高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质第三课时学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质第三课时学案，共13页。学案主要包含了知识点一，知识点二，知识点三，例1-1，例1-2，例3-1，例3-2等内容，欢迎下载使用。

导学目标：


1．掌握函数的单调性，会利用函数单调性的性质解决一些简单问题．


（预习教材P76~ P81，回答下列问题）


问题：如图所示为函数，的图象，请写出该函数的值域．














图1


【知识点一】函数的最值


一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：


(1) ，都有；


(2) ，使得；


那么，我们称是函数的最大值(maximum value)．





一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：


(1) ，都有；


(2)存在，使得；


那么，我们称是函数的最小值(minimum value)．


自我检测1：上面图1函数有无最值？若有，请说明．











【知识点二】函数单调性的应用


（1）求函数的最值


若在区间上递增，则在区间有最小值，最大值；


若在区间上递减，则在区间有最小值，最大值；


自我检测2：指出函数在上的最值情况？





（2）比较大小与解不等式


若在区间上递增（递减）且()；


若在区间上递递减且.().





【知识点三】函数最值的求法


（1）图像法 （2）单调性法





自我检测3：函数f(x)在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是( )


A．f(－2)，0 B．0,2


C．f(－2)，2 D．f(2)，2








题型一 利用函数图像求函数的最值


【例1-1】已知函数，画出函数的图象，确定函数的最值情况，并写出值域．

















【例1-2】已知函数.


（1）作出该函数的图像；（2）求在上的值域.














题型二 利用函数的单调性求函数的最值


【例2】 已知函数，求函数在上的最值．

















题型三 利用函数的单调性求解不等式


【例3-1】若的定义域为且在上是减函数，则下列不等式成立的是（ ）


A．B．


C．D．











【例3-2】函数在上单调递减且，且，则的取值范围为_________．














1．函数在上( )


A．有最大值无最小值 B．有最小值无最大值


C．有最大值也有最小值 D．无最大值也无最小值


2．函数在上的最小值和最大值分别是（ ）


A．B．


C．D．，无最大值


3．设函数是定义在上的函数，满足，且在上单调递增，则，的大小关系是（ ）


A．B．


C．D．无法比较


4．已知函数，则下列说法正确的是( )


A．有最大值，无最小值 B．有最大值，最小值


C．有最大值，无最小值 D．有最大值，最小值





5．若函数的定义域为，且为增函数，，求的取值范围 ．




















§3.2.1 单调性与最大（小）值（第三课时）


参考答案


导学目标：


1．掌握函数的单调性，会利用函数单调性的性质解决一些简单问题．


（预习教材P76~ P81，回答下列问题）


问题：如图所示为函数，的图象，请写出该函数的值域．














【答案】 图1


【知识点一】函数的最值


一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：


(1) ，都有；


(2) ，使得；


那么，我们称是函数的最大值(maximum value)．





一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：


(1) ，都有；


(2)存在，使得；


那么，我们称是函数的最小值(minimum value)．


自我检测1：上面图1函数有无最值？若有，请说明．


【答案】；．








【知识点二】函数单调性的应用


（1）求函数的最值


若在区间上递增，则在区间有最小值，最大值；


若在区间上递减，则在区间有最小值，最大值；


自我检测2：指出函数在上的最值情况？


【答案】有最大值，无最小值 ．


（2）比较大小与解不等式


若在区间上递增（递减）且()；


若在区间上递递减且.().





【知识点三】函数最值的求法


（1）图像法 （2）单调性法





自我检测3：函数f(x)在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是( )


A．f(－2)，0 B．0,2


C．f(－2)，2 D．f(2)，2


【答案】C





题型一 利用函数图像求函数的最值


【例1-1】已知函数，画出函数的图象，确定函数的最值情况，并写出值域．














【答案】，图象如图所示．


由图象知，函数的最大值为2，没有最小值，


所以其值域为(－∞，2]．





【例1-2】已知函数.


（1）作出该函数的图像；


（2）求在上的值域.


【答案】（1）


（2）由图像可知：


时，为单调减函数，


所以时，，


时，，


即的值域为.





题型二 利用函数的单调性求函数的最值


【例2】 已知函数，求函数在上的最值．


【答案】先证明函数f(x)＝eq \f(3,2x－1)的单调性，设x1，x2是区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))上的任意两个实数，且x2>x1>eq \f(1,2)，


f(x1)－f(x2)＝eq \f(3,2x1－1)－eq \f(3,2x2－1)＝eq \f(6x2－x1,2x1－12x2－1).


由于x2>x1>eq \f(1,2)，所以x2－x1>0，且(2x1－1)·(2x2－1)>0，所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以函数f(x)＝eq \f(3,2x－1)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))上是单调递减的，所以函数f(x)在[1,5]上是单调递减的，因此，函数f(x)＝eq \f(3,2x－1)在区间[1,5]的两个端点上分别取得最大值与最小值，


即最大值为f(1)＝3，最小值为f(5)＝eq \f(1,3)．





题型三 利用函数的单调性求解不等式


【例3-1】若的定义域为且在上是减函数，则下列不等式成立的是（ ）


A．B．


C．D．


【答案】因为，


函的定义域为且在上是减函数，


可得．故选：B．


【例3-2】函数在上单调递减且，且，则的取值范围为_________．


【答案】由，可移项得,


因为，


不等式化为,


在上是减函数，


,解得


又由,且，解，取交集，得


综上所述,可得的取值范围为．





1．函数在上( )


A．有最大值无最小值 B．有最小值无最大值


C．有最大值也有最小值 D．无最大值也无最小值


【答案】A


2．函数在上的最小值和最大值分别是（ ）


A．B．


C．D．，无最大值


【答案】A


3．设函数是定义在上的函数，满足，且在上单调递增，则，的大小关系是（ ）


A．B．


C．D．无法比较


【答案】B


4．已知函数，则下列说法正确的是( )


A．f(x)有最大值，无最小值 B．f(x)有最大值，最小值


C．f(x)有最大值，无最小值 D．f(x)有最大值，最小值





【答案】A





5．若函数的定义域为，且为增函数，，求的取值范围 ．【答案】