专题4.6《随机变量》单元测试卷（A卷基础篇）-2020-2021学年高中数学新教材（人教B）同步单元双基双测AB卷【解析版】

专题4.6《随机变量》单元测试卷（A卷基础篇）

参考答案与试题解析

第Ⅰ卷（选择题）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（2020·保定容大中学高二月考）袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个，则可以作为随机变量的是（    ）

A．至少取到1个白球 B．取到白球的个数

C．至多取到1个白球 D．取到的球的个数

【答案】B

【解析】

根据离散型随机变量的定义可得选项B是随机变量，其可以一一列出，

其中随机变量X的取值0,1,2.

故选：B.

2．（2020·陕西省商丹高新学校高二月考（文））已知某种产品的合格率是，合格品中的一级品率是，则这种产品的一级品率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

一级品率是在合格品条件下发生，

因此，由题意可得，这种产品的一级品率为.

故选：B.

3．（2020·北京朝阳·期末）某射手每次射击击中目标的概率都是，则这名射手在3次射击中恰有2次击中目标的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

这名射手在3次射击中有2次击中目标，有1次没有击中目标，利用次独立重复实验恰好发生次的概率公式，所以概率为：，

故选：D

4．（2020·北京朝阳·期末）若随机变量X的分布列为

则X的数学期望是（    ）

A． B． C．1 D．

【答案】C

【解析】

由题意得

，

故选：C

5．（2020·福建龙海二中期末）若随机变量服从二项分布，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

随机变量服从二项分布

故选：D.

6．（2020·北京西城·期末）某批数量很大的产品的次品率为，从中任意取出4件，则其中恰好含有3件次品的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

由题意，从这批产品中任取4件，所得次品数记作，

则服从二项分布，即，

所以从中任意取出4件，则其中恰好含有3件次品的概率是.

故选：C.

7．（2020·重庆高二期末）若随机变量服从正态分布，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

因为随机变量服从正态分布，所以，

 根据正态分布图象的对称性可知，图象关于对称，所以，

故选：A.

8．（2020·广西桂林·高二期末（理））已知随机变量的分布列是

则（    ）

A． B． C．1 D．

【答案】A

【解析】

根据离散型随机变量的分布列的概率和为得：，

所以.

故选：A.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.

9．（2020·山东菏泽·高二期末）如果X是一个离散型随机变量，那么下列命题中是真命题的为（    ）

A．X取每一个可能值的概率是正数

B．X取所有可能值的概率和为1

C．X取某两个可能值的概率等于取其中每个值的概率之和

D．X在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和

【答案】BC

【解析】

对于A选项，X取每一个可能值的概率是非负数，故A选项错误.

对于B选项，X取所有可能值的概率和为1，故B选项正确.

对于C选项，X取某两个可能值的概率等于取其中每个值的概率之和，故C选项正确.

对于D选项，X在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和，故D选项错误.

故选：BC

10．（2020·江苏沛县·月考）下图是正态分布的正态曲线图，可以表示图中阴影部分面积的式子有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【解析】

因为正态分布曲线的对称轴为，，

在y轴左右两侧面积各占，，故A、C、D正确．

故选：ACD

11．（2020·福建湖里·厦门双十中学高二期中）已知三个正态分布密度函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【解析】

根据正态曲线关于x＝μ对称，且μ越大图象越靠近右边，

所以μ1＜μ2＝μ3，BC错误；

又σ越小数据越集中，图象越瘦长，

所以σ1＝σ2＜σ3，AD正确．

故选：AD．

12．（2020·永安市第三中学期中）设离散型随机变量的分布列为

若离散型随机变量满足，则下列结果正确的有（    ）

A． B．，

C．， D．，

【答案】CD

【解析】

由概率的性质可得，解得，

，

，

，

,

故选：CD

第Ⅱ卷（非选择题）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．（2019·黄梅国际育才高级中学高二月考）一批产品的二等品率为，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取次，表示抽到的二等品件数，则____________．

【答案】1.96

【解析】

由于是有放回的抽样，所以是二项分布，,填1.96

14．（2019·奈曼旗实验中学期中（理））设的分布列如表，则等于____________.

【答案】

【解析】

由离散型随机变量的分布列知：解得.

故答案为：.

15．（2020·北京市第十三中学高三开学考试）同时抛掷两枚相同的均匀硬币，随机变量表示结果中有正面向上，表示结果中没有正面向上，则________.

【答案】

【解析】

由题意知，结果中没有正面向上的概率为，此时，

而时对应概率为，

．

故答案为：

16．（2020·浙江高三其他）随机变量分布列如下表，则______；______.

【答案】；    1；   

【解析】

，∴，

∴.

故答案为：；1.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（2019·全国高二课时练习）一建筑工地所需要的钢筋的长度X~N(8,22),质检员在检查一大批钢筋的质量时,发现有的钢筋长度小于2米,这时,他是让钢筋工继续用切割机截钢筋呢,还是停下来检修切割机?

【答案】见解析

【解析】

由于,

根据正态分布的性质可知,

正态分布在之外的取值概率小于,

长度小于2米的钢筋不在(2,14)内,据此质检员应让钢筋工马上停止切割,并对切割机进行检修.

18．（2019·全国高二课时练习）生产工艺工程中产品的尺寸误差X(单位:mm)~N(0,1.52),如果产品的尺寸与规定的尺寸偏差的绝对值不超过1.5 mm为合格品,求:

(1)X的密度函数;

(2)生产的5件产品的合格率不小于80%的概率.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

 (1)由题意知

即,

故密度函数

(2)设Y表示5件产品中的合格品数,

每件产品是合格品的概率为,

而,合格率不小于,即,

故

19．（2020·大连市普兰店区第一中学高二月考）某人投弹击中目标的概率为.

（1）求投弹一次，击中次数的均值和方差；

（2）求重复投弹次，击中次数的均值和方差.

【答案】（1）；（2），

【解析】

（1）由题意可知服从两点分布

因为，，

所以，.

所以，

（2）由题意可知击中次数服从二项分布，即

所以，，

.

20．（2020·林芝市第二高级中学高二期末（理））某运动员射击一次所得环数的分布如下：

现进行两次射击，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为.

（Ⅰ）求该运动员两次都命中7环的概率.

（Ⅱ）求的分布列及其数学期望.

【答案】(I) 0.04

(II)

(III) 9.07

【解析】

（I）由题意知运动员两次射击是相互独立的，根据相互独立事件同时发生的概率得到，该运动员两次都命中7环的概率为P=0.2×0.2=0.04

（II）ξ可能取值为7、8、9、10

P（ξ=7）=0.04         P（ξ=8）=2×0.2×0.3+0.32=0.21

P（ξ=9）=2×0.2×0.3+2×0.3×0.3+0.32=0.39

P（ξ=10）=2×0.2×0.2+2×0.3×0.2+2×0.3×0.2+0.22=0.36

∴ξ的分布列为

∴ξ的数学期望为Eξ=7×0.04+8×0.21+9×0.39+10×0.36=9.07

29．（2020·南岗·黑龙江实验中学高二期中（理））设离散型随机变量的分布列为

求：（1）的分布列；

（2）求的值.

【答案】（1）见解析；（2）0.7

【解析】

由分布列的性质知：，解得

（1）由题意可知

，，

，

所以的分布列为：

（2）

22．（2018·江苏盐城·高二期末）（理科学生做）某一智力游戏玩一次所得的积分是一个随机变量,其概率分布如下表，数学期望.

（1）求a和b的值；

（2）某同学连续玩三次该智力游戏，记积分X大于0的次数为Y，求Y的概率分布与数学期望.

【答案】(1) .

(2)分布列见解析，.

【解析】

 (1)因为，所以，

即．①                   

又，得．②       

联立①，②解得，．        

(2)，依题意知，

故，，

，．                  

故的概率分布为

的数学期望为．