6=1,

所以a=0.3.

同理0.3+b+0.3=1,b=0.4.

(2)Eξ=1×0.3+2×0.1+3×0.6=2.3,

Eη=1×0.3+2×0.4+3×0.3=2,

Dξ=(1-2.3)2×0.3+(2-2.3)2×0.1+(3-2.3)2×0.6=0.81,

Dη=(1-2)2×0.3+(2-2)2×0.4+(3-2)2×0.3=0.6.

由于Eξ>Eη,说明在一次射击中,甲的平均得分比乙高,但Dξ>Dη,说明甲得分的稳定性不如乙,因此甲、乙两人技术水平都不够全面,各有优势与劣势.

20．（2020·江苏高三专题练习）某公司春节联欢会中设一抽奖活动：在一个不透明的口袋中装入外形一样号码分别为1，2，3，…，10的十个小球．活动者一次从中摸出三个小球，三球号码有且仅有两个连号的为三等奖；奖金30元，三球号码都连号为二等奖，奖金60元；三球号码分别为1，5，10为一等奖，奖金240元；其余情况无奖金．

（1）员工甲抽奖一次所得奖金的分布列与期望；

（2）员工乙幸运地先后获得四次抽奖机会，他得奖次数的方差是多少？

【答案】（1）分布列如图，；（2）

【解析】

（1）甲抽奖一次，基本事件的总数为，奖金的所有可能取值为0,30,60,240.

一等奖的情况只有一种，所有奖金为120元的概率为，

三球连号的情况有1,2,3；2,3,4；……8,9,10共8种，得60元的概率为，

仅有两球连号中，对应1,2与9,10的各有7种：对应2,3；3,4；……8,9各有6种.

得奖金30元的概率为，

得奖金0元的概率为，

的分布列为：

(2)由(1)可得乙一次抽奖中中奖的概率为

四次抽奖是相互独立的，所以中奖次数

故.

21．（2020·宁夏利通·吴忠中学高二期末（理））甲，乙两人进行定点投篮活动，已知他们每投篮一次投中的概率分别是和，每次投篮相互独立互不影响.

（1）甲乙各投篮一次，记“至少有一人投中”为事件A，求事件A发生的概率；

（2）甲乙各投篮一次，记两人投中次数的和为X，求随机变量X的分布列及数学期望；

（3）甲投篮5次，投中次数为，求的概率和随机变量ξ的方差.

【答案】（1）；（2）答案见解析，；（3），.

【解析】

（1）设甲投中为事件B，乙投中为事件C，

则，，

甲乙各投篮一次，记“至少有一人投中”为事件A，

则事件A发生的概率.

（2）随机变量X的可能取值为0，1，2，

，

，

，

∴X的分布列为：

.

（3）随机变量，

，

.

22．（2016·新疆哈密·高二期末（理））本小题满分12分）根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X（单位：mm）对工期的影响如下表：

历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9. 求：

（Ⅰ）工期延误天数的均值与方差；

（Ⅱ）在降水量X至少是的条件下，工期延误不超过6天的概率.

【答案】（Ⅰ）的均值为3，方差为.

（Ⅱ）.

【解析】本题考察条件概率、离散型条件概率分布列的期望与方差。

（Ⅰ）由已知条件和概率的加法公式有：

，

.

.

所以的分布列为：

于是，；

.

故工期延误天数的均值为3，方差为.

（Ⅱ）由概率的加法公式，

又.              

由条件概率，得.

故在降水量X至少是mm的条件下，工期延误不超过6天的概率是.