精品解析：北京交大附中2019-2020学年高一（下）期末数学试题

2019－2020学年北京交大附中高一（下）期末数学试卷

一、选择题

1. 已知角的终边经过点，则的值为（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

由条件利用任意角的三角函数的定义,求得的值．

【详解】解:∵角的终边经过点,

∴,,,

则，

故选:B

【点睛】本题考查已知终边上一点求三角函数值,属于基础题.

2. 已知向量，.若，则实数的值为（    ）

A. －2 B. 2 C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求出的值.

【详解】解：∵向量，，若，则，

∴实数，

故选：A.

【点睛】本题考查向量垂直的求参，重在计算，属基础题.

3. 在△中，若，，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

直接利用正弦定理计算得到答案.

【详解】根据正弦定理：，故，解得.

故选：B.

【点睛】本题考查了正弦定理，意在考查学生的计算能力.

4. 已知三条不同的直线，，和两个不同的平面，下列四个命题中正确的为（    ）

A. 若，，则 B. 若，，则

C. 若，，则 D. 若，，则

【答案】D

【解析】

【分析】

根据直线和平面，平面和平面的位置关系，依次判断每个选项得到答案.

【详解】A. 若，，则，或相交，或异面，A错误；

B. 若，，则或，B错误；

C. 若，，则或相交，C错误；   

D. 若，，则，D正确.

故选：D.

【点睛】本题考查了直线和平面，平面和平面的位置关系，意在考查学生的推断能力和空间想象能力.

5. 函数的最小正周期为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

化简得到，利用周期公式得到答案

【详解】，故周期.

故选：A.

【点睛】本题考查了二倍角公式，三角函数周期，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.

6. 已知，且，那么（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据，且得，再根据同角三角函数关系求解即可得答案.

【详解】解：因为，，

故， ，

又，

解得：

故选：B

【点睛】本题考查同角三角函数关系求函数值，考查运算能力，是基础题.

7. 函数的最大值为（   ）

A.  B. 1 C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

先利用诱导公式化简整理得，即得最大值.

【详解】由诱导公式可得，

则 ，

函数的最大值为.

故选：A.

【点睛】本题考查了诱导公式和三角函数最大值，属于基础题.

8. 已知直线，，平面，，，，，那么“”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

【分析】

根据面面垂直的判定定理和面面垂直的性质定理即可得到结论.

【详解】若，则在平面内必定存在一条直线有，

因为，所以，若，则，

又，即可得，反之，若，

由，，可得，又，则有.

所以“”是“”的充分必要条件.

故选：C

【点睛】本题主要考查面面垂直的判定和性质定理，以及线面平行的判定定理，属于中档题.

二、填空题

9. 已知向量，，则向量，夹角的大小为______.

【答案】

【解析】

【分析】

直接利用，即可能求出向量与的夹角大小.

【详解】∵平面向量，，

∴，

又∵，∴，

∴向量与的夹角为，故答案为．

【点睛】本题考查两向量的夹角的求法，解题时要认真审题，注意平面向量坐标运算法则的合理运用，是基础题．

10. 已知向量与的夹角为120°，且，那么的值为______.

【答案】－8

【解析】

【分析】

先根据数量积的分配律将所求式子展开，再由平面向量数量积的运算法则即可得解.

【详解】解：.

故答案为： -8.

【点睛】本题考查数量积的计算，此类问题一般利用数量积的运算律和定义来处理，本题属于基础题.

11. 在平面直角坐标系中，角的终边过点，则___；将射线（为坐标原点）按逆时针方向旋转后得到角的终边，则___.

【答案】    (1).     (2). ；

【解析】

【分析】

由题意利用任意角的三角函数的定义，诱导公式，求得、的值．

【详解】∵角的终边过点，则，

将射线（为坐标原点）按逆时针方向旋转后得到角的终边，

则，

故答案为，.

【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，设是一个任意角，它的终边上异于原点的一个点的坐标为，那么，，，诱导公式，属于基础题．

12. 已知，则值为______.

【答案】－1

【解析】

【分析】

由求得的值，再化简并计算所求三角函数值.

【详解】解：由，得，即；

所以

=－1.

故答案为：－1.

【点睛】本题考查了二倍角的余弦公式、诱导公式，需熟记公式，考查了基本运算求解能力，属于基础题.

13. 已知函数.若，则函数的单调增区间为______.

【答案】，

【解析】

【分析】

由已知函数关系式可得函数周期为，又由已知条件可得，取到最大值和最小值，进而可求出，继续利用函数单调性求出单调增区间.

【详解】因为函数，所以函数周期为.

若，则，，

故，，

且，，

即，

故，

令，求得，，

故答案为：，.

【点睛】本题考查三角函数的应用，重在对基础函数性质的理解，考查分析能力，属基础题.

14. 函数图象如图，则的值为______，的值为______.

【答案】    (1).     (2).

【解析】

【分析】

根据图象过点，结合的范围求得的值，再根据五点法作图求得，可得函数的解析式.

【详解】由函数图象过点，可得，则，

又，∴，

∴.

再根据五点法作图可得，，∴.

故答案为：；.

【点睛】由图像确定表达式，要注意完整读出图像所给出的条件,准确求出参数值.

三、解答题

15. 函数.

（1）求函数的单调递增区间和最小正周期；

（2）请用“五点法”画出函数在长度为一个周期的闭区间上的简图（先在所给的表格中填上所需的数值，再画图）；

（3）求函数在上的最大值和最小值，并指出相应的的值.

【答案】（1）单调递增区间是，；最小正周期；（2）填表见解析；作图见解析；（3）最大值为2，最小值为－1，时取得最小值，时取得最大值.

【解析】

【分析】

（1）根据正弦函数的图象与性质求出函数的单调递增区间和最小正周期；

（2）列表，描点、连线，画出函数在长度为一个周期闭区间上的简图；

（3）求出时函数的最大值和最小值，以及对应的值.

【详解】解：（1）函数，

令，；

解得，；

即，；

所以函数的单调递增区间是，；

最小正周期；

（2）填写表格如下；

用“五点法”画出函数在长度为一个周期的闭区间上的简图为；

（3）时，，，

所以函数在上取得最大值为2，最小值为－1，

且时取得最小值，时取得最大值.

【点睛】本题考查正弦型函数的性质以及“五点法”作图，本题要掌握基础函数的性质以及整体法的应用，同时熟悉“五点法”作图，考查分析能力以及作图能力，属中档题.

16. 如图，在四边形中，，，，，.

（1）求的大小；

（2）求的长；

（3）求四边形的面积.

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

【分析】

（1）利用余弦定理求出即得解；

（2）利用余弦定理求出即得解；

（3）由三角形面积公式分别求得和的面积，即可得解.

【详解】（1）在中，，，，

由余弦定理可得，

因为为三角形内角，所以.

（2）在中，，，，

由余弦定理可得，

所以.

（3），

，

所以四边形的面积为.

【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形和三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

17. 如图，在三棱锥中，，，，分别是，，的中点，求证：

（1）平面；

（2）平面；

（3）平面平面；

（4）请在图中画出平面截三棱锥的截面，判断截面形状并说明你的理由；

（5）若.求出第（4）问中的截面面积.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析；（4）作图见解析；截面为矩形；答案见解析；（5）4.

【解析】

【分析】

（1）由线面垂直的判定定理即可得证；

（2）由三角形的中位线定理和线面平行的判定定理，即可得证；

（3）推得平面，再由面面垂直的判定定理，即可得证；

（4）可取的中点，连接，，可得截面，由三角形的中位线定理，以及线面垂直的性质定理，可得截面为矩形；

（5）判断截面为边长为2的正方形，可得截面的面积.

【详解】解：（1）证明：由，可得，，

又，则平面；

（2）证明：由为的中位线，可得，

且平面，平面，则平面；

（3）证明：由平面，平面，

得，又，，

所以平面，又平面，

所以平面平面；

（4）可取的中点，连接，，截面为所求截面.

由为的中位线，可得，，

又，，所以，且，

可得四边形为平行四边形，

由，，，可得，

则截面矩形；

（5）若，可得截面为边长为2的正方形，其面积为4.

【点睛】本题考查空间中线面平行、线面垂直、面面垂直的证明，三类问题的证明，都需要利用位置关系的判断定理来考虑，后两者注意三种垂直关系的转化，本题属于中档题.

18. 如图，已知正方形所在平面和平行四边形所在平面互相垂直，平面平面，，是线段上的一点且平面.

（1）求证：平面平面；

（2）求证：是线段的中点；

（3）求证：平面.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.

【解析】

【分析】

（1）易知，，由面面平行判定定理即可得证；

（2）设，连接，由平面，可推出，而为的中点，故得证；

（3）由平面平面，，可推出平面，故；由平面平面，，可推出平面，故；再由线面垂直的判定定理即可得证.

【详解】证明：（1）∵平行四边形，∴，

面，面，

面，

∵为正方形，∴，

面，面，

面，

又，

∴平面平面.

（2）设，连接，则为的中点，

∵平面，平面，

平面平面，

∴.

又为的中点，

∴为线段的中点.

（3）∵平面平面，平面平面，，

∴平面，∴.

∵平面平面，平面平面，，

∴平面，∴.

又，、平面，

∴平面.

【点睛】本题考查了线面平行的判定定理、线面平行的性质定理、面面垂直的性质定理以及线面垂直的判定定理，考查了逻辑推理能力，属于基础题.

19. 利用周期知识解答下列问题：

（1）定义域为的函数同时满足以下三条性质：

①存在，使得；

②对于任意，有；

③不是单调函数，但是它图象连续不断，

写出满足上述三个性质的一个函数，则______（不必说明理由）

（2）说明：请在（i）、（ii）问中选择一问解答即可，两问都作答的按选择（i）计分.

（i）求的最小正周期并说明理由.

（ii）求证：不是周期函数.

【答案】（1）（答案不唯一）；（2）答案不唯一，具体见解析.

【解析】

【分析】

（1）由已知条件可取（答案不唯一）

（2）若选择（i）我们知道与的周期分别为：，.让它们的整数倍相等即可得出函数的最小正周期.

（ii）我们知道与周期分别为：，2.而与2的整数倍不可能相等，即可证明结论.

【详解】解：（1）（答案不唯一）.

故答案为：.

（2）若选择（i）我们知道与的周期分别为：，.

取，则，而，

可得：是函数的最小正周期.

（ii）证明：我们知道与的周期分别为：，2.

而与2的整数倍不可能相等，因此不是周期函数.

【点睛】本题考查了三角函数的性质，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.