初中数学人教版九年级上册21.2 解一元二次方程综合与测试课时练习

这是一份初中数学人教版九年级上册21.2 解一元二次方程综合与测试课时练习，共16页。试卷主要包含了 填空等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8道小题）





1. 方程3x(2x+1)＝2(2x+1)的两个根为（ ）


A.x1=23,x2=0B.x1=23,x2=12C.x1=32,x2=−12D.x1=23,x2=−12





2. 下列一元二次方程中，没有实数根的是( )


A.x2−2x=0B.x2+4x−1=0C.2x2−4x+3=0D.3x2=5x−2





3. 一元二次方程(x+1)(x−1)=2x+3的根的情况是( )


A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根


C.只有一个实数根D.没有实数根








4. 当b+c=5时，关于x的一元二次方程3x2+bx−c=0的根的情况为( )


A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根


C.没有实数根D.无法确定








5. 对于二次三项式−x2+4x−5的值，下列叙述正确的是（ ）


A.一定为正数B.一定为负数


C.正、负都有可能D.一定小于−1








6. 代数式x2−4x−2020的最小值是（ ）


A.−2018B.−2020C.−2022D.−2024





7. 以x=b±b2+4c2为根的一元二次方程可能是（ ）


A.x2+bx+c＝0B.x2+bx−c＝0C.x2−bx+c＝0D.x2−bx−c＝0





8. 如果关于x的一元二次方程k2x2−(2k+1)x+1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是( )


A.k>−14B.k>−14且k≠0C.k<−14D.k≥−14且k≠0


二、填空题（本大题共8道小题）





9. 若(m+2)x​m2−2+3x−1＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为________．





10. 填空：


（1）x2+4x+(________)＝(x+________)2；





（2）x2+(________)x+254=(x−52)2；





（3）x2−73x+(________)＝(x−________)2；





（4）x2−px+(________________)＝(x−________________





11. 方程(3x−4)2−(3x−4)＝0的解是________．





12. 一元二次方程4x2+12x+9＝0的解为________．





13. 三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2−6x+8=0的解，则此三角形的周长是________．





14. 一元二次方程4x2＝3x的解是________．





15. 关于x的方程kx2−4x−4＝0有两个不相等的实数根，则k的最小整数值为________．





16. 已知方程x2−6x+q＝0可转化为x−3＝±7，则q＝________．


三、解答题（本大题共4道小题）





17. 我们已经学习了一元二次方程的四种解法：因式分解法、直接开平方法、配方法和公式法．请选择适当的方法解下列方程：


（1）x2−3x+1＝0；





（2）(x−1)2＝3；





（3）x2+23x+19=0；





（4）x2−2x＝4．





18. 关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2−1=0有两个不相等的实数根．


(1)求m的取值范围；





(2)写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根．





19. 古希腊数学家丢番图（公元250年前后）在《算术》中就提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式，只能用图解等方法来求解．在欧几里得的《几何原本》中，形如x2+ax＝b2(a>0, b>0)的方程的图解法是：如图，以a2和b为两直角边作Rt△ABC，再在斜边上截取BD=a2，则AD的长就是所求方程的解．





（1）请用含字母a、b的代数式表示AD的长．





（2）请利用你已学的知识说明该图解法的正确性，并说说这种解法的遗憾之处．





20. 已知关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2−1=0有两个不相等的实数根．


(1)求m的取值范围；





(2)设x1，x2是方程的两根且x12+x22+x1x2−17=0，求m的值．





参考答案与试题解析


新人教版九年级上册《21.2 解一元二次方程》2020年同步练习卷（1）


一、选择题（本大题共8道小题）


1.


【答案】


D


【考点】


解一元二次方程-因式分解法


【解析】


先变形得到3x(2x+1)−2(2x+1)＝0，然后利用因式分解法解方程．


【解答】


3x(2x+1)−2(2x+1)＝0，


(2x+1)(3x−2)＝0，


2x+1＝0或3x−2＝0，


所以x1=−12，x2=23．


2.


【答案】


C


【考点】


根的判别式


【解析】


利用根的判别式△=b2−4ac分别进行判定即可．


【解答】


解：A，Δ=4>0，有两个不相等的实数根，故此选项不合题意；


B，Δ=16+4=20>0，有两个不相等的实数根，故此选项不合题意；


C，Δ=16−4×2×3=−8<0，没有实数根，故此选项符合题意；


D，Δ=25−4×3×2=25−24=1>0，有两个不相等的实数根，故此选项不合题意.


故选C.





3.


【答案】


A


【考点】


根的判别式


【解析】


先化成一般式后，在求根的判别式．


【解答】


解：原方程可化为：x2−2x−4=0，


∴ a=1，b=−2，c=−4，


∴ Δ=(−2)2−4×1×(−4)=20>0，


∴ 方程有两个不相等的实数根．


故选A.


4.


【答案】


A


【考点】


根的判别式


【解析】


由b+c＝5可得出c＝5−b，根据方程的系数结合根的判别式可得出△＝(b−6)2+24，由偶次方的非负性可得出(b−6)2+24>0，即△>0，由此即可得出关于x的一元二次方程3x2+bx−c＝0有两个不相等的实数根．


【解答】


解：∵ b+c=5，


∴ c=5−b．


Δ=b2−4×3×(−c)=b2+12c=b2−12b+60=(b−6)2+24．


∵ (b−6)2≥0，


∴ (b−6)2+24>0，


∴ Δ>0，


∴ 关于x的一元二次方程3x2+bx−c=0有两个不相等的实数根．


故选A.


5.


【答案】


B


【考点】


非负数的性质：算术平方根


配方法的应用


非负数的性质：绝对值


非负数的性质：偶次方


【解析】


利用配方法将−x2+4x−5进行配方，再利用非负数的性质得出答案．


【解答】


∵ −x2+4x−5＝−(x2−4x+4)−1＝−(x−2)2−1<0，


∴ 原式一定为负数．


6.


【答案】


D


【考点】


非负数的性质：算术平方根


配方法的应用


非负数的性质：绝对值


非负数的性质：偶次方


【解析】


利用配方法把原式变形，根据非负数的性质解答．


【解答】


x2−4x−2020


＝x2−4x+4−4−2020


＝(x−2)2−2024．


∵ (x−2)2≥0，


∴ (x−2)2−2024≥−2024，即代数式x2−4x−2020的最小值是−2024，


7.


【答案】


D


【考点】


解一元二次方程-公式法


【解析】


对照求根公式确定二次项系数、一次项系数和常数项．


【解答】


根据求根公式知，−b是一次项系数，二次项系数是1或−1，常数项是−c或c．


所以，符合题意的只有D选项．


8.


【答案】


B


【考点】


根的判别式


【解析】


若一元二次方程有两不等根，则根的判别式△＝b2−4ac>0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．


【解答】


解：由题意知，k≠0，方程有两个不相等的实数根，


所以Δ>0，


Δ=b2−4ac=(2k+1)2−4k2=4k+1>0．


又∵ 方程是一元二次方程，∴ k≠0，


∴ k>−14且k≠0．


故选B.


二、填空题（本大题共8道小题）


9.


【答案】


2


【考点】


一元二次方程的定义


【解析】


根据一元二次方程的定义列出方程和不等式，解方程和不等式得到答案．


【解答】


由题意得，m2−2＝2，m+2≠0，


解得，m＝2，


10.


【答案】


4,2


−5


4936,76


p24,p2,,）​2


【考点】


配方法的应用


【解析】


根据配方法的步骤首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式．


【解答】


x2+4x+4＝(x+2)2；


x2+(−5)x+254=(x−52)2；


x2−73x+4936=(x−76)2；


x2−px+p24=(x−p2)2．


故答案为：4，2，−5，4936，76，p24，p2．


11.


【答案】


x1=43，x2=53


【考点】


一元二次方程的解


【解析】


根据因式分解法解一元二次方程的步骤求解即可．


【解答】


(3x−4)2−(3x−4)＝0，


(3x−4)(3x−4−1)＝0，


3x−4＝0，或3x−5＝0，


解得x1=43，x2=53．


12.


【答案】


x1＝x2=−32


【考点】


解一元二次方程-配方法


【解析】


利用配方法求解可得．


【解答】


原方程可化为(2x+3)2＝0，


∴ 2x+3＝0，


∴ x1＝x2=−32．


13.


【答案】


13


【考点】


解一元二次方程-因式分解法


三角形三边关系


【解析】


求出方程的解，有两种情况：x=2时，看看是否符合三角形三边关系定理；x=4时，看看是否符合三角形三边关系定理；求出即可．


【解答】


解：x2−6x+8=0，


(x−2)(x−4)=0，


x−2=0，x−4=0，


x1=2，x2=4，


当x=2时，2+3<6，不符合三角形的三边关系定理，所以x=2舍去，


当x=4时，符合三角形的三边关系定理，三角形的周长是3+6+4=13．


故答案为：13．


14.


【答案】


x1＝0，x2=34


【考点】


解一元二次方程-因式分解法


【解析】


移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．


【解答】


4x2＝3x，


4x2−3x＝0，


x(4x−3)＝0，


x＝0，4x−3＝0，


x1＝0，x2=34


15.


【答案】


1


【考点】


根的判别式


【解析】


根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到k≠0且b2−4ac>0，然后求出两个不等式的公共部分即可．


【解答】


∵ 关于x的方程kx2−4x−4＝0有两个不相等的实数根，


∴ k≠0且b2−4ac>0，即k≠0△=16+16k>0 ，解得k>−1且k≠0，


∴ k的最小整数值为：1．


16.


【答案】


2


【考点】


解一元二次方程-配方法


【解析】


将x−3＝±7两边平方后展开化简可得．


【解答】


由x−3＝±7，得(x−3)2＝7，


∴ x2−6x+9＝7，


∴ x2−6x+2＝0，


∴ q＝2，


三、解答题（本大题共4道小题）


17.


【答案】


∵ a＝1，b＝−3，c＝1，


∴ b2−4ac＝(−3)2−4×1×1＝5>0，


∴ x=−(−3)±52×1，


∴ x1=3+52，x2=3−52．


∵ (x−1)2＝3，


∴ x−1＝±3，


∴ x1＝1+3，x2＝1−3．


∵ (x+13)2＝0，


∴ x1＝x2=−13．


x2−2x+1＝4+1，即(x−1)2＝5，


∴ x−1＝±5，


∴ x1＝1+5，x2＝1−5．


【考点】


解一元二次方程-公式法


解一元二次方程-配方法


解一元二次方程-因式分解法


解一元二次方程-直接开平方法


【解析】


（1）利用公式法求解可得；


（2）利用直接开平方法求解可得；


（3）利用因式分解法求解可得；


（4）利用配方法求解可得．


【解答】


∵ a＝1，b＝−3，c＝1，


∴ b2−4ac＝(−3)2−4×1×1＝5>0，


∴ x=−(−3)±52×1，


∴ x1=3+52，x2=3−52．


∵ (x−1)2＝3，


∴ x−1＝±3，


∴ x1＝1+3，x2＝1−3．


∵ (x+13)2＝0，


∴ x1＝x2=−13．


x2−2x+1＝4+1，即(x−1)2＝5，


∴ x−1＝±5，


∴ x1＝1+5，x2＝1−5．


18.


【答案】


解：(1)∵ 关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2−1=0有两个不相等的实数根，


∴ Δ=(2m+1)2−4×1×(m2−1)=4m+5>0，


解得：m>−54．


(2)m=1，此时原方程为x2+3x=0，


即x(x+3)=0，


解得：x1=0，x2=−3．


【考点】


一元二次不等式


【解析】


（1）由方程有两个不相等的实数根即可得出△>0，代入数据即可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论；


（2）结合（1）结论，令m＝1，将m＝1代入原方程，利用因式分解法解方程即可得出结论．


【解答】


解：(1)∵ 关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2−1=0有两个不相等的实数根，


∴ Δ=(2m+1)2−4×1×(m2−1)=4m+5>0，


解得：m>−54．


(2)m=1，此时原方程为x2+3x=0，


即x(x+3)=0，


解得：x1=0，x2=−3．


19.


【答案】


∵ ∠C＝90∘，BC=a2，AC＝b，


∴ AB=b2+a24，


∴ AD=b2+a24−a2=4b2+a2−a2；


用求根公式求得：x1=−4b2+a2−a2；x2=4b2+a2−a2


正确性：AD的长就是方程的正根．


遗憾之处：图解法不能表示方程的负根．


【考点】


解一元二次方程-公式法


【解析】


（1）先根据勾股定理求得AB的长，再求AD的长．


（2）正确性：形象直观；遗憾之处：图解法不能表示方程的负根．


【解答】


∵ ∠C＝90∘，BC=a2，AC＝b，


∴ AB=b2+a24，


∴ AD=b2+a24−a2=4b2+a2−a2；


用求根公式求得：x1=−4b2+a2−a2；x2=4b2+a2−a2


正确性：AD的长就是方程的正根．


遗憾之处：图解法不能表示方程的负根．


20.


【答案】


解：(1)根据题意得：


Δ=(2m+1)2−4(m2−1)>0，


即4m+5>0，


解得：m>−54.


∴ m的取值范围为m>−54.


(2)根据题意得：


x1+x2=−(2m+1),x1x2=m2−1,


∴ x12+x22+x1x2−17


=(x1+x2)2−x1x2−17


=(2m+1)2−(m2−1)−17


=0，


化简得：3m2+4m−15=0，


解得：m1=53，m2＝−3（不合题意，舍去），


∴ m的值为53．


【考点】


根与系数的关系


根的判别式


【解析】


①根据“关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2−1＝0有两不相等的实数根”，结合判别式公式，得到关于m的不等式，解之即可，


②根据“x1，x2是方程的两根且x12+x22+x1x2−17＝0”，结合根与系数的关系，列出关于m的一元二次方程，解之，结合（1）的结果，即可得到答案．


【解答】


解：(1)根据题意得：


Δ=(2m+1)2−4(m2−1)>0，


即4m+5>0，


解得：m>−54.


∴ m的取值范围为m>−54.


(2)根据题意得：


x1+x2=−(2m+1),x1x2=m2−1,


∴ x12+x22+x1x2−17


=(x1+x2)2−x1x2−17


=(2m+1)2−(m2−1)−17


=0，


化简得：3m2+4m−15=0，


解得：m1=53，m2＝−3（不合题意，舍去），


∴ m的值为53．