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初中数学人教版九年级上册第二十二章 二次函数综合与测试精品巩固练习
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这是一份初中数学人教版九年级上册第二十二章 二次函数综合与测试精品巩固练习，共10页。试卷主要包含了先化简，再求值等内容，欢迎下载使用。
解答题必练题型 （四）
1．玉龙工艺品商场按标价销售某种工艺品时，每件可获利45元；按标价的八五折销售该工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获利润相等．
（1）该工艺品每件的进价、标价分别是多少元？
（2）若每件工艺品按（1）中求得的进价进货，标价售出，工艺商场每天可售出该工艺品100件．若每件工艺品降价1元，则每天可多售出该工艺品4件．问现在进行适当降价活动，且降价不超过8元，问每件工艺品降价多少元出售，每天获得的利润最大？获得的最大利润是多少元？
2．天水“伏羲文化节”商品交易会上，某商人将每件进价为8元的纪念品，按每件9元出售，每天可售出20件．他想采用提高售价的办法来增加利润，经实验，发现这种纪念品每件提价1元，每天的销售量会减少4件．
（1）写出每天所得的利润y（元）与售价x（元/件）之间的函数关系式．
（2）每件售价定为多少元，才能使一天所得的利润最大？最大利润是多少元？
3．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按拟定的价格进行试销，通过对5天的试销情况进行统计，得到如下数据：
（1）计算这5天销售额的平均数（销售额＝单价×销量）；
（2）通过对上面表格中的数据进行分析，发现销量y（件）与单价x（元/件）之间存在一次函数关系，求y关于x的函数关系式（不需要写出函数自变量的取值范围）；
（3）预计在今后的销售中，销量与单价仍然存在（2）中的关系，且该产品的成本是20元/件．为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少？
4．某商场有A，B两种商品，若买2件A商品和1件B商品，共需80元；若买3件A商品和2件B商品，共需135元．
（1）设A，B两种商品每件售价分别为a元、b元，求a、b的值；
（2）B商品每件的成本是20元，根据市场调查：若按（1）中求出的单价销售，该商场每天销售B商品100件；若销售单价每上涨1元，B商品每天的销售量就减少5件．
①求每天B商品的销售利润y（元）与销售单价（x）元之间的函数关系？
②求销售单价为多少元时，B商品每天的销售利润最大，最大利润是多少？
5．某纪念币从11月11日起开始上市，通过市场调查得知该纪念币每1枚的市场价y（单位：元）与上市时间x（单位：天）的数据如下：
（1）根据上表数据，在某一特定时期内，可从下列函数中选取一个恰当的函数描述纪念币的市场价y与上市时间x的变化关系：
①y＝ax+b（a≠0）； ②y＝a（x﹣h）2+k（ a≠0）； ③y＝（a≠0）．
你可选择的函数的序号是 ．
（2）利用你选取的函数，求该纪念币上市多少天时市场价最低，最低价格是多少？
6．用38m长的竹篱笆建一个矩形养鸡场，养鸡场一面用砖砌成，其它用竹篱笆围成，并且在与砖墙相对的一面开2m的门（门不用篱笆），问怎样围竹篱笆，使得养鸡场占地面积最大？最大面积是多少？
7．某种商品的进价为40元/件，以获利不低于25%的价格销售时，商品的销售单价y（元/件）与销售数量x（件）（x是正整数）之间的关系如下表：
（1）由题意知商品的最低销售单价是 元，当销售单价不低于最低销售单价时，y是x的一次函数．求出y与x的函数关系式及x的取值范围；
（2）在（1）的条件下，当销售单价为多少元时，所获销售利润最大，最大利润是多少元？
8．某商店购进一种商品，每件商品进价30元．试销中发现这种商品每天的销售量y（件）与每件销售价x（元）的关系数据如下：
（1）已知y与x满足一次函数关系，根据上表，求出y与x之间的关系式（不写出自变量x的取值范围）；
（2）如果商店销售这种商品，每天要获得150元利润，那么每件商品的销售价应定为多少元？
（3）设该商店每天销售这种商品所获利润为w（元），求出w与x之间的关系式，并求出每件商品销售价定为多少元时利润最大？
9．（1）先化简，再求值：﹣，其中x＝2015．
（2）如图，某广场设计的一建筑物造型的纵截面是抛物线的一部分，抛物线的顶点O落在水平面上，对称轴是水平线OC，点A、B在抛物线造型上，且点A到水平面的距离AC＝4米，点B到水平面的距离为2米，OC＝8米．
①请建立适当的直角坐标系，求抛物线的函数解析式；（需要画出你建立的直角坐标系）
②为了安全美观，现需要在水平线OC上找一点P，用质地、规格已确定的圆形钢管制作两根支柱PA、PB对抛物线造型进行支撑加固，那么怎样才能找到两根支柱用料最省时的点P？请写出找法．（无需证明）（支柱与地面、造型对接方式的用料多少问题暂不考虑）
10．某商场以每件60元的进价购进乙种T恤衫，在销售中发现这种T恤衫的销售数量y（件）与销售价格x（元）满足一次函数，其图象如图所示，同时物价部门规定售价不得低于进价且获利不得高于进价的45%．
（1）求销售数量y（件）与销售价格x（元）的函数关系式．
（2）求上传销售这种T恤衫的利润w（元）与销售价格x（元）之间的函数表达式，并求出当销售价定位多少时，商场所获得的利润最大，最大利润是多少元？
（3）若该商场的利润要求不低于500元，试确定销售价格x的取值范围．
参考答案
1．解：（1）设每件工艺品的进价为x元，
标价为（x+45）元，
根据题意，得：8×[85%•（x+45）﹣x]＝12×（45﹣35），
解得x＝155，x+45＝200．
答：该工艺品每件的进价155元，标价200元．
（2）设每件应降价a元出售，每天获得的利润为w元．
则w＝（45﹣a）（100+4a）＝﹣4（a﹣10）2+4900，
∵降价不超过8元，
∴当a＝8时，w最大＝4884元．
2．解：（1）根据题中等量关系为：利润＝（售价﹣进价）×售出件数，
列出方程式为：y＝（x﹣8）[20﹣4（x﹣9）]，
即y＝﹣4x2+88x﹣448（9≤x≤14）；
（2）将（1）中方程式配方得：
y＝﹣4（x﹣11）2+36，
∴当x＝11时，y最大＝36元，
答：售价为11元时，利润最大，最大利润是36元．
3．解：（1）根据题意得：＝934.4（元）；
（2）根据题意设y＝kx+b，
把（30，40）与（40，20）代入得：，
解得：k＝﹣2，b＝100，
则y＝﹣2x+100；
（3）设定价为x元时，工厂获得的利润为W，
根据题意得：W＝（x﹣20）y＝（x﹣20）（﹣2x+100）＝﹣2x2+140x﹣2000＝﹣2（x﹣35）2+450，
∵当x＝35时，W最大值为450，
则为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为35元．
4．解：（1）根据题意得：，
解得：；
（2）①由题意得：y＝（x﹣20）【100﹣5（x﹣30）】
∴y＝﹣5x2+350x﹣5000，
②∵y＝﹣5x2+350x﹣5000＝﹣5（x﹣35）2+1125，
∴当x＝35时，y最大＝1125，
∴销售单价为35元时，B商品每天的销售利润最大，最大利润是1125元．
5．解：（1）①设纪念币的市场价y与上市时间x的变化关系是y＝ax+b时，
则，
解得．
∴y＝﹣6.5x+116，
∵﹣6.5×36+116＝﹣118≠90，
∴纪念币的市场价y与上市时间x的变化关系不是y＝﹣6.5x+116；
②设纪念币的市场价y与上市时间x的变化关系是y＝a（x﹣h）2+k（ a≠0）时，
则
解得
∴y＝（x﹣20）2+26，
∴纪念币的市场价y与上市时间x的变化关系是y＝（x﹣20）2+26．
③4×90＝360，10×51＝510，36×90＝3240，
∵360≠510≠3240，
∴纪念币的市场价y与上市时间x的变化关系不是y＝（a≠0）．
∴选择的函数的序号是②．
（2）∵y＝（x﹣20）2+26，
∴当x＝20时，y有最小值26，
∴该纪念币上市20天时市场价最低，最低价格为26元．
答：该纪念币上市20天时市场价最低，最低价格为26元．
6．解：设养鸡场的宽为xm，则养鸡场的长为（38﹣2x+2）＝（40﹣2x），
面积＝x（40﹣2x）＝﹣2x2+40x＝﹣2（x﹣10）2+200，
∵﹣2＜0，
∴x＝10时，养鸡场的面积有最大值200m2，
即围竹篱笆成长20m，宽10m时，养鸡场占地面积最大，最大面积是200m2．
7．解：（1）40（1+25%）＝50（元），
故答案为：50；
设y＝kx+b，
根据题意得：，
解得：k＝﹣1，b＝80，
∴y＝﹣x+80，
根据题意得：，且x为正整数，
∴0＜x≤30，x为正整数，
∴y＝﹣x+80（0≤x≤30，且x为正整数）
（2）设所获利润为P元，根据题意得：
P＝（y﹣40）•x＝（﹣x+80﹣40）x＝﹣（x﹣20）2+400，
即P是x的二次函数，
∵a＝﹣1＜0，
∴P有最大值，
∴当x＝20时，P最大值＝400，此时y＝60，
∴当销售单价为60元时，所获利润最大，最大利润为400元．
8．解：（1）设该函数的表达式为y＝kx+b，根据题意，得
，
解得：．
故该函数的表达式为y＝﹣2x+100；
（2）根据题意得，
（﹣2x+100）（x﹣30）＝150，
解这个方程得，x1＝35，x2＝45，
故每件商品的销售价定为35元或45元时日利润为150元；
（3）根据题意，得
w＝（﹣2x+100）（x﹣30）
＝﹣2x2+160x﹣3000
＝﹣2（x﹣40）2+200，
∵a＝﹣2＜0 则抛物线开口向下，函数有最大值，
即当x＝40时，w的值最大，
∴当销售单价为40元时获得利润最大．
9．解：（1）﹣＝+＝＝＝x﹣1，
把x＝2015代入，原式＝2015﹣1＝2014．
（2）以点O为原点、射线OC为y轴的正半轴建立直角坐标系，
设抛物线的函数解析式为y＝ax2，
由题意知点A的坐标为（4，8）．
∵点A在抛物线上，
∴8＝a×42，
解得a＝，
∴所求抛物线的函数解析式为：y＝x2；
（2）作法：延长AC，交建筑物造型所在抛物线于点D，
则点A、D关于OC对称．
连接BD交OC于点P，则点P即为所求．
10．解：（1）设一次函数关系式为y＝kx+b
由图象可知：直线过（65，55），（75，45）两点
所以有：，
解得：
∴y与x的函数关系式为：y＝﹣x+120；
（2）依题意得：w＝（x﹣60）y＝（x﹣60）（﹣x+120）
＝﹣x2+180x﹣7200＝﹣（x﹣90）2+900
∵a＝﹣1＜0 抛物线开口向下
又∵抛物线的对称轴是直线x＝90
∴60≤x≤60（1+45%）＝87时w随x的增大而增大
∴x＝87时 w值最大 w最大值＝891
∴该商场最大值为891元．
（3）把w＝500代入w＝﹣（x﹣90）2+900
500＝﹣（x﹣90）2+900
解得x1＝70 x2＝110（不符合题意舍去）
∴70≤x≤87时 利润不低于500元．
单价（元/件）
30
34
38
40
42
销量（件）
40
32
24
20
16
上市时间x天
4
10
36
市场价y元
90
51
90
x（件）
…
5
10
15
20
…
y（元/件）
…
75
70
65
60
…
x
30
32
34
36
y
40
36
32
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解答题必练题型 （四）
1．玉龙工艺品商场按标价销售某种工艺品时，每件可获利45元；按标价的八五折销售该工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获利润相等．
（1）该工艺品每件的进价、标价分别是多少元？
（2）若每件工艺品按（1）中求得的进价进货，标价售出，工艺商场每天可售出该工艺品100件．若每件工艺品降价1元，则每天可多售出该工艺品4件．问现在进行适当降价活动，且降价不超过8元，问每件工艺品降价多少元出售，每天获得的利润最大？获得的最大利润是多少元？
2．天水“伏羲文化节”商品交易会上，某商人将每件进价为8元的纪念品，按每件9元出售，每天可售出20件．他想采用提高售价的办法来增加利润，经实验，发现这种纪念品每件提价1元，每天的销售量会减少4件．
（1）写出每天所得的利润y（元）与售价x（元/件）之间的函数关系式．
（2）每件售价定为多少元，才能使一天所得的利润最大？最大利润是多少元？
3．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按拟定的价格进行试销，通过对5天的试销情况进行统计，得到如下数据：
（1）计算这5天销售额的平均数（销售额＝单价×销量）；
（2）通过对上面表格中的数据进行分析，发现销量y（件）与单价x（元/件）之间存在一次函数关系，求y关于x的函数关系式（不需要写出函数自变量的取值范围）；
（3）预计在今后的销售中，销量与单价仍然存在（2）中的关系，且该产品的成本是20元/件．为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少？
4．某商场有A，B两种商品，若买2件A商品和1件B商品，共需80元；若买3件A商品和2件B商品，共需135元．
（1）设A，B两种商品每件售价分别为a元、b元，求a、b的值；
（2）B商品每件的成本是20元，根据市场调查：若按（1）中求出的单价销售，该商场每天销售B商品100件；若销售单价每上涨1元，B商品每天的销售量就减少5件．
①求每天B商品的销售利润y（元）与销售单价（x）元之间的函数关系？
②求销售单价为多少元时，B商品每天的销售利润最大，最大利润是多少？
5．某纪念币从11月11日起开始上市，通过市场调查得知该纪念币每1枚的市场价y（单位：元）与上市时间x（单位：天）的数据如下：
（1）根据上表数据，在某一特定时期内，可从下列函数中选取一个恰当的函数描述纪念币的市场价y与上市时间x的变化关系：
①y＝ax+b（a≠0）； ②y＝a（x﹣h）2+k（ a≠0）； ③y＝（a≠0）．
你可选择的函数的序号是 ．
（2）利用你选取的函数，求该纪念币上市多少天时市场价最低，最低价格是多少？
6．用38m长的竹篱笆建一个矩形养鸡场，养鸡场一面用砖砌成，其它用竹篱笆围成，并且在与砖墙相对的一面开2m的门（门不用篱笆），问怎样围竹篱笆，使得养鸡场占地面积最大？最大面积是多少？
7．某种商品的进价为40元/件，以获利不低于25%的价格销售时，商品的销售单价y（元/件）与销售数量x（件）（x是正整数）之间的关系如下表：
（1）由题意知商品的最低销售单价是 元，当销售单价不低于最低销售单价时，y是x的一次函数．求出y与x的函数关系式及x的取值范围；
（2）在（1）的条件下，当销售单价为多少元时，所获销售利润最大，最大利润是多少元？
8．某商店购进一种商品，每件商品进价30元．试销中发现这种商品每天的销售量y（件）与每件销售价x（元）的关系数据如下：
（1）已知y与x满足一次函数关系，根据上表，求出y与x之间的关系式（不写出自变量x的取值范围）；
（2）如果商店销售这种商品，每天要获得150元利润，那么每件商品的销售价应定为多少元？
（3）设该商店每天销售这种商品所获利润为w（元），求出w与x之间的关系式，并求出每件商品销售价定为多少元时利润最大？
9．（1）先化简，再求值：﹣，其中x＝2015．
（2）如图，某广场设计的一建筑物造型的纵截面是抛物线的一部分，抛物线的顶点O落在水平面上，对称轴是水平线OC，点A、B在抛物线造型上，且点A到水平面的距离AC＝4米，点B到水平面的距离为2米，OC＝8米．
①请建立适当的直角坐标系，求抛物线的函数解析式；（需要画出你建立的直角坐标系）
②为了安全美观，现需要在水平线OC上找一点P，用质地、规格已确定的圆形钢管制作两根支柱PA、PB对抛物线造型进行支撑加固，那么怎样才能找到两根支柱用料最省时的点P？请写出找法．（无需证明）（支柱与地面、造型对接方式的用料多少问题暂不考虑）
10．某商场以每件60元的进价购进乙种T恤衫，在销售中发现这种T恤衫的销售数量y（件）与销售价格x（元）满足一次函数，其图象如图所示，同时物价部门规定售价不得低于进价且获利不得高于进价的45%．
（1）求销售数量y（件）与销售价格x（元）的函数关系式．
（2）求上传销售这种T恤衫的利润w（元）与销售价格x（元）之间的函数表达式，并求出当销售价定位多少时，商场所获得的利润最大，最大利润是多少元？
（3）若该商场的利润要求不低于500元，试确定销售价格x的取值范围．
参考答案
1．解：（1）设每件工艺品的进价为x元，
标价为（x+45）元，
根据题意，得：8×[85%•（x+45）﹣x]＝12×（45﹣35），
解得x＝155，x+45＝200．
答：该工艺品每件的进价155元，标价200元．
（2）设每件应降价a元出售，每天获得的利润为w元．
则w＝（45﹣a）（100+4a）＝﹣4（a﹣10）2+4900，
∵降价不超过8元，
∴当a＝8时，w最大＝4884元．
2．解：（1）根据题中等量关系为：利润＝（售价﹣进价）×售出件数，
列出方程式为：y＝（x﹣8）[20﹣4（x﹣9）]，
即y＝﹣4x2+88x﹣448（9≤x≤14）；
（2）将（1）中方程式配方得：
y＝﹣4（x﹣11）2+36，
∴当x＝11时，y最大＝36元，
答：售价为11元时，利润最大，最大利润是36元．
3．解：（1）根据题意得：＝934.4（元）；
（2）根据题意设y＝kx+b，
把（30，40）与（40，20）代入得：，
解得：k＝﹣2，b＝100，
则y＝﹣2x+100；
（3）设定价为x元时，工厂获得的利润为W，
根据题意得：W＝（x﹣20）y＝（x﹣20）（﹣2x+100）＝﹣2x2+140x﹣2000＝﹣2（x﹣35）2+450，
∵当x＝35时，W最大值为450，
则为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为35元．
4．解：（1）根据题意得：，
解得：；
（2）①由题意得：y＝（x﹣20）【100﹣5（x﹣30）】
∴y＝﹣5x2+350x﹣5000，
②∵y＝﹣5x2+350x﹣5000＝﹣5（x﹣35）2+1125，
∴当x＝35时，y最大＝1125，
∴销售单价为35元时，B商品每天的销售利润最大，最大利润是1125元．
5．解：（1）①设纪念币的市场价y与上市时间x的变化关系是y＝ax+b时，
则，
解得．
∴y＝﹣6.5x+116，
∵﹣6.5×36+116＝﹣118≠90，
∴纪念币的市场价y与上市时间x的变化关系不是y＝﹣6.5x+116；
②设纪念币的市场价y与上市时间x的变化关系是y＝a（x﹣h）2+k（ a≠0）时，
则
解得
∴y＝（x﹣20）2+26，
∴纪念币的市场价y与上市时间x的变化关系是y＝（x﹣20）2+26．
③4×90＝360，10×51＝510，36×90＝3240，
∵360≠510≠3240，
∴纪念币的市场价y与上市时间x的变化关系不是y＝（a≠0）．
∴选择的函数的序号是②．
（2）∵y＝（x﹣20）2+26，
∴当x＝20时，y有最小值26，
∴该纪念币上市20天时市场价最低，最低价格为26元．
答：该纪念币上市20天时市场价最低，最低价格为26元．
6．解：设养鸡场的宽为xm，则养鸡场的长为（38﹣2x+2）＝（40﹣2x），
面积＝x（40﹣2x）＝﹣2x2+40x＝﹣2（x﹣10）2+200，
∵﹣2＜0，
∴x＝10时，养鸡场的面积有最大值200m2，
即围竹篱笆成长20m，宽10m时，养鸡场占地面积最大，最大面积是200m2．
7．解：（1）40（1+25%）＝50（元），
故答案为：50；
设y＝kx+b，
根据题意得：，
解得：k＝﹣1，b＝80，
∴y＝﹣x+80，
根据题意得：，且x为正整数，
∴0＜x≤30，x为正整数，
∴y＝﹣x+80（0≤x≤30，且x为正整数）
（2）设所获利润为P元，根据题意得：
P＝（y﹣40）•x＝（﹣x+80﹣40）x＝﹣（x﹣20）2+400，
即P是x的二次函数，
∵a＝﹣1＜0，
∴P有最大值，
∴当x＝20时，P最大值＝400，此时y＝60，
∴当销售单价为60元时，所获利润最大，最大利润为400元．
8．解：（1）设该函数的表达式为y＝kx+b，根据题意，得
，
解得：．
故该函数的表达式为y＝﹣2x+100；
（2）根据题意得，
（﹣2x+100）（x﹣30）＝150，
解这个方程得，x1＝35，x2＝45，
故每件商品的销售价定为35元或45元时日利润为150元；
（3）根据题意，得
w＝（﹣2x+100）（x﹣30）
＝﹣2x2+160x﹣3000
＝﹣2（x﹣40）2+200，
∵a＝﹣2＜0 则抛物线开口向下，函数有最大值，
即当x＝40时，w的值最大，
∴当销售单价为40元时获得利润最大．
9．解：（1）﹣＝+＝＝＝x﹣1，
把x＝2015代入，原式＝2015﹣1＝2014．
（2）以点O为原点、射线OC为y轴的正半轴建立直角坐标系，
设抛物线的函数解析式为y＝ax2，
由题意知点A的坐标为（4，8）．
∵点A在抛物线上，
∴8＝a×42，
解得a＝，
∴所求抛物线的函数解析式为：y＝x2；
（2）作法：延长AC，交建筑物造型所在抛物线于点D，
则点A、D关于OC对称．
连接BD交OC于点P，则点P即为所求．
10．解：（1）设一次函数关系式为y＝kx+b
由图象可知：直线过（65，55），（75，45）两点
所以有：，
解得：
∴y与x的函数关系式为：y＝﹣x+120；
（2）依题意得：w＝（x﹣60）y＝（x﹣60）（﹣x+120）
＝﹣x2+180x﹣7200＝﹣（x﹣90）2+900
∵a＝﹣1＜0 抛物线开口向下
又∵抛物线的对称轴是直线x＝90
∴60≤x≤60（1+45%）＝87时w随x的增大而增大
∴x＝87时 w值最大 w最大值＝891
∴该商场最大值为891元．
（3）把w＝500代入w＝﹣（x﹣90）2+900
500＝﹣（x﹣90）2+900
解得x1＝70 x2＝110（不符合题意舍去）
∴70≤x≤87时 利润不低于500元．
单价（元/件）
30
34
38
40
42
销量（件）
40
32
24
20
16
上市时间x天
4
10
36
市场价y元
90
51
90
x（件）
…
5
10
15
20
…
y（元/件）
…
75
70
65
60
…
x
30
32
34
36
y
40
36
32
28
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