数学八年级上册第十一章 三角形综合与测试精品复习练习题

这是一份数学八年级上册第十一章 三角形综合与测试精品复习练习题，共15页。试卷主要包含了探究与发现，已知△ABC中，∠A＝30°等内容，欢迎下载使用。







1．已知∠MON＝90°，点A，B分别是OM，ON上的动点．


（1）如图（1），若P1是∠OAB和∠OBA的平分线的交点，则∠BP1A的大小是否发生变化？若不变，则∠BP1A为多少度？


（2）如图（2），若P2是∠BAO和△OBA的外角∠OBD的平分线的交点，则∠BP2A的大小是否发生变化？为什么？














2．科学知识是用来为人类服务的，我们应该把它们用于有意义的方面、下面就两个情景请你作出判断：


（1）木工师傅在做完门框后，为防止变形，常常像图中所示的样子钉上两条斜拉的木板条，这样做的数学道理是 ；


（2）2010年世博会在上海召开，七年级（1）班的小刚有一个设想，他计划设计一个内角和是2010°的多边形图案，这是非常有意义的，他的愿望能实现吗？用数学知识说明你的结论．





3．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，


（1）求证：∠B+∠D＝180°；


（2）若BM，DN分别平分∠ABC的外角，∠ADC的外角，求证：BM∥DN．














4．探究与发现：


探究一：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？





已知：如图1，∠FDC与∠ECD分别为△ADC的两个外角，试探究∠A与∠FDC+∠ECD的数量关系．


探究二：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？


已知：如图2，在△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠P与∠A的数量关系．


探究三：若将△ADC改为任意四边形ABCD呢？


已知：如图3，在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，试利用上述结论探究∠P与∠A+∠B的数量关系．











5．∠MON＝90°，点A，B分别在OM、ON上运动（不与点O重合）．


（1）如图①，AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的平分线，随着点A、点B的运动，∠AEB＝ °；


（2）如图②，若BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠OAB的平分线交于点D．


①若∠BAO＝60°，则∠D＝ °；


②随着点A，B的运动，∠D的大小会变吗？如果不会，求∠D的度数；如果会，请说明理由；


（3）如图③，延长MO至Q，延长BA至G，已知∠BAO，∠OAG的平分线与∠BOQ的平分线及其延长线相交于点E、F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，求∠ABO的度数．





6．已知△ABC中，∠A＝30°．


（1）如图①，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点O，则∠BOC＝ °．


（2）如图②，∠ABC、∠ACB的三等分线分别对应交于O1、O2，则∠BO2C＝ °．


（3）如图③，∠ABC、∠ACB的n等分线分别对应交于O1、O2…On﹣1（内部有n﹣1个点），求∠BOn﹣1C（用n的代数式表示）．


（4）如图③，已知∠ABC、∠ACB的n等分线分别对应交于O1、O2…On﹣1，若∠BOn﹣1C＝60°，求n的值．





7．如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．试解答下列问题：


（1）在图1中，写出∠A、∠B、∠C、∠D之间关系为；


（2）如图2，在（1）的结论下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于点M、N．


①仔细观察，在图2中有 个以线段AD为边的“8字形”；


②若∠D＝40°，∠B＝36°，试求∠P的度数；


③∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试直接写出∠P与∠D、∠B之间数量关系，不需说明理由．








8．（1）如图1，已知△ABC，BF平分外角∠CBP，CF平分外角∠BCQ．试确定∠A和∠F的数量关系；


（2）如图2，已知△ABC，BF和BD三等分外角∠CBP，CF和CE三等分外角∠BCQ．试确定∠A和∠F的数量关系；


（3）如图3，已知△ABC，BF、BD和BM四等分外角∠CBP，CF、CE和CN四等分外角∠BCQ．试确定∠A和∠F的数量关系；


（4）如图4，已知△ABC，将外角∠CBP进行n等分，BF是临近BC边的等分线，将外角∠BCQ进行n等分，CF是临近BC边的等分线，试确定∠A和∠F的数量关系．




















9．如图 ①，∠MON＝70°，点A、B在∠MON的两条边上运动，∠MAB与∠NBA的平分线交于点P．


（1）点A、B在运动过程中，∠P的大小会变吗？如果不会，求出∠P的度数；如果会，请说明理由．


（2）如图②，继续作BC是平分∠ABO，AP的反向延长线交BC的延长线于点D，点A、B在运动过程中，∠D的大小会变吗？如果不会，求出∠D的度数；如果会，请说明理由．


（3）如图②，若∠P和∠D有怎样的数量关系？（直接写出答案）




















10．如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，∠B＝20°，∠C＝60°．


（1）求∠CAD、∠AEC和∠EAD的度数．


（2）若图形发生了变化，已知的两个角度数改为：当∠B＝30°，∠C＝60°则∠EAD＝ °；当∠B＝50°，∠C＝60°时，则∠EAD＝ °；


当∠B＝60°，∠C＝60°时，则∠EAD＝ °；当∠B＝70°，∠C＝60°时，则∠EAD＝ °．


（3）若∠B和∠C的度数改为用字母α和β来表示，你能找到∠EAD与α和β之间的关系吗？请直接写出你发现的结论．








参考答案


1．解：（1）∵∠MON＝90°，


∴∠OBA+∠OAB＝90°．


∵P1是∠OAB和∠OBA的平分线的交点，


∴∠ABP1+∠BAP1＝×（∠OBA+∠OAB）＝×90°＝45°


∴∠BP1A＝180°﹣（∠ABP1+∠BAP1）＝180°﹣45°＝135°；





（2）∠BP2A的大小不变．


理由：∵AP2平分∠OAB，


∴∠BAP2＝∠OAB，


∵BP2平分∠OBD，


∴∠P2BD＝∠OBD，


∵∠OBD＝∠MON+∠OAB，∠P2BD＝∠AP2B+∠BAP2，


∴∠ABP2＝∠P2BD﹣∠BAP2＝（∠MON+∠OAB）﹣∠OAB＝∠MON＝×90°＝45°．


2．解：（1）四边形具有不稳定性，三角形具有稳定性．





（2）不能实现．理由如下：


设边数为n，根据题意，得


（n﹣2）•180°＝2010°，


解得n＝13．


∵边数n为正整数，


∴他的愿望不能实现．


3．（1）证明：∵∠A＝∠C＝90゜，


∴在四边形ABCD中，∠B+∠D＝360°﹣∠A﹣∠C＝180゜；





（2）解：如图2，连接BD，





∵∠ABC+∠ADC＝180°，


∴∠FDC+∠EBC＝180゜，


∵BM，DN分别平分∠ABC的外角，∠ADC的外角，


∴∠NDC+∠CBM＝90゜，


∴∠NDC+∠CDB+∠CBD+∠MBC＝180゜，


∴BM∥DN．


4．解：探究一：∵∠FDC＝∠A+∠ACD，∠ECD＝∠A+∠ADC，


∴∠FDC+∠ECD＝∠A+∠ACD+∠A+∠ADC＝180°+∠A；





探究二：∵DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，


∴∠PDC＝∠ADC，∠PCD＝∠ACD，


∴∠P＝180°﹣∠PDC﹣∠PCD


＝180°﹣∠ADC﹣∠ACD


＝180°﹣（∠ADC+∠ACD）


＝180°﹣（180°﹣∠A）


＝90°+∠A；





探究三：∵DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，


∴∠PDC＝∠ADC，∠PCD＝∠BCD，


∴∠P＝180°﹣∠PDC﹣∠PCD


＝180°﹣∠ADC﹣∠BCD


＝180°﹣（∠ADC+∠BCD）


＝180°﹣（360°﹣∠A﹣∠B）


＝（∠A+∠B）．


5．解：（1）∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，


∴∠AOB＝90°，


∴∠OAB+∠OBA＝90°，


∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，


∴∠BAE＝∠OAB，∠ABE＝∠ABO，


∴∠BAE+∠ABE＝（∠OAB+∠ABO）＝45°，


∴∠AEB＝135°；


故答案为：135°；


（2）①∵∠AOB＝90°，∠BAO＝60°，


∴∠ABO＝30°，


∴∠ABN＝150°，


∵BC是∠ABN的平分线，


∴∠OBD＝∠CBN＝150°＝75°，


∵AD平分∠BAO，


∴∠DAB＝30°，


∴∠D＝180°﹣∠ABD﹣∠BAD﹣∠AOB＝180°﹣75°﹣30°﹣30°＝45°，


故答案为：45；


②∠D的度数不随A、B的移动而发生变化，


设∠BAD＝α，


∵AD平分∠BAO，


∴∠BAO＝2α，


∵∠AOB＝90°，


∴∠ABN＝180°﹣∠ABO＝∠AOB+∠BAO＝90+2α，


∵BC平分∠ABN，


∴∠ABC＝45°+α，


∵∠ABC＝180°﹣∠ABD＝∠D+∠BAD，


∴∠D＝∠ABC﹣∠BAD＝45°+α﹣α＝45°；


（3）∵∠BAO与∠BOQ的平分线交于点E，


∴∠AOE＝135°，


∴，


∵AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的平分线，


∴，


在△AEF中，若有一个角是另一个角的3倍，


则①当∠EAF＝3∠E时，得∠E＝30°，此时∠ABO＝60°；


②当∠EAF＝3∠F时，得∠E＝60°，


此时∠ABO＝120°＞90°，舍去；


③当∠F＝3∠E时，得，


此时∠ABO＝45°；


④当∠E＝3∠F时，得，


此时∠ABO＝135°＞90°，舍去．


综上可知，∠ABO的度数为60°或45°．


6．解：∵∠BAC＝30°，


∴∠ABC+∠ACB＝150°，


（1）∵点O是∠ABC与∠ACB的角平分线的交点，


∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝75°，


∴∠BOC＝105°；


（2）∵点O2是∠ABC与∠ACB的三等分线的交点，


∴∠O2BC+∠O2CB＝（∠ABC+∠ACB）＝100°，


∴∠BO2C＝80°；


（3）∵点On﹣1是∠ABC与∠ACB的n等分线的交点，


∴∠On﹣1BC+∠On﹣1CB＝（∠ABC+∠ACB）＝×150°，


∴∠BOn﹣1C＝180°﹣×150°


（4）由（3）得：180°﹣×150°＝60°，


解得：n＝5．


7．解：（1）∵∠A+∠D+∠AOD＝180°，∠C+∠D+∠BOC＝180°，


而∠AOD＝∠BOC，


∴∠A+∠D＝∠B+∠C；


（2）①3；


②∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，


∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，


∵∠1+∠D＝∠3+∠P，∠2+∠P＝∠4+∠B，


∴∠D﹣∠P＝∠P﹣∠B，


即∠P＝（∠D+∠B），


∵∠D＝40°，∠B＝36°


∴∠P＝（40°+36°）＝38°；


（4）∠P＝（∠B+∠D）．


故答案为6．


8．解：（1）由已知得，，


∵∠CBP＝∠A+∠ACB，∠BCP＝∠A+∠ABC，


∴．





（2）由已知得，，


∵∠CBP＝∠A+∠ACB，∠BCP＝∠A+∠ABC，


∴．





（3）由已知得，，


∵∠CBP＝∠A+∠ACB，∠BCP＝∠A+∠ABC，


∴．


（4）由已知得，，


∴∠CBP＝∠A+∠ACB，∠BCP＝∠A+∠ABC，


∴．


9．解：（1）点A、B在运动过程中，∠P的大小不会变．


∵∠MAB＝∠MON+∠ABO，∠NBA＝∠MON+∠OAB，


∴∠MAB+∠NBA＝∠MON+∠ABO+∠MON+∠OAB，


∵∠MON＝70°，∠ABO+∠MON+∠OAB＝180°，


∴∠MAB+∠NBA＝180+∠MON＝180°+70°＝250°，


∵∠MAB与∠NBA的平分线交于点P，


∴∠PAB+∠PBA＝（∠MAB+∠NBA）＝125°，


∵∠P+∠PAB+∠PBA＝180°，


∴∠P＝180°﹣125°＝55°，


（2）点A、B在运动过程中，∠D的大小不会变．


由（1）知：∠P＝55°，


∵BD平分∠ABO，BP平分∠ABN，


∴∠ABD＝∠ABO，∠ABP＝∠ABN，


∴∠ABD+∠ABP＝∠ABO+∠ABN，


∵∠ABO+∠ABN＝180°，


∴∠ABD+∠ABP＝90°，


∴∠P+∠D＝90°，


∵∠P＝55°，


∴∠D＝35°；


（3）∵BD平分∠ABO，BP平分∠ABN，


∴∠ABD＝∠ABO，∠ABP＝∠ABN，


∴∠ABD+∠ABP＝∠ABO+∠ABN，


∵∠ABO+∠ABN＝180°，


∴∠ABD+∠ABP＝90°，


∴∠P+∠D＝90°．


故答案为∠P+∠D＝90°．


10．解：（1）（1）∵∠B＝20°，∠C＝60°，


∴∠BAC＝180°﹣20°﹣60°＝100°，


∵AE是角平分线，


∴∠EAC＝50°，


∵AD是高，


∴∠ADC＝90°，


∴∠CAD＝30°，


∴∠EAD＝∠EAC﹣∠DAC＝50°﹣30°＝20°，


∴∠AEC＝180°﹣∠EAC﹣∠C＝180°﹣50°﹣60°＝70°；





（2）①∵∠B＝30°，∠C＝60°，


∴∠BAC＝180°﹣30°﹣60°＝90°，


∵AE是角平分线，


∴∠EAC＝45°，


∵AD是高，


∴∠ADC＝90°，


∴∠DAC＝30°，


∴∠EAD＝∠EAC﹣∠DAC＝45°﹣30°＝15°；


②∵∠B＝50°，∠C＝60°，


∴∠BAC＝180°﹣50°﹣60°＝70°，


∵AE是角平分线，


∴∠EAC＝35°，


∵AD是高，


∴∠ADC＝90°，


∴∠DAC＝30°，


∴∠EAD＝∠EAC﹣∠DAC＝35°﹣30°＝5°；


③∵∠B＝60°，∠C＝60°，


∴∠BAC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，


∵AE是角平分线，


∴∠EAC＝30°，


∵AD是高，


∴∠ADC＝90°，


∴∠DAC＝30°，


∴∠EAD＝∠EAC﹣∠DAC＝30°﹣30°＝0°；


④∵∠B＝70°，∠C＝60°，


∴∠BAC＝180°﹣70°﹣60°＝50°，


∵AE是角平分线，


∴∠EAC＝25°，


∵AD是高，


∴∠ADC＝90°，


∴∠DAC＝30°，


∴∠EAD＝∠DAC﹣∠EAC＝30°﹣25°＝5°；


故答案为：15°，5°，0°，5°；





（3）当α＜β时，


∵∠B＝α°，∠C＝β°，


∴∠BAC＝180°﹣α°﹣β°，


∵AE是角平分线，


∴∠EAC＝（90﹣）°，


∵AD是高，


∴∠ADC＝90°，


∴∠DAC＝90°﹣β°，


∴∠EAD＝∠EAC﹣∠DAC＝[（90﹣）°﹣（90°﹣β°）]＝（β﹣α）°；


当α＞β时，


∵∠B＝α°，∠C＝β°，


∴∠BAC＝180°﹣α°﹣β°，


∵AE是角平分线，


∴∠EAC＝（90﹣）°，


∵AD是高，


∴∠ADC＝90°，


∴∠DAC＝90°﹣β°，


∴∠EAD＝∠DAC﹣∠EAC＝[（90°﹣β°）﹣（90﹣）°]＝（α﹣β）°．


答：当α＜β时，∠EAD＝（β﹣α）°，当α＞β时，∠EAD＝（α﹣β）°．