第十一章 立体几何初步-2019-2020学年人教B版（2019）高一数学下学期期末冲刺满分训练（原卷+解析）

2019—2020学年高一年级下学期期末冲刺满分训练卷

第十章   立体几何初步   期末单元测试卷

（范围：新教材人教B版 必修四   考试时间：90分钟  满分：150分）

一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）

1.

以下命题（其中a、b表示直线，表示平面）中，正确的命题是(    )

A. 若，，则 B. 若，，则

C. 若，，则 D. 若，，则

答案及解析：

1.

C

【分析】

根据线线、线面有关定理对选项逐一分析，由此确定正确选项.

【详解】对于A选项，直线可能含于平面，所以A选项错误.

对于B选项，可能异面，所以B选项错误.

对于C选项，由于，，所以，所以C选项正确.

对于D选项，可能异面，所以D选项错误.

故选：C

【点睛】本小题主要考查空间线线、线面位置关系的判断，属于基础题.

2.

下列命题正确的是（  ）

A. 有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱。

B. 有两个面平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱。

C. 绕直角三角形的一边旋转所形成的几何体叫圆锥。

D. 用一个面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台。

答案及解析：

2.B

【分析】

根据课本中的相关概念依次判断选项即可.

【详解】对于A选项，几何体可以是棱台，满足有两个面平行，其余各面都是四边形，故选项不正确；对于B，根据课本中棱柱的概念得到是正确的；对于C，当绕直角三角形的斜边旋转时构成的几何体不是圆锥，故不正确；对于D，用平行于底面的平面截圆锥得到的剩余的几何体是棱台，故不正确.

故答案为：B.

【点睛】这个题目考查了几何体的基本概念，属于基础题.

3.

在正方体ABCD - A1B1C1D1中，动点E在棱BB1上，动点F在线段A1C1上，O为底面ABCD的中心，若，则四面体O-AEF的体积(   )

A. 与x，y都有关 B. 与x，y都无关

C. 与x有关，与y无关 D. 与y有关，与x无关

答案及解析：

3.B

【分析】

根据等体积法以及锥体体积公式判断选择.

【详解】因为VO－AEF＝VE－OAF，

所以，考察△AOF的面积和点E到平面AOF的距离的值，

因为BB1∥平面ACC1A1，

所以，点E到平面AOE的距离为定值，

又AO∥A1C1，

所以，OA为定值，点F到直线AO的距离也为定值，

即△AOF的面积是定值，

所以，四面体O-AEF的体积与x，y都无关，选B。

【点睛】本题考查三棱锥的体积、点到平面的距离以及点到直线的距离，考查基本分析判断能力，属中档题.

4.

如图，在△ABC中，面ABC，，D是BC的中点，则图中直角三角形的个数是（   ）

A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

答案及解析：

4.C

试题分析：因为面，所以，则三角形为直角三角形，因为，所以，所以三角形是直角三角形，易证，所以面，即，则三角形为直角三角形，即共有7个直角三角形；故选C．

考点：空间中垂直关系的转化．

5.

等腰直角三角形，直角边长为.以斜边所在直线为旋转迪，将该直角三角形旋转一周所得几何的体积是（    ）

A.  B.  C. π D.

答案及解析：

5.B

【分析】

画出图形，根据圆锥的体积公式直接计算即可．

【详解】如图为等腰直角三角形旋转而成的旋转体．

由题得等腰直角三角形的斜边上的高为1.

所以

．

故选：．

【点睛】本题主要考查圆锥的体积公式，考查空间想象能力以及计算能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．

6.

直三棱柱ABC—A1B1C1中，BB1中点为M，BC中点为N，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与MN所成角的余弦值为

A. 1 B.  C.  D. 0

答案及解析：

6.D

【分析】

先找到直线异面直线AB1与MN所成角为∠,再通过解三角形求出它的余弦值.

【详解】由题得,

所以∠就是异面直线AB1与MN所成角或补角.

由题得,

,

因为,

所以异面直线AB1与MN所成角的余弦值为0.

故选:D

【点睛】本题主要考查异面直线所成的角的求法，考查余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

7.

如图是某个正方体的平面展开图，，是两条侧面对角线，则在该正方体中，与（    ）

A. 互相平行 B. 异面且互相垂直 

C. 异面且夹角为 D. 相交且夹角为

答案及解析：

7.D

【分析】

先将平面展开图还原成正方体，再判断求解.

【详解】

将平面展开图还原成正方体如图所示，则B，C两点重合，所以与相交，连接，则为正三角形，所以与的夹角为.

故选:D.

【点睛】本题主要考查空间直线的位置关系，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.

8.

我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍甍”（chumeng）是底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体.如图，五面体ABCDEF是一个刍甍.四边形ABCD为矩形，与都是等边三角形，，，则此“刍甍”的表面积为（    ）

A.  B.  C.  D.

答案及解析：

8.A

【分析】

分别计算出每个面积，相加得到答案.

【详解】

故答案选A

【点睛】本题考查了图像的表面积，意在考查学生的计算能力.

9.

如图所示，AB是半圆O的直径，VA垂直于半圆O所在的平面，点C是圆周上不同于A，B的任意一点，M，N分别为VA，VC的中点，则下列结论正确的是( 　)

A. MN∥AB B. 平面VAC⊥平面VBC

C. MN与BC所成的角为45° D. OC⊥平面VAC

答案及解析：

9.B

【分析】

对每一个选项逐一分析判断得解.

【详解】A.，分别为，的中点，

，又，与所成的角为，故不正确；

，，不成立，故A不正确．

B. 是⊙O的直径，点是圆周上不同于，的任意一点，

，

垂直⊙O所在的平面，⊙O所在的平面，

，

又，平面，

又平面，平面平面，故B正确；

C. 是⊙O的直径，点是圆周上不同于，的任意一点，

，又、、、共面，与不垂直，

平面不成立，故不正确；

，分别为，的中点，

，又，与所成的角为，故不正确；

D. 是⊙O的直径，点是圆周上不同于，的任意一点，

，又、、、共面，与不垂直，

平面不成立，故D不正确.

故选:B.

【点睛】本题主要考查空间位置关系的证明，考查异面直线所成的角的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.

10.

如图，已知四面体ABCD为正四面体，分别是AD,BC中点.若用一个与直线EF垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为（     ）.

A. 1 B.  C.  D. 2

答案及解析：

10.A

【分析】

通过补体，在正方体内利用截面为平行四边形,有，进而利用基本不等式可得解.

【详解】补成正方体，如图.

∴截面为平行四边形,可得，

又 且

可得当且仅当时取等号，选A.

【点睛】本题主要考查了线面的位置关系，截面问题，考查了空间想象力及基本不等式的应用，属于难题.

11.

长方体ABCD﹣A1B1C1D1的8个顶点在同一个球面上，且AB=2，AD=，AA1=1，则顶点A、B间的球面距离是（　　）

A． B． C． D．2

答案及解析：

11.B

【考点】球内接多面体．

【分析】先求长方体的对角线，就是球的直径，再求AB的球心角，然后求A、B间的球面距离．

【解答】解：∵，∴，

设BD1∩AC1=O，则，，

∴，

故选B

12.

如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在线段BC1上运动，则下列判断正确的是（  ）

①平面平面

②平面

③异面直线与所成角的取值范围是

④三棱锥的体积不变

A. ①② B. ①②④ C. ③④ D. ①④

答案及解析：

12.B

【分析】

①连接DB1，容易证明DB1⊥面ACD1 ，从而可以证明面面垂直；

②连接A1B，A1C1容易证明平面BA1C1∥面ACD1，从而由线面平行的定义可得；

③分析出A1P与AD1所成角的范围，从而可以判断真假；

④=，C到面 AD1P的距离不变，且三角形AD1P的面积不变；

【详解】对于①，连接DB1，根据正方体的性质，有DB1⊥面ACD1 ，DB1⊂平面PB1D，从而可以证明平面PB1D⊥平面ACD1，正确．

②连接A1B，A1C1容易证明平面BA1C1∥面ACD1，从而由线面平行定义可得 A1P∥平面ACD1，正确．

③当P与线段BC1的两端点重合时，A1P与AD1所成角取最小值，

当P与线段BC1的中点重合时，A1P与AD1所成角取最大值，

故A1P与AD1所成角的范围是，错误；

④=，C到面AD1P的距离不变，且三角形AD1P的面积不变．

∴三棱锥A﹣D1PC的体积不变，正确；

正确的命题为①②④．

故选：B．

【点睛】本题考查空间点、线、面的位置关系，空间想象能力，中档题．

二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）

13.

有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图), ，，，，则这块菜地的面积为______．

答案及解析：

13.

【分析】

首先由斜二测图形还原平面图形，然后求解其面积即可.

【详解】由几何关系可得，斜二测图形中：，

由斜二测图形还原平面图形，则原图是一个直角梯形，其中上下底的长度分别为1,2，高为，其面积.

【点睛】本题主要考查斜二测画法，梯形的面积公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

14.

如图所示，在正方体ABCD - A1B1C1D1中，点M是棱CD的中点，动点N在体对角线A1C上（点N与点A1，C不重合），则平面AMN可能经过该正方体的顶点是______.（写出满足条件的所有顶点）

答案及解析：

14.

【分析】

取中点E，取中点F, 在平面两侧，在平面两侧，分析即得解.

【详解】

见上面左图，取中点E，因为ME,所以A,M,E,四点共面，在平面两侧，所以和平面交于点N,此时平面AMN过点A, ;

见上面右图，取中点F,因为,所以四点共面，在平面两侧，所以和平面交于点N,此时平面AMN过点A, ;

综上，平面可能经过该正方体的顶点是.

故答案为：

【点睛】本题主要考查棱柱的几何特征和共面定理，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

15.

棱长均为1m的正三棱柱透明封闭容器盛有am3水，当侧面AA1B1B水平放置时，液面高为hm （如图1）； 当转动容器至截面A1BC水平放置时，盛水恰好充满三棱锥（如图2），则a=___；h= _____．

答案及解析：

15.   

【分析】

利用体积相等得出，进而算出，进而得出，通过面积的比值，进而求出的值，得到答案．

【详解】由题意，正三棱柱的棱长均为，

所以，

由题意可得，

又由得，

∴，∴

∵，∴，∴

在等边中，边上的高为

因为，∴

故答案为：．

【点睛】本题主要考查了空间几何体的体积公式的应用，其中解答中熟记空间几何体的结构特征，合理利用椎体的体积公式和三棱锥的结构特征求解是解答的关键，着重考查了空间想象能，以及推理与运算能力，属于中档试题．

16.

足球运动是一项古老的体育活动，众多的资料表明，中国古代足球的出现比欧洲早，历史更为悠久，如图，现代比赛用足球是由正五边形与正六边形构成的共32个面的多面体，著名数学家欧拉证明了凸多面体的面数(F)，顶点数(V)，棱数(E)满足F+V-E=2，那么，足球有______.个正六边形的面，若正六边形的边长为，则足球的直径为______.cm(结果保留整数)(参考数据

答案及解析：

16.20 ； 22

【分析】

首先根据足球表面的规律，设正五边形为块，正六边形为块，列出方程组，解方程组即可.分别计算正六边形和正五边形的面积，从而得到足球的表面积，再利用球体表面积公式即可得到足球的直径.

【详解】因为足球是由正五边形与正六边形构成，

所以每块正五边形皮料周围都是正六边形皮料，

每两个相邻的多边形恰有一条公共边，每个顶点处都有三块皮料，

而且都遵循一个正五边形，两个正六边形结论.

设正五边形为块，正六边形为块，有题知：

，解得.

所以足球有20个正六边形的面.

每个正六边形的面积为.

每个正五边形的面积为.

球的表面积

.

所以，.

所以足球的直径为.

故答案为：20，22.

【点睛】本题主要通过传统文化背景，考查球体的直径和表面积公式，同时考查了学生理解问题的能力，属于中档题.

三、解答题（本题共6道小题,第17题10分,第18题12分,第19题12分,第20题12分,第21题12分,第22题12分,共70分）

17.

如图所示，在三棱柱ABC - A1B1C1中，△ABC与△A1B1C1都为正三角形，且平面ABC， F、F1分别是AC、A1C1的中点.

求证：（1）平面平面；

（2）平面平面.

答案及解析：

17.(1)见解析.(2)见解析.

【分析】

（1）由分别是的中点，证得，由线面平行的判定定理，可得平面，平面，再根据面面平行的判定定理，即可证得平面平面.

（2）利用线面垂直的判定定理，可得平面，再利用面面垂直的判定定理，即可得到平面平面.

【详解】（1）在三棱柱中，

因为分别是的中点，所以，

根据线面平行的判定定理，可得平面，平面

又，

∴平面平面.

（2）在三棱柱中，平面，所以，

又，，所以平面，

而平面，所以平面平面.

【点睛】本题考查线面位置关系的判定与证明，熟练掌握空间中线面位置关系的定义、判定、几何特征是解答的关键，其中垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直．

18.

如图所示，在长方体ABCD - A1B1C1D1中，， 为棱CC1上—点.

(1)若，求异面直线A1M和C1D1所成角的大小；

(2)若，求证平面.

答案及解析：

18.(1) ；(2)证明详见解析.

【分析】

(1) 由,得是异面直线和所成角,由此能示出异面直线和所成角的正切值；

(2) 时,由勾股定理逆定理得,,由此能证明平面.

【详解】(1),

是异面直线和所成角,

∵在长方体中,平面,

,

,,,M为棱上一点,,

,

,

即异面直线和所成角的大小为.

(2) 时,,

,.

,,

,

,

又,平面.

【点睛】本题考查异面直线所成角的正切值的求法,考查直线与平面的证明,解题时要注意空间思维能力的培养.

19.

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为矩形，E为PC的中点，且，，.

（1）求证：PA∥平面BDE；

（2）若点F为线段PC上一点，且，求四棱锥F-ABCD的体积.

答案及解析：

19.（1）见解析  （2）6

【分析】

（1）连接交于点，得出点为的中点，利用中位线的性质得出，再利用直线与平面平行的判定定理可得出平面；

（2）过作交于，由平面，得出平面，可而出，结合，可证明出平面，可得出，并计算出，利用平行线的性质求出的长，再利用锥体的体积公式可计算出四棱锥的体积.

【详解】（1）连接交于，连接.

四边形为矩形，∴为中点.

又为中点，∴.

又平面，平面，

∴平面；

（2）过作交于.

∵平面，∴平面.

又平面，∴.

∵，，，平面，

∴平面.连接，则，

又是矩形，易证，而，，得，

由得，∴.

又矩形的面积为8，∴.

【点睛】本题考查直线与平面平行的证明，以及锥体体积的计算，直线与平面平行的证明，常用以下三种方法进行证明：

（1）中位线平行；（2）平行四边形对边平行；（3）构造面面平行来证明线面平行

一般遇到中点找中点，根据已知条件类型选择合适的方法证明。

20.

如图长方体ABCD - A1B1C1D1中，，E、F分别为棱AB，A1D1的中点

（1）求证:平面EFC⊥平面BB1D；

（2）请在答题卡图形中画出直线DB1与平面EFC的交点O（保留必要的辅助线），写出画法并计算的值（不必写出计算过程）．

答案及解析：

20.(1)见证明；(2) ；画图见解析

【分析】

（1）推导出平面，得出，得出，从而得到，进而证出平面，由此证得平面平面．

（2）根据通过辅助线推出线面平行再推出线线平行，再根据“一条和平面不平行的直线与平面的公共点即为直线与平面的交点”得到点位置，然后计算的值．

【详解】（1）证明：在长方体中，，

分别为棱，的中点，所以平面，则，

在中，，

在中，，

所以，因为在中，，所以，所以，又因为，所以平面，因为平面，所以平面平面

（2）

如图所示：设，连接，取中点记为，过作，且，则.

证明：因为为中点，所以且；又因为，且，所以且，所以四边形为平行四边形，则；又因为，所以，且平面，所以平面；又因为，则，平面，即点为直线与平面的交点；

因为，所以，则；且有上述证明可知：四边形为平行四边形，所以，所以，

因为，.

【点睛】本题考查线面位置关系的判定与证明，熟练掌握空间中线面位置关系的定义、判定、几何特征是解答的关键，其中垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直．

21.

如图,四边形ABCD为矩形,且平面ABCD, ,E为BC的中点.

（1）求证:；

（2）求三棱锥的体积；

（3）探究在PA上是否存在点G,使得EG∥平面PCD，并说明理由.

答案及解析：

21.（1）见解析;（2）;（3）见解析.

【分析】

(1)连结,由几何体的空间结构可证得,利用线面垂直的定义可知.

(2)由(1)知为腰长为1的等腰直角三角形,结合题意转化顶点可得.

(3)在上存在中点,使得.取的中点,连结. 易证得四边形EGHC是平行四边形,所以EG//CH,结合线面平行的判断定理可知EG//平面PCD.

【详解】(1)连结,∵为的中点,,

∴为等腰直角三角形,

则,同理可得,∴,∴,

又,且, ∴,  

又∵,∴,又,∴.

(2)由(1)知为腰长为1的等腰直角三角形,

∴,而是三棱锥的高,

∴.

(3)在上存在中点,使得.理由如下:

取的中点,连结.

∵是的中点, ∴,且,      

又因为E为BC的中点,且四边形ABCD为矩形,所以EC//AD,且EC=AD,

所以EC//GH,且EC=GH,所以四边形EGHC是平行四边形,所以EG//CH,

又EG平面PCD,CH平面PCD,所以EG//平面PCD.

【点睛】本题主要考查线面垂直的判断定理，线面垂直的判断定理，棱锥的体积公式，立体几何中探索问题的处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

22.

如图，在四棱锥A-DCBE中，，底面DCBE为平行四边形，DC⊥平面ABC．

（1）求证：．

（2）若，，，求三棱锥的体积．

（3）设平面ADE∩平面ABC=直线l，试判断BC与l的位置关系，并证明．

答案及解析：

22.（1）见解析；（2）；（3）见解析.

试题分析：（1）根据题意得到，，面从而得到线线垂直；（2）由图形特点得到面，代入数据称可得到体积值.

解析：

（1）证明：∵面，

面，

∴，

又∵，

面，

面，，

∴面，

∵底面为平行四边形，

∴，

∴面．

（2）∵底面为平行四边形，

面，

∴面，

∴．

（3）．

证明：∵底面为平行四边形，

∴，

∵面，面，

∴面，

又∵面面，

面，

∴．