2019-2020学年人教B版（2019）高一数学下学期期末冲刺满分训练一（原卷+解析）

2019—2020学年高一年级下学期期末冲刺满分训练卷一

数学试题

（范围：新教材人教B版 必修三、必修四   考试时间：90分钟  满分：150分）

一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）

1.

已知向量，，则＝（     ）

A.－1 B. 0 C. 1 D. 2

答案及解析： C

【分析】

由向量的坐标运算表示，再由数量积的坐标运算即可得解.

【详解】解：因为，则；

故选C．

【点睛】本题考查了向量的加法和数量积的坐标运算；属于基础题目．

2.

若，且是第二象限角，则的值等于（ ）

A.  B.  C.  D.

答案及解析：C

解析：，由是第二象限角知，所以

3.

设复数z满足，则z= （      ）

A.  B.  C.  D.

答案及解析：A

试题分析：

考点：复数的运算

4.

2018年科学家在研究皮肤细胞时发现了一种特殊的凸多面体, 称之为“扭曲棱柱”. 对于空间中的凸多面体, 数学家欧拉发现了它的顶点数, 棱数与面数存在一定的数量关系.

根据上表所体现的数量关系可得有12个顶点，8个面的扭曲棱柱的棱数是（  ）

A. 14 B. 16 C. 18 D. 20

答案及解析：C

【分析】

分析顶点数, 棱数与面数的规律，根据规律求解.

【详解】易知同一凸多面体顶点数, 棱数与面数的规律为：

棱数＝顶点数＋面数－2，

所以，12个顶点，8个面的扭曲棱柱的棱数＝12＋8－2＝18.

故选C.

【点睛】本题考查逻辑推理，从特殊到一般总结出规律.

5.已知，则（    ）

A.  B.  C.  D.

答案及解析：C

【分析】将角表示为，再利用诱导公式可得出结果.

【详解】，故选C.

【点睛】本题考查利用诱导公式求值，解题的关键就是弄清所求角与已知角之间的关系，考查计算能力，属于中等题.

6.

化简的结果是（  ）

A.  B.  C.  D.

答案及解析：B

【分析】

先用消去式子中的，再用二倍角公式可进一步对式子进行化简即得。

【详解】由题得原式，，，

，故选B。

【点睛】本题主要考查二倍角公式的运用，在开二次根号时需要注意开出的数必须为正数。

7.

已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题正确的是（  ）

A. 若，则

B. 若，则

C. 若，且，则

D. 若，且，则

答案及解析：D

【分析】

根据空间中直线和平面的位置关系分别去判断各个选项，均可举出反例；可证明得出.

【详解】若，，则或与异面或与相交，故选项错误；

若，，则与可能相交，故选项错误；

若直线不相交，则平面不一定平行，故选项错误；

，    或，又    ，故选项正确.

本题正确选项：

【点睛】本题考查空间中直线、平面之间位置关系有关命题的判断，考查学生的空间想象能力和对定理的掌握程度.

8.

已知函数是奇函数，且f(x)的最小正周期为π，将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为.若，则=（    ）

A. －2 B.  C.  D. 2

答案及解析：C

【分析】

由奇函数求出，由周期性求出，再由求出，结合函数伸缩变换求出，即可求解.

【详解】函数是奇函数，

,的最小正周期为，，

，

.

故选:C.

【点睛】本题考查三角函数的性质以及函数图象间的变换关系，属于基础题.

9.

设非零向量，满足，，，则（    ）

A.  B.  C. 2 D.

答案及解析：A

【分析】

由可得，利用数量积的运算性质结合条件可得答案.

【详解】，.

，

.

故选：A

【点睛】本题考查利用向量垂直其数量积为零求向量的模长，属于中档题.

10.

如图，AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的任意一点，PA⊥平面ABC，则四面体P-ABC的四个面中，直角三角形的个数有（    ）

A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个

答案及解析：A

【分析】

由题意得出三角形ABC是直角三角形，根据线面垂直的性质定理得出PA垂直于AC，BC，从而得出两个直角三角形，又可证明BC垂直于平面PAC，从而得出三角形PBC也是直角三角形，从而问题解决．

【详解】∵AB是圆O的直径

∴∠ACB＝90°即BC⊥AC，三角形ABC是直角三角形

又∵PA⊥圆O所在平面，

∴△PAC，△PAB是直角三角形．

且BC在这个平面内，

∴PA⊥BC 因此BC垂直于平面PAC中两条相交直线，

∴BC⊥平面PAC，

∴△PBC是直角三角形．

从而△PAB，△PAC，△ABC，△PBC中，直角三角形的个数是：4．

故选：A．

【点睛】本题考查线面垂直的判定与性质定理的应用，要注意转化思想的应用，将线面垂直转化为线线垂直．

11.

若函数在上单调递减，则实数a的取值范围为(    )

A.  B.

C.  D.

答案及解析：A

【分析】

化简函数f（x），根据f（x）在区间上单调递减，f′（x）≤0恒成立，由此解不等式求出a的取值范围．

【详解】由函数，

且f(x)在区间上单调递减，

∴在区间上,f′(x)=−sin2x+3a(cosx−sinx)+2a−1≤0恒成立，

∵设，

∴当x∈时,,t∈[−1,1]，即−1≤cosx−sinx≤1，

令t∈[−1,1],sin2x=1−t2∈[0,1]，

原式等价于t2+3at+2a−2≤0，当t∈[−1,1]时恒成立，

令g(t)=t2+3at+2a−2，

只需满足或或，

解得或或，

综上，可得实数a的取值范围是，

故选：A.

【点睛】本题考查三角函数的公式及导数的应用，解题的关键是利用换元将不等式恒成立问题转化为一元二次不等式恒成立问题，属于较难题.

12.

如图，一个底面水平放置的倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，容器内有一定量的水，水深为h. 若在容器内放入一个半径为 1 的铁球后，水面所在的平面恰好经过铁球的球心O（水没有溢出），则h的值为（   ）

A.  B.  C.  D.

答案及解析：B

【分析】

作OD⊥AC，垂足为D，则球的半径r＝OD＝1，此时OA＝2r＝2，底面半径R＝2×tan30°，可得半球和水的体积和，从而得水的体积，将水的体积用h表示出来，进而求出h．

【详解】作OD⊥AC，垂足为D，则球的半径r＝OD＝1，此时OA＝2r＝2，底面半径R＝2×tan30°＝，当锥体内水的高度为h时，底面半径为h×tan30°＝h，

设加入小球后水面以下的体积为V′，原来水的体积为V，球的体积为V球．

所以水的体积为：，

解得：．

故选：B．

【点睛】本题考查锥体和球的体积公式的应用，考查运算求解能力，属于基础题．

二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）

13.

（1+tan17°）（1+tan28°）=______．

答案及解析：2

试题分析：由于原式=1+tan17°+tan28°+tan17°•tan28°，再由tan（17°+28°）==tan45°=1，可得tan17°+tan28°=1﹣tan17°•tan28°，代入原式可得结果．

解：原式=1+tan17°+tan28°+tan17°•tan28°，又tan（17°+28°）==tan45°=1，

∴tan17°+tan28°=1﹣tan17°•tan28°，

故 （1+tan17°）（1+tan28°）=2，

故答案为 2．

14.

，则sin2α+2sinαcosα﹣3cos2α＝_____．

答案及解析：

.

【分析】

根据，所以，再代入，得出，，，代入所求的表达式可得值.

【详解】因为，所以，
代入，则，，，
所以原式，

故答案为：.

【点睛】本题考查同角三角函数的关系，灵活运用其商数关系和平方关系是解决本题的关键，属于基础题.

15.

在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若，，则A=____.

答案及解析：

【分析】

由，根据正弦定理“边化角”，可得，根据余弦定理，结合已知联立方程组，即可求得角.

【详解】

根据正弦定理：

可得

根据余弦定理：

由已知可得：

故可联立方程：

解得：.

由

故答案为：.

【点睛】本题主要考查了求三角形的一个内角，解题关键是掌握由正弦定理“边化角”的方法和余弦定理公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.

16.

如图，已知在长方体ABCD - A1B1C1D1中，，点E为CC1上的一个动点，平面与棱AA1交于点F，给出下列命题：

①四棱锥的体积为20；

②存在唯一的点E，使截面四边形的周长取得最小值；

③当E点不与C，C1重合时，在棱AD上均存在点G，使得平面

④存在唯一一点E，使得平面，且

其中正确的命题是_____________（填写所有正确的序号）

答案及解析：.①②④

【分析】

①根据，再根据等体积转化，求出和，得到答案；②判断出截面四边形为平行四边形，将正方体侧面展开，面和面在同一平面内，得到最小为内的长度，从而得到截面四边形的周长的最小值；③取为中点时，在平面中，延长，交于，可得；④以点建立空间直角坐标系，根据线面垂直，得到点坐标，并求出.

【详解】长方体中，

命题①，

易知平面

到平面的距离，等于到平面的距离，为，

同理到平面的距离，等于到平面的距离，为

所以

，故正确.

命题②，易知平面平面，

平面平面，平面平面

所以，同理，

即四边形为平行四边形

将正方体侧面展开，面和面在同一平面内，

可得在内，最小为的长度，

此时点为与的交点，

所以四边形的周长取得最小值，故正确.

命题③，取为中点时，易知为中点

在平面中，延长，交于，

通过，得到，

所以，

即此时平面，

而此时点在延长线上，不在棱上，故错误.

命题④，以点建立空间直角坐标系，设点

，，

所以，即，

要使平面，

则需，即

所以，得，即，故正确.

故答案为：①②④

【点睛】本题考查等体积转化求四棱锥的体积，棱柱展开图中最短距离问题，线面平行的判定，已知线面垂直利用空间向量求线段的长，属于中档题.

三、解答题（本题共6道小题,第17题10分,第18题12分,第19题12分,第20题12分,第21题12分,第22题12分,共80分）

17.

在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知，.

（1）若，求a的值；

（2）若△ABC的面积，求sinB的值.

答案及解析：（1）；（2）

【分析】

（1）把的值代入求出，利用余弦定理表示出，将各自的值代入即可求出的值.

（2）利用平方关系求出，结合三角形的面积求出，的值，再由余弦定理求得，最后由正弦定理求得的值.

【详解】（1）由，，代入可得：

由余弦定理得：，

解得.

（2），

，

由，得，，

由，得，

由，得

所以.

【点睛】本题考查了正、余弦定理，三角形的面积公式以及同角三角函数的平方关系，熟记公式是关键，属于基础题.

18.

函数的一段图像过点（0,1），如图所示.

（1）求f(x)在区间上的最值；

（2）若,求的值.

答案及解析：(1)最小值-1，最大值1 (2)

【分析】

(1) 由三角函数的图象和性质求出函数解析式，根据结合正弦函数图象和性质求其值域即可 (2) 由可求利用同角三角函数关系及诱导公式即可求值.

【详解】（1）由题图知，于是

将的图像向左平移个单位长度，得到的图像.

因，所以，将代入，得，

故.

因为，所以，

所以所以，

即

（2）因为且

所以，即.

又因为，所以，

所以

【点睛】本题主要考查了正弦型三角函数的图象及性质，三角函数值域的求法，同角三角函数的关系及诱导公式，属于中档题．

19.

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，在直角梯形ABCD中，，，，E为线段BC的中点

（1）求证：平面PDE⊥平面PAD

（2）在线段PB上是否存在点F ，使得EF∥平面PCD ?若存在，求出点F的位置；若不存在，请说明理由

（3）若Q 是PC中点，，，，，求三棱锥P-ABQ的体积.

答案及解析：

19.（1）见证明；（2）见解析；（3）

【分析】

（1）先证明四边形为矩形，得出，进而得出平面，最后得证面面垂直。

（2）先取中点，证明，进而得出线面平行。

（3）衔接，先平面，进而得出证明平面最后求解体积即可。

【详解】，，E是BC中点

，

四边形ABED是平行四边形

四边形 为矩形

平面，

，

平面

平面

平面平面

（2）取中点F连接

中，

平面，平面

平面

当 为中点时，使得平面；

（3）连接 ， 是 的中点

，，，，

，，

平面

，，

平面 ，平面

【点睛】本题考查线线垂直证明线面垂直再得面面垂直的证明过程，学生要熟练掌握；线面平行的证明的关键是线线平行，构造中位线是常见的处理方法。对于探索型问题，先猜想后证明。

20.

在①acosB+bcosA=cosC；②2asinAcosB+bsin2A=a；③△ABC的面积为S，且4S=(a2+b2-c2)，这三个条件中任意选择一个，填入下面的问题中，并求解，在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，函数f(x)=2sinωxcosωx+2cos2ωx的最小正周期为π，c为f(x)在[0，]上的最大值，求a-b的取值范围.注:如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分.

答案及解析：三种情况，a-b的取值范围都是

【分析】

对于①，利用正弦定理结合条件得到角C的大小，再用正弦定理用角A表示边a，b，从而得到三角函数式，进而用三角恒等变换和三角函数有界性得到结果；对于②，利用正弦定理，结合条件得到角C的大小，同①得到结果；对于③，利用余弦定理，结合条件得到角C的大小，同①得到结果.

【详解】函数=2sinωxcosωx+2cos2ωx

，

函数的最小正周期为π，则，，

当[0，]，，

，故c=3,

若选①，acosB+bcosA=cosC,

由正弦定理得

可得，

,

又C为三角形内角，则，

由正弦定理得，

∴，，

则

,

因为

故.

若选②，2asinAcosB+bsin2A=a，

由正弦定理得，

，

，

又C为三角形内角，则，（舍去），

由正弦定理得，

∴，，

则

,

因为

故.

若选③，△ABC的面积为S，且4S=(a2+b2-c2)，

可得,

,

,

又C为三角形内角，则，

由正弦定理得，

∴，，

则

,

因为

故.

【点睛】本题主要考查解三角形、三角恒等变换等知识，考查考生的转化与化归能力、运算求解能力，属于中等题.

21.

在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c且.

（1）求角C的值；

（2）若△ABC为锐角三角形,且,求的取值范围.

答案及解析：（1）；（2）.

试题分析：(1)在三角形中处理边角关系时，一般全部转化为角的关系，或全部转化为边的关系.题中若出现边的一次式一般采用正弦定理，出现边的二次式一般采用余弦定理，应用正弦、余弦定理时，注意公式变形的应用，解决三角形问题时，注意角的限制范围;(2)在三角形中，注意隐含条件，（3）注意锐角三角形的各角都是锐角.（4）把边的关系转化成角，对于求边的取值范围很有帮助

试题解析：（1）由，得，

所以，则，由，。

（2）由（1）得，即，

又△ABC为锐角三角形，故从而．

由，所以

所以,

所以

因为

所以

即

考点：余弦定理的变形及化归思想

22.

如图，已知点P在圆柱OO1的底面⊙O上，AB、A1B1分别为⊙O、⊙O1的直径，且平面PAB．

（1）求证：；

（2）若圆柱的体积，

①求三棱锥A1﹣APB的体积．

②在线段AP上是否存在一点M，使异面直线OM与A1B所成角的余弦值为？若存在，请指出M的位置，并证明；若不存在，请说明理由．

答案及解析：（1）见解析；（2）①，②见解析

【分析】

（1）根据，得出平面，故而；（2）①根据圆柱的体积计算，根据计算，，代入体积公式计算棱锥的体积；②先证明就是异面直线与所成的角，然后根据可得，故为的中点．

【详解】（1）证明：∵P在⊙O上，AB是⊙O的直径，

平面 又，

平面，又平面，故．

（2）①由题意，解得，

由，得，，

∴三棱锥的体积．

②在AP上存在一点M，当M为AP的中点时，使异面直线OM与所成角的余弦值为．

证明：∵O、M分别为的中点，则，

就是异面直线OM与所成的角，

又，

在中，．

∴在AP上存在一点M，当M为AP的中点时，使异面直线OM与所成角的余弦值为．

【点睛】本题主要考查了线面垂直的判定与性质，棱锥的体积计算以及异面直线所成的角，属于中档题．