第八章 向量的数量积与三角恒等变换-2019-2020学年人教B版（2019）高一数学下学期期末冲刺满分训练（原卷+解析）

2019—2020学年高一年级下学期期末冲刺满分训练卷

第八章   向量的数量积与三角恒等变换   期末单元测试卷

（范围：新教材人教B版 必修三   考试时间：90分钟  满分：150分）

一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）

1.

若夹角为120°的向量与满足，则（    ）

A. 1 B. 2 C.  D. 4

答案及解析：

1.B

【分析】

根据向量数量积的应用，把两边平方，转化成模平方和数量积，利用已知即可得到结论.

【详解】解：∵，

∴，

即，

则，或（舍），

故选：B.

【点睛】本题考查了数量积运算性质、向量与模的转化，考查了计算能力，属于基础题.

2.

已知β为锐角，角α的终边过点（3，4），sin（α+β）＝，则cosβ＝（）

A.  B.  C.  D. 或

答案及解析：

2.B

【分析】

由题意利用任意角的三角函数的定义求得 sinα和cosα，再利用同角三角函数的基本关系求得cos（α+β）的值，再利用两角差的余弦公式求得cosβ＝cos[（α+β）﹣α]的值．

【详解】β为锐角，角α的终边过点（3，4），∴sinα，cosα，sin（α+β）sinα，

∴α+β为钝角，∴cos（α+β），

则cosβ＝cos[（α+β）﹣α]＝cos（α+β） cosα+sin（α+β） sinα••，

故选B．

【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系、两角和差的余弦公式的应用，属于基础题．

3.

（   ）

A．2         B．       C.          D．1

答案及解析：

3.

B

，所以，

所以原式，故选B.

4.

如图，正方形ABCD中,E为DC的中点,若,则的值为(　　)

A. 3 B. 2 C. 1 D. －3

答案及解析：

4.

D

【详解】因为E是DC的中点，所以，∴，

∴，．

考点：平面向量的几何运算

5.

在四边形ABCD中，，且·＝0，则四边形ABCD是（   ）

A. 菱形 B. 矩形 C. 直角梯形 D. 等腰梯形

答案及解析：

5.A

【分析】

由可得四边形为平行四边形，由·＝0得四边形的对角线垂直，故可得四边形为菱形．

【详解】∵，

∴与平行且相等，

∴四边形为平行四边形．

又，

∴，

即平行四边形的对角线互相垂直，

∴平行四边形为菱形．

故选A．

【点睛】本题考查向量相等和向量数量积的的应用，解题的关键是正确理解有关的概念，属于基础题．

6.

已知，则（    ）

A.  B.

C.  D.

答案及解析：

6.A

【分析】

由题得，再利用诱导公式化简求值.

【详解】.

故选：A

【点睛】本题主要考查诱导公式化简求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

7.

已知函数,则下列结论中正确的是(    )

A.f(x)既是奇函数又是周期函数 B. .f(x)的图象关于直线对称

C. f(x)的最大值为1    D. .f(x)在区间上单调递减

答案及解析：

7.

B

，

所以f(x)不是奇函数，f(x)的最大值不为1，

f(x)在区间上不是单调函数，所以A,C,D错误，

令，

得，

时，f(x)对称轴方程为，故选B.

8.

△ABC中，，，则A=（    ）

A.  B.  C.  D.

答案及解析：

8.B

【分析】

设的内角、、的对边分别为、、，利用平面向量数量积的定义和三角形的面积公式将题中等式用、、的等式表示，可求出的值，结合角的取值范围，可得出角的值.

【详解】设的内角、、的对边分别为、、，

则，，

所以，两个等式相除得，，，

故选：B.

【点睛】本题考查平面向量数量积的定义，同时也考查了三角形的面积公式，考查计算能力，属于中等题.

9.

《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有一个“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央.出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何？”其意思为“今有水池1丈见方（即CD=10尺），芦苇生长在水的中央，长出水面的部分为1尺.将芦苇向池岸牵引，恰巧与水岸齐接（如图所示）.试问水深、芦苇的长度各是多少？假设，现有下述四个结论：

①水深为12尺；②芦苇长为15尺；③；④.

其中所有正确结论的编号是（    ）

A. ①③ B. ①③④ C. ①④ D. ②③④

答案及解析：

9.B

【分析】

利用勾股定理求出的值，可得，再利用二倍角的正切公式求得，利用两角和的正切公式求得的值.

【详解】设，则，

∵，∴，∴.

即水深为12尺，芦苇长为12尺；

∴，由，解得（负根舍去）.

∵，

∴.

故正确结论的编号为①③④.

故选：B.

【点睛】本题主要考查二倍角的正切公式、两角和的正切公式，属于基础题.

10.

设，，，则a、b、c的大小关系为（   ）

A.  B.

C.  D.

答案及解析：

10.

C

分析：分别对a，b，c化简，最后利用余弦函数的单调性比较大小即可.

详解：，

，

又在上单调递减，

，

.

故选：C

点睛：本题考查了辅助角公式、二倍角公式、半角公式、诱导公式的灵活运用，以及利用函数性质比较大小的方法.

11.

将函数y=cosx+sinx(x∈R)的图像向左平移m(m＞0)个单位长度后,所得到的图像关于y轴对称,则的最小值是

A.           B.          C.          D.

答案及解析：

11.A

12.

O为△ABC所在平面上动点，点P满足, ,则射线AP过△ABC的（  ）

A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心

答案及解析：

12.B

【分析】

将变形为，因为和的模长都是1，根据平行四边形法则可得，过三角形的内心.

【详解】

因为和分别是和的单位向量

所以是以和为邻边的平行四边形的角平分线对应的向量

所以的方向与的角平分线重合

即射线过的内心

故选B

【点睛】本题主要考查平面向量的平行四边形法则、单位向量的性质以及三角形四心的性质，属于中档题.

二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）

13.

已知向量，，的夹角为，则__________.

答案及解析：

13.

2

∵，的夹角为

∴

∴

故答案为2.

14.

已知，且，则       .

答案及解析：

14.

，且，所以,

.

15.

已知两个非零单位向量、的夹角为.

①不存在，使；

②；

③；

④在方向上的投影为.

则上述结论正确序号是________（请将所有正确结论都填在横线上）

答案及解析：

15.①②③

【分析】

根据平面向量的定义、平面向量数量积的运算律、垂直向量的等价条件以及向量投影的定义来判断各命题的正误.

【详解】对于命题①，，命题①正确；

对于命题②，，同理可得，则，命题②正确；

对于命题③，，

，命题③正确；

对于命题④，在方向上的投影为，命题④错误.

因此，正确命题的序号为①②③，故答案为：①②③.

【点睛】本题考查平面向量数量积的定义以及运算律，同时也考查了平面向量垂直的等价条件和投影的定义，解题时应充分从这些定义和等价条件出发来加以理解，考查推理能力，属于中等题.

16.

已知P为△ABC所在平面内一点，且，则_____

答案及解析：

16.

【分析】

将向量进行等量代换，然后做出对应图形，利用平面向量基本定理进行表示即可．

【详解】解：设，则根据题意可得，，

如图所示，作，垂足分别为，则

又，，故答案为：。

【点睛】本题考查了平面向量基本定理及其意义，两个向量的加减法及其几何意义，属于中档题．

三、解答题（本题共6道小题,第17题10分,第18题12分,第19题12分,第20题12分,第21题12分,第22题12分,共70分）

17.

计算（1）；

（2）

答案及解析：

17.（1）  （2）

【分析】

（1）利用二倍角公式及辅助角公式，即可求得答案（2）由三角函数和差角的公式和二倍角公式，以及诱导公式逐步化简可得．

【详解】（1）

.

（2）

.

【点睛】本题主要考查了二倍角公式，三角函数的求值，涉及和差角的公式和二倍角公式，涉及转化思想，等式的恒等变形，属于中档题．

18.

已知不共线向量，满足||＝3，||＝2，（23）•（2）＝20.

（1）求•；

（2）是否存在实数λ，使λ与2共线？

（3）若（k2）⊥（），求实数k的值.

答案及解析：

18.

（1）1；（2）存在，；（3）或

【分析】

（1）利用向量运算法则展开计算得到答案.

（2）假设存在实数λ，使λ与2共线，则，计算得到答案.

（3）计算（k2）•（）＝0，展开计算得到答案.

【详解】（1）向量，满足||＝3，||＝2，（23）•（2）＝20，

所以44•34×9﹣4•3×4＝20，解得•1；

（2）假设存在实数λ，使λ与2共线，则，

故，.

即存在λ，使得λ与2共线；

（3）若（k2）⊥（），则（k2）•（）＝0，

即k（2﹣k2）•2k0，所以9k+（2﹣k2）×1﹣2k•4＝0，

整理得k2﹣k﹣2＝0，解得k＝﹣1或k＝2.

【点睛】本题考查了向量的运算，意在考查学生的计算能力.

19.

已知向量，，.

（Ⅰ）若，求k的值；

（Ⅱ）当时，与共线，求的值；

（Ⅲ）若，且与的夹角为150°，求.

答案及解析：

19.

（Ⅰ）.（Ⅱ）.（Ⅲ）

【分析】

（Ⅰ）由得方程即得解；

（Ⅱ）先求出，由题得，解方程即得解.

（Ⅲ）先求出，即得.

【详解】解：（Ⅰ）∵，∴.

即，∴.

（Ⅱ）当时，.

与共线.

所以.

（Ⅲ）∵，，

∴.

∵与的夹角为，

∴.

∴.

∴.

【点睛】本题主要考查平面向量垂直的坐标表示，考查向量平行的坐标表示，考查平面向量的数量积及运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

20.

已知平面向量，函数.

(1)求函数f(x)图象的对称轴；

(2)当时，求f(x)的值域.

答案及解析：

20.

(1) (2)

【分析】

（1）先求得的坐标，然后根据向量模的做包运算，求得f(x)的表达式并进行化简，再根据正弦型函数的对称轴的求法，求得函数f(x)的对称轴.

（2）根据（1）中所求f(x)的解析式，结合三角函数值域的求法，求得f(x)的值域.

【详解】(1)

，

由解得:，

所以函数图象的对称轴是直线

(2) 当时，

所以

所以.

所以的值城是

【点睛】本小题主要考查平面向量坐标的线性运算，考查平面向量模的坐标运算，考查三角恒等变换，考查正弦型函数的对称轴、值域的求法，属于基础题.

21.

如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，点A在弧上（异于点P，Q)，过点A做AB⊥OP，AC⊥OQ，垂足分别为B，C，记∠AOB＝θ，四边形ACOB的周长为l.

（1）求l关于θ的函数关系式；

（2）当θ为何值时，l有最大值，并求出l的最大值.

答案及解析：

21.

（1），

，

（2），，当时，，

所以时，.

22.

已知，，，且，其中.

(1)若与的夹角为60°，求k的值；

(2)记，是否存在实数k，使得对任意的恒成立?若存在，求出实数k的取值范围；若不存在，请说明理由.

答案及解析：

22.

(1) ；(2) ．

【分析】

(1)由两边平方得，，展开即可求出k的值；

(2)根据，可求出，再将变形为

，设，然后解不等式组，即可求出实数k的取值范围．

【详解】(1) 由得，，因为，

所以，即，解得．

(2)由(1)可知，，所以，

变形为，设，所以对任意的恒成立，即有， ，解得 ．

【点睛】本题主要考查数量积的运算以及不等式恒成立问题的解法，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．