专题4.2 随机变量与离散型随机变量的分布列（A卷基础篇）（解析版）-2020-2021学年高中数学新教材（人教B）同步单元双基双测AB卷

专题4.2随机变量与离散型随机变量的分布列（A卷基础篇）

参考答案与试题解析

第Ⅰ卷（选择题）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（2020·全国高二）同时抛掷3个硬币，正面向上的个数是随机变量，这个随机变量的所有可能取值为（    ）.

A．3 B．4 C．1、2、3 D．0、1、2、3

【答案】D

【解析】

同时抛掷3个硬币，正面向上的个数可能取值为0、1、2、3

故选：

2．（2020·西夏�宁夏大学附属中学高二期末（理））随机变量的所有等可能取值为1,2,…,n，若P(<4)=0.3,则n=（ ）

A．3 B．4 C．10 D．不确定

【答案】C

【解析】

是等可能地取值,

.

.

故选：C.

3．（2020·南京市临江高级中学高二期中）下表是离散型随机变量X的分布列，则常数的值是（  ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

，解得.

故选：C

4．（2020·山东菏泽�高二期中）设随机变量ξ的分布列为P(ξ=i)=a,i=1,2,3,则a的值为

A．1 B．

C． D．

【答案】C

【解析】

∵设随机变量ξ的分布列为P（ξ＝i）＝a•（）i，i＝1，2，3，

∴a＝1，

解得a＝．

故选C．

5．（2020·天津市南开中学滨海生态城学校高二期中）已知8件产品中有2件次品，从中任取3件，取到次品的件数为随机变量，用ξ表示，那么ξ的取值为（    ）

A．0，1 B．1，2 C．0，1，2 D．0，1，2，3

【答案】C

【解析】

由题意，从8件产品中有2件次品，从中任取3件，取到次品的件数为随机变量，

可得随机变量ξ的取值可以是0，1，2．

故选：C．

6．（2020·永安市第三中学高二期中）设随机变量服从两点分布，若，则成功概率（    ）

A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8

【答案】C

【解析】

随机变量服从两点分布，，

根据两点分布概率性质可知：，

解得，

故选：C.

7．（2020·河南中原�郑州一中高二期中（理））小明通过某次考试的概率是未通过的5倍，令随机变量，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

因为通过某次考试的概率是未通过的5倍，

所以，

解得.

故选：C

8．（2020·山西应县一中高二期中（理））设随机变量的概率分布列为则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

故选D

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.

9．（2020·三亚华侨学校高二月考）下列关于随机变量及分布的说法正确的是（    ）

A．抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量

B．某人射击时命中的概率为0.5，此人射击三次命中的次数服从两点分布

C．离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1

D．离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的

【答案】AD

【解析】

对于选项A：抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数可能是0，也可能是1，故是随机变量，故选项A正确；

对于选项B：某人射击时命中的概率为0.5，此人射击三次是三次独立重复实验，命中的次数服从二项分布而不是两点分布，故选项B错误；

对于选项C：离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和一定等于1，故选项C错误；

对于选项D：由互斥事件的定义可知选项D正确．

故选：AD

10．（2020·大名县第一中学高二月考）如果是一个随机变量，则下列命题中的真命题有(    )

A．取每一个可能值的概率都是非负数 B．取所有可能值的概率之和是1

C．的取值与自然数一一对应 D．的取值是实数

【答案】ABD

【解析】

根据概率性质可得取每一个可能值的概率都是非负数，所以A正确；

取所有可能值的概率之和是1，所以B正确；

的取值是实数，不一定是自然数，所以C错误，D正确.

故选：ABD

11．（2019·东台市安丰中学高二期中）设随机变量的分布列为，则 (    )

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【解析】

随机变量的分布列为,

， 解得，

故A正确；

，故B正确；

，故C正确；

，故D错误.

故答案为：A、B、C.

12．（2019·山东潍坊�高三月考）某市有，，，四个景点，一位游客来该市游览，已知该游客游览的概率为，游览，和的概率都是，且该游客是否游览这四个景点相互独立.用随机变量表示该游客游览的景点的个数，下列正确的（    ）

A．游客至多游览一个景点的概率 B．

C． D．

【答案】ABD

【解析】

记该游客游览个景点为事件，，

则，

，

所以游客至多游览一个景点的概率为，故A正确；

随机变量的可能取值为

，

，

，故B正确；

，

，故C错误；

数学期望为：，故D正确，

故选：ABD.

第Ⅱ卷（非选择题）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．射击运动员射击10次，至少8次中靶，则该随机事件的条件为__________，结果为__________.

【答案】射击运动员射击10次    中靶8次，中靶9次，中靶10次   

【解析】

射击运动员射击10次，至少8次中靶，

则该随机事件的条件为：射击运动员射击10次；

结果为：中靶8次，中靶9次，中靶10次.

故答案为：射击运动员射击10次；中靶8次，中靶9次，中靶10次.

14．（2020·全国高二）下列随机变量中不是离散型随机变量的是__________（填序号）．

①某宾馆每天入住的旅客数量是；

②某水文站观测到一天中珠江的水位；

③西部影视城一日接待游客的数量；

④阅海大桥一天经过的车辆数是.

【答案】②

【解析】

①③④中的随机变量的所有取值，我们都可以按照一定的次序一一列出，因此它们是离散型随机变量；

②中随机变量可以取某一区间内的一切值，但无法按一定次序一一列出，故不是离散型随机变量．

故答案为：②

15．（2020·汪清县汪清第六中学高二月考（理））已知随机变量ξ的分布列如下表，则x＝________.

【答案】

【解析】

由随机变量概率分布列的性质可知：，且0≤x≤1，

解得x＝

故答案为

16．（2020·三亚华侨学校高二月考）设离散型随机变量X服从两点分布，若，则__________．

【答案】

【解析】

因为离散型随机变量X服从两点分布，且

所以

故答案为：

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（2019·全国高二课时练习）小王钱夹中只剩下20元、10元、5元和1元的人民币各一张.他决定随机抽出两张,用来买晚餐,用X表示这两张金额之和.写出X的可能取值,并说明所取值表示的随机试验结果.

【答案】

【解析】

X的可能取值为6,11,15,21,25,30.

其中,X=6表示抽到的是1元和5元;

X=11表示抽到的是1元和10元;

X=15表示抽到的是5元和10元;

X=21表示抽到的是1元和20元;

X=25表示抽到的是5元和20元;

X=30表示抽到的是10元和20元.

18．（2017·湖北省松滋市第一中学高二课时练习）指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由．

(1)从10张已编好号码的卡片(从1号到10号)中任取一张，被取出的卡片的号数；

(2)某林场树木最高达30 m，则此林场中树木的高度．

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【解析】

 (1)只要取出一张，便有一个号码，因此被取出的卡片号数可以一一列出，符合离散型随机变量的定义．

(2)林场树木的高度是一个随机变量，它可以取(0,30]内的一切值，无法一一列举，不是离散型随机变量．

点睛：离散变量是指其数值只能用自然数或整数单位计算的则为离散变量.例如,企业个数,职工人数,设备台数等,只能按计量单位数计数,这种变量的数值一般用计数方法取得.

反之,在一定区间内可以任意取值的变量叫连续变量,其数值是连续不断的,相邻两个数值可作无限分割,即可取无限个数值.例如,生产零件的规格尺寸,人体测量的身高,体重,胸围等为连续变量,其数值只能用测量或计量的方法取得.

19．（2017·湖北省松滋市第一中学高二课时练习）某一射手射击所得环数X的分布列如下：

(1)求m的值；

(2)求此射手“射击一次命中的环数≥7”的概率．

【答案】(1) 0.28. (2)0.88.

【解析】

分析：（1）根据概率和为1得m的值；（2）射手“射击一次命中的环数≥7”指射击一次命中的环数为7，8，9，10概率的和，根据加法得结果

详解： (1)由分布列的性质得

m＝1－(0.02＋0.04＋0.06＋0.09＋0.29＋0.22)＝0.28.

(2)P(射击一次命中的环数≥7)

＝0.09＋0.28＋0.29＋0.22＝0.88.

20．（2019·山东省日照实验高级中学高二月考）设离散型随机变量的分布列，.

（1）求常数的值；

（2）求

（3）求

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）由离散型随机变量的性质，得

，解得.

（2）由（1），得，.

∴

（3）∵，∴，

∴

.

21．国内某汽车品牌一个月内被消费者投诉的次数用表示，据统计，随机变量的概率分布如下：

（1）求的值；

（2）假设一月与二月被消费者投诉的次数互不影响，求该汽车品牌在这两个月内被消费者投诉次的概率.

【答案】（1）a=0.2，（2）0.17.

【解析】

 (1)由概率分布的性质有0.1+0.3+2a+a=1，解答a=0.2，

  所以X的概率分布为

(2)设事件A表示“两个月内共被投诉2次”，事件表示“两个月内有一个月被投诉2次，另外一个月被投诉0次”，事件表示“两个月内每月均被投诉1次”

则由事件的独立性得 ，

 所以.

故该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率为0.17.

22.（2020·南岗�黑龙江实验中学高二期中（理））设离散型随机变量的分布列为

求：（1）的分布列；

（2）求的值.

【答案】（1）见解析；（2）0.7

【解析】

由分布列的性质知：，解得

（1）由题意可知

，，

，

所以的分布列为：

（2）