专题4.4 随机变量的数字特征（B卷提升篇）【解析版】-2020-2021学年高中数学新教材（人教B）同步单元双基双测AB卷

专题4.4随机变量的数字特征（B卷提升篇）

参考答案与试题解析

第Ⅰ卷（选择题）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（2020·榆村市新庄镇第一中学期末（理））已知随机变量的分布列如下：

若，则(    )

A． B． C．1 D．

【答案】B

【解析】

由数学期望计算公式有：，

由可得：，

则.

本题选择B选项.

点睛：求离散型随机变量均值与方差的基本方法

(1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差，按定义求解．

(2)已知随机变量X的均值、方差，求X的线性函数Y＝aX＋b的均值、方差，可直接用X的均值、方差的性质求解．

(3)如果所给随机变量是服从常用的分布(如两点分布、二项分布等)，利用它们的均值、方差公式求解．

2．（2020·山东泰安·期末）现有一条零件生产线，每个零件达到优等品的概率都为.某检验员从该生产线上随机抽检个零件，设其中优等品零件的个数为.若，，则（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

∵，∴，化简得，即，又，解得或，∴，故选C．

3．（2020·陕西临渭·期末（理））已知随机变量满足，且，若，则（    ）

A．0.5 B．0.8 C．0.2 D．0.4

【答案】D

【解析】

随机变量，满足，且，，

，解得，

，

，

．

故选：．

4．（2020·吉林洮北·白城一中期末（理））设，随机变量的分布列如图，则当在内增大时，（   ）

A．减小 B．增大

C．先减小后增大 D．先增大后减小

【答案】D

【解析】

，

，

，∴先增后减，因此选D.

点睛：

5．（2019·黄梅国际育才高级中学月考（理））已知离散型随机变量服从二项分布，且，，则的最小值为（   ）

A．2 B． C． D．4

【答案】C

【解析】

离散型随机变量X服从二项分布，

所以有，

，

所以，即，（，）

所以 ，

当且仅当时取得等号．

故选C．

6．（2020·雅安市教育科学研究所期末（理））已知排球发球考试规则：每位考生最多可发球三次，若发球成功，则停止发球，否则一直发到次结束为止．某考生一次发球成功的概率为，发球次数为，若的数学期望，则的取值范围为(   )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

由题可知，，，则

解得，由可得，

答案选A

7．（2020·山西期末（理））若是离散型随机变量，，，且.又已知，，则的值为（    ）

A．9 B．6 C．5 D．4

【答案】B

【解析】

由题设，.

可得，

，

解得或（舍），

故.

故选：B.

8．（2020·福建龙岩·期末）随机变量的概率分布为，其中是常数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

，解得

则

故选：D

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。

9．（2020·山东潍坊·高二期中）设离散型随机变量的分布列为

若离散型随机变量满足，则下列结果正确的有（    ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【解析】

由离散型随机变量的分布列的性质得：

，

则，

，

即，

因为离散型随机变量满足，

.

故结果正确的有AC.

故选：AC.

10．（2020·山东聊城·高二期末）若随机变量服从两点分布，其中，，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【解析】

因为随机变量服从两点分布，且，所以，

，所以，故A正确；

，故B正确；

，故C正确；

，故D不正确.

故选：ABC

11．（2020·山东德州·期末）设随机变量的分布列为，其中．则下列说法正确的是（    ）

A． B．

C．先增大后减小 D．有最小值

【答案】AC

【解析】

由题意可知，即，所以正确；

，所以不正确；

，，

所以在上函数是增函数，在，上函数是减函数，

所以先增大后减小、无最小值，所以正确；不正确；

故选：．

12．（2020·江苏扬州·期末）已知随机变量的分布列是

随机变量的分布列是

则当在内增大时，下列选项中正确的是（    ）

A． B．

C．增大 D．先增大后减小

【答案】BC

【解析】

对于，，，故错误；

对于，，，故正确；

对于，，

当在内增大时，增大，故正确；

对于，，

，

当在内增大时，单调递增，故错误．

故选：．

第Ⅱ卷（非选择题）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（2020·宁津县第一中学高二期末）随机变量的取值为、、，，，则______.

【答案】

【解析】

设，其中，可得出，

，

，解得，

因此，.

故答案为：.

14.（2020·湖北省天门中学月考）某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立，设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，，则______.

【答案】0.6

【解析】

由题意知，该群体的10位成员使用移动支付的概率分布符合二项分布，

所以，

所以或．
由，得，
即，

所以，
所以，
故答案为：．

15．（2020·应城市第一高级中学高二开学考试）为响应国家号召，打赢脱贫致富攻坚战，武汉大学团队带领湖北省大悟县新城镇熊湾村村民建立有机、健康、高端、绿色的蔬菜基地，并策划“生产、运输、销售”一体化的直销供应模式，据统计，当地村民两年时间成功脱贫.蔬菜种植基地将采摘的有机蔬菜以每份三斤称重并保鲜分装，以每份10元的价格销售到生鲜超市，每份15元的价格卖给顾客，如果当天前8小时卖不完，则超市通过促销以每份5元的价格卖给顾客（根据经验，当天能够把剩余的有机蔬菜都低价处理完毕，且处理完毕后，当天不再进货）.该生鲜超市统计了100天有机蔬菜在每天的前8小时内的销售量（单位：份），制成如下表格（注：，且）.若以100天记录的频率作为每日前8小时销售量发生的概率，该生鲜超市当天销售有机蔬菜利润的期望值为决策依据，若购进17份比购进18份的利润的期望值大，则x的最小值是________.

【答案】25

【解析】

若该超市一天购进17份这种有机蔬菜，表示当天的利润（单位：元），那么的分布列为

的数学期望，

若该超市一天购进18份这种有机蔬菜，表示当天的利润（单位：元），那么的分布列为

的数学期望，

∵购进17份比购进18份的利润的期望值大，

∴，且，

解得，又，

∴的最小值为25，

故答案为：25．

16．（2020·浙江高三其他）如表是随机变量的分布列，_______，_______．

【答案】1       

【解析】

由题,

又，

，

则，，

令，则在递增，得，

故.

故答案为：1；.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（2020·黑龙江爱民·牡丹江一中开学考试（理））在中华人民共和国成立70周年之际，《我和我的祖国》、《中国机长》、《攀登者》三大主旋律大片在国庆期间集体上映，拉开国庆档电影大幕.据统计《我和我的祖国》票房收入为31.71亿元，《中国机长》票房收人为29.12亿元，《攀登者》票房收入为10.98亿元.已知国庆过后某城市文化局统计得知大量市民至少观看了一部国庆档大片，在已观影的市民中随机抽取了100人进行调查，其中观看了《我和我的祖国》的有49人，观看了《中国机长》的有46人，观看了《攀登者》的有34人，统计图如下.

（1）计算图中的值；

（2）文化局从只观看了两部大片的观众中采用分层抽样的方法抽取了7人，进行观影体验的访谈，了解到他们均表示要观看第三部电影，现从这7人中随机选出4人，用表示这4人中将要观看《我和我的祖国》的人数，求的分布列及数学期望和方差.

【答案】（1），，；（2）分布列见解析，，.

【解析】

（1）由题意可得，解得，

所以，，； 

（2）记“同时观看了《中国机长》和《我和我的祖国》”的为A组，共9人；

“同时观看了《中国机长》和《攀登者》”为B组，共6人；

“同时观看《我和我的祖国》和《攀登者》”为C组，共6人；

所以按分层抽样，组被抽取的人数分别为，，；     

在被抽取的7人中，没有观看《我和我的祖国》的有2人，

，

则，，，

所以X的分布列如下：

X的数学期望，

X的方差.

18．（2020·湖南娄底·高二期末）一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．

将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．

(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；

(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E(X)及方差D(X)．

【答案】(1)0.108.(2) 1.8，0.72.

【解析】

（1）设表示事件“日销售量不低于100个”，表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另一天的日销售量低于50个”.因此

.

.

.

（2）X的可能取值为0,1,2,3.相应的概率为

,

,

,

,

分布列为

因为X~B(3,0.6),所以期望为E(X)=3×0.6=1.8，方差D（X）=3×0.6×（1-0.6）=0.72

19．（2020·安徽池州·期末（理））某种体育比赛采用“五局三胜制”，具体规则为比赛最多进行五场，当参赛的两方有一方先羸得三场比赛，就由该方获胜而比赛结束，每场比赛都需分出胜负.现A，B双方参加比赛，A方在每一场获胜的概率为，假设每场比赛的结果相互独立.

（1）当时，求A方恰在比赛四场后赢得比赛的概率；

（2）若B方在每一场获胜的概率为q，设比赛场数为.

（i）试求的分布列及数学期望；（用P，q表示）

（ⅱ）求的最大值，并给出能够减少比赛场数的建议.

【答案】（1）；（2）（i）分布列见解析，；（ⅱ），建议A，B双方扩大与对方每一场获胜的概率，可减少比赛场数.

【解析】

（1）A方恰在比赛四场后赢得比赛，则A方在前三场中有两场获胜，且第四场获胜，

所以A方恰在比赛四场后赢得比赛的概率为；建议A，B双方扩大与对方每一场获胜的概率，可减少比赛场数.

（2）（i）易知，取值为3，4，5.

，

，

，

故的概率分布列为：

所以点的数学期望为

.

.

（ⅱ），

因为，，所以，所以在，

即时，取得最大值，最大值为.

由数学期望的表达式可知当时，单调递增，

所以接近0时，即当p，q相差较大时，也就是，或者，时，

比赛场数的数学期望相对较小，

故建议A，B双方扩大与对方每一场获胜的概率，可减少比赛场数.

20．（2020·邵阳市第二中学其他（理））某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理.

（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，）的函数解析式；

（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：

以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.

①若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列、数学期望及方差；

②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由.

【答案】（1）；（2）①分布列详见解析，，；②都有道理，理由详见解析.

【解析】

（1）当日需求量时，利润.当日需求量时，利润.

所以关于的函数解析式为.

（2）①X可能的取值为60，70，80，并且，，.

X的分布列为

X的数学期望为.

X的方差为.

②答案一：

花店一天应购进16枝玫瑰花.理由如下：

若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润（单位：元），那么Y的分布列为

Y的数学期望为.

Y的方差为由以上的计算结果可以看出，，即购进16枝玫瑰花时利润波动相对较小.

另外，虽然，但两者相差不大.故花店一天应购进16枝玫瑰花.

答案二：

花店一天应购进17枝玫瑰花.理由如下：

若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利涧（单位：元），那么Y的分布列为

Y的数学期望为.

由以上的计算结果可以看出，，即购进17枝玫瑰花时的平均利润大于购进16枝时的平均利润.故花店一天应购进17枝玫瑰花.

21．（2020·福建福州·期末）某花店每天以每枝5元价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理

（1）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润（单位：元）关于当天需求量（单位：枝，）的函数解析式.

（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：

以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.

（ⅰ）若花店一天购进17枝玫瑰花，表示当天的利润（单位：元），求的分布列，数学期望及方差；

（ⅱ）若花店计划一天购进17枝或18枝玫瑰花，你认为应购进17枝还是18枝？请说明理由.

【答案】（1）

（2）（ⅰ）分布列见解析， ，；（ⅱ）17枝，理由见解析.

【解析】

（1）当时，

当时，

所以当天的利润关于当天需求量的函数解析式：

（ⅰ）可能取值为65，75，85

，

，

的分布列为

，

（ⅱ）购进18枝时，当天的利润可能为60，70，80，90

，，，

由得：应购进17枝.

22．（2020·安徽省泗县第一中学其他（理））某超市准备举办一次有奖促销活动，若顾客一次消费达到400元则可参加一次抽奖活动，超市设计了两种抽奖方案.

方案一：一个不透明的盒子中装有15个质地均匀且大小相同的小球，其中5个红球，10个白球，搅拌均匀后，顾客从中随机抽取一个球，若抽到红球则顾客获得80元的返金券，若抽到白球则获得20元的返金券，且顾客有放回地抽取3次.

方案二：一个不透明的盒子中装有15个质地均匀且大小相同的小球，其中5个红球，10个白球，搅拌均匀后，顾客从中随机抽取一个球，若抽到红球则顾客获得100元的返金券，若抽到白球则未中奖，且顾客有放回地抽取3次.

（1）现有两位顾客均获得抽奖机会，且都按方案一抽奖，试求这两位顾客均获得240元返金券的概率；

（2）若某顾客获得抽奖机会.

①试分别计算他选择两种抽奖方案最终获得返金券的数学期望；

②该顾客选择哪一种抽奖方案才能获得更多的返金券？

【答案】（1）；（2）①120元，100元；②选择第一种抽奖方案.

【解析】

（1）选择方案一，则每一次摸到红球的概率为.

设“每位顾客获得240元返金券”为事件A，则.

所以两位顾客均获得240元返金券的概率.

（2）①若选择抽奖方案一，则每一次摸到红球的概率为，每一次摸到白球的概率为.设获得返金劵金额为X元，则X可能的取值为60，120，180，240.

则；；

；.

所以选择抽奖方案一，该顾客获得返金劵金额的数学期望为

（元）

若选择抽奖方案二，设三次摸球的过程中，摸到红球的次数为Y，最终获得返金券的金额为Z元，则，故.

所以选择抽奖方案二，该顾客获得返金劵金额的数学期望为（元）

②即，所以应选择第一种抽奖方案.