专题4.5 正态分布（A卷基础篇）【解析版】-2020-2021学年高中数学新教材（人教B）同步单元双基双测AB卷

专题4.5正态分布（A卷基础篇）

参考答案与试题解析

第Ⅰ卷（选择题）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（2020·陕西旬邑·月考（理））已知随机变量服从正态分布，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

由于随机变量服从正态分布，则，

因此，.

故选：B.

2．（2020·陕西咸阳·期末（理））已知随机变量服从正态分布，，（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

，所以，.

故选：B.

3．（2020·吉林扶余市第一中学期中（理））已知随机变量服从正态分布，若，则实数的值是（    ）

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】B

【解析】

据题意，正态分布，

所以，所以.

故选：B

4．（2020·江苏淮阴中学期末）已知随机变量，，那么的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

已知随机变量，，则，

根据正态密度曲线的对称性得出.

故选：B.

5．（2020·江苏泰州·期末）现有1000名学生参加数学测试，其中测试成绩近似服从正态分布试卷满分150分，统计结果显示测试成绩优秀（高于135分）的人数占总人数的，则此次测试成绩在85分到110分之间的人数约为（    ）

A．200 B．300 C．400 D．500

【答案】B

【解析】

,

，

所以此次测试成绩在85分到110分之间的人数约为人.

故选：B

6．（2020·湖南娄底·高二期末）若随机变量服从正态分布，则（    ）

附：，．

A．0．3413 B．0．2718 C．0．1587 D．0．0228

【答案】C

【解析】

，

故选：C

7．（2020·广东清远·期末）已知随机变量服从正态分布N（10，0.2），且P（>3a-2）=P（<2a+7），则a=（    ）

A．－1 B．0 C．1 D．3

【答案】D

【解析】

因为随机变量服从正态分布N（10，0.2），且P（>3a-2）=P（<2a+7），

所以，

解得，

故选：D

8．（2020·河北邢台·高二期末）已知，若，则（    ）

A． B．0 C．1 D．2

【答案】C

【解析】

因为，所以对称轴方程为，

因为，

所以，解得，

故选：C.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.

9．（2020·海南枫叶国际学校期中）已知三个正态分布密度函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【解析】

根据正态曲线关于x＝μ对称，且μ越大图象越靠近右边，

所以μ1＜μ2＝μ3，BC错误；

又σ越小数据越集中，图象越瘦长，

所以σ1＝σ2＜σ3，AD正确．

故选：AD．

10．（2020·江苏无锡·高二期末）已知三个正态分布密度函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【解析】

正态密度曲线关于直线对称，且越大图象越靠近右边，越小图象越瘦长.

因此，，.

故选：BD.

11．（2020·福建高二期末）下图是正态分布的正态曲线图，可以表示图中阴影部分面积的式子有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【解析】

因为正态分布曲线的对称轴为，，

在y轴左右两侧面积各占，，故A、C、D正确．

故选：ACD

12．（2020·江苏常州·高二期末）已知在某市的一次学情检测中，学生的数学成绩X服从正态分布N(105，100)，其中90分为及格线，120分为优秀线，下列说法正确的是（    ）

附：随机变量服从正态分布N(，)，则P()＝0.6826，P()＝0.9544，P()＝0.9974.

A．该市学生数学成绩的期望为105

B．该市学生数学成绩的标准差为100

C．该市学生数学成绩及格率超过0.99

D．该市学生数学成绩不及格的人数和优秀的人数大致相等

【答案】AD

【解析】

依题意，.

期望为105，选项A正确；方差为100，标准差为10，选项B错误；

该市85分以上占，故C错误；

由于，根据对称性可判断选项D正确.

故选：AD

第Ⅱ卷（非选择题）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．（2020·山东日照·期末）若随机变量，且，则_______．

【答案】

【解析】

由随机变量，且，根据正态分布的对称性得且正态分布的概率和为1，得.

故答案为0.15

14．（2020·河南南阳·高二期末（理））设随机变量X服从正态分布N(2,9)若P(X＞c＋1)＝P(X＜c－1)，则c等于________．

【答案】2

【解析】

∵μ＝2，由正态分布的定义知其图象关于直线x＝2对称，于是＝2，∴c＝2.

15．（2020·营口市第二高级中学高二期末）设随机变量，且，则实数的值为_______.

【答案】

【解析】

根据题意有

故填9

16．（2020·福建三明·期末）已知某批零件的长度误差服从正态分布，其密度函数的曲线如图所示，则______；从中随机取一件，其长度误差落在内的概率为______.

（附：若随机变量服从正态分布，则，，.）

【答案】3    0.1359   

【解析】

由图中密度函数解析式，可得；

又由图象可知，则长度误差落在内的概率为：

．

故答案为：3；0.1359．

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（2018·海林市朝鲜族中学高二课时练习）已知随机变量X~N(3,1),且P(2≤X≤4)=0.682 6,求P(X>4)的值.

【答案】0.1587

【解析】

∵ 随机变量X~N(3,1),∴ 正态曲线关于直线x=3对称,

由P(2≤X≤4)=0.682 6,得P(X>4)=×[1-P(2≤X≤4)]=×(1-0.682 6)=0.1587.

故答案为：0.1587

18．（2019·全国高二课时练习）一建筑工地所需要的钢筋的长度X~N(8,22),质检员在检查一大批钢筋的质量时,发现有的钢筋长度小于2米,这时,他是让钢筋工继续用切割机截钢筋呢,还是停下来检修切割机?

【答案】见解析

【解析】

由于,

根据正态分布的性质可知,

正态分布在之外的取值概率小于,

长度小于2米的钢筋不在(2,14)内,据此质检员应让钢筋工马上停止切割,并对切割机进行检修.

19．（2019·全国高二课时练习）生产工艺工程中产品的尺寸误差X(单位:mm)~N(0,1.52),如果产品的尺寸与规定的尺寸偏差的绝对值不超过1.5 mm为合格品,求:

(1)X的密度函数;

(2)生产的5件产品的合格率不小于80%的概率.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

 (1)由题意知

即,

故密度函数

(2)设Y表示5件产品中的合格品数,

每件产品是合格品的概率为,

而,合格率不小于,即,

故

20．（2016·四川资阳·高二期末（理））某市高二学生进行了体能测试，经分析，他们的体能成绩X服从正态分布N（μ，σ2），已知P（X≤75）=0.5，P（X≥95）=0.1

（Ⅰ）求P（75＜X＜95）；

（Ⅱ）现从该市高二学生中随机抽取3位同学，记抽到的3位同学中体能测试成绩不超过75分的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

【答案】见解析

【解析】解：（Ⅰ）∵体能成绩X服从正态分布N（μ，σ2），P（X≤75）=0.5，P（X≥95）=0.1，

∴P（75＜X＜95）=1﹣P（X≤75）﹣P（X≥95）

=1﹣0.5﹣0.1=0.4．

（Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，3，

P（ξ=0）==，

P（ξ=1）=，

P（ξ=2）==，

P（ξ=3）==，

∴ξ的分布列为：

E（ξ）==．

21．（2020·山西迎泽·太原五中高三二模（理））《山东省高考改革试点方案》规定：从2017年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；2020年开始，高考总成绩由语数外3门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成．将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为、、、、、、、共8个等级．参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为、、、、、、、．选考科目成绩计入考生总成绩时，将至等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到、、、、、、、八个分数区间，得到考生的等级成绩．某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布．

（1）求物理原始成绩在区间的人数；

（2）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3人，记表示这3人中等级成绩在区间的人数，求的分布列和数学期望．

（附：若随机变量，则，，）

【答案】（Ⅰ）1636人；（Ⅱ）见解析．

【解析】

（Ⅰ）因为物理原始成绩，

所以

．

所以物理原始成绩在（47，86）的人数为（人）．

（Ⅱ）由题意得，随机抽取1人，其成绩在区间[61,80]内的概率为．

所以随机抽取三人，则的所有可能取值为0,1,2,3，且，

所以 ，

，

，

 ．

所以的分布列为

所以数学期望．

22．（2020·安徽期末（理））2020年春节期间，湖北武汉爆发了新型冠状病毒肺炎，国家卫健委高级别专家组组长钟南山建议大家出门时佩戴口罩，一时间各种品牌的口罩蜂拥而出，为了保障人民群众生命安全和身体健康，C市某质检部门从药店随机抽取了100包某种品牌的口罩，检测其质量指标．

（1）求所抽取的100包口罩质量指标值的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

（2）①已知口罩的质量指标值服从正态分布，利用该正态分布，求Z落在内的概率；

②将频率视为概率，若某人从某药店购买了3包这种品牌的口罩，记这3包口罩中质量指标值位于内的包数为X，求X的分布列和方差．

附：①计算得所抽查的这100包口罩的质量指标的标准差为\；

②若，则，．

【答案】（1）26.5；（2）①0.4772；②分布列见解析，方差为．

【解析】

（1）所抽取的100包口罩质量指标值的样本平均数为

．

（2）①∵服从正态分布，且，，

∴落在内的概率是0.4772．

②根据题意得，

，

，

．

∴X的分布列为：

．