2021年高考数学一轮精选练习：23《简单的三角恒等变换》(含解析)
展开2021年高考数学一轮精选练习：
23《简单的三角恒等变换》
一 、选择题
1.已知270°＜α＜360°，则三角函数式 化简结果是( )
A.sin B.－sin C.cos D.－cos
2.等于( )
A.－ B. C. D.1
3.已知f(x)=sin，若sinα=，则f=( )
A.－ B.－ C. D.
4.已知函数f(x)=sin4x＋cos4x，x∈，若f(x1)＜f(x2)，则一定有( )
A.x1＜x2 B.x1＞x2 C.x＜x D.x＞x
5.已知α∈R，sinα＋2cosα=，则tan2α=( )
A. B. C.－ D.－
6.若函数f(x)=5cosx＋12sinx在x=θ时取得最小值，则cosθ等于( )
A. B.－ C. D.－
7.已知sin(α＋β)=，sin(α－β)=，则log2等于( )
A.2 B.3 C.4 D.5
8.已知函数f(x)=sin2x＋sinxcosx，当x=θ时函数y=f(x)取得最小值，
则=( )
A.－3 B.3 C.－ D.
9.已知f(x)=sin＋cos的最大值为A，若存在实数x1，x2使得对任意实数x总有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则A|x1－x2|的最小值为( )
A. B. C. D.
二 、填空题
10.在△ABC中，A，B，C是△ABC的内角，设函数f(A)=2sinsin＋sin2－cos2，则f(A)的最大值为 .
11.已知α，β∈，tan(α＋β)=9tanβ，则tanα的最大值为 .
12.已知方程x2＋3ax＋3a＋1=0(a＞1)的两根分别为tanα，tanβ，且α，β∈，则α＋β= .
13.定义运算=ad－bC.若cosα=，=，0＜β＜α＜，则β= .
三 、解答题
14.已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P(－3，).
(1)求sin2α－tanα的值；
(2)若函数f(x)=cos(x－α)cosα－sin(x－α)sinα，求函数g(x)=f－2f2(x)在区间上的值域.
15.已知函数f(x)=Acos(A＞0，ω＞0)图象相邻两条对称轴的距离为，且f(0)=1.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)设α，β∈，f=－，f=，求tan(2α－2β)的值.
16.已知函数f(x)=2cos2ωx－1＋2sinωxcosωx(0＜ω＜1)，直线x=是函数f(x)的图象的一条对称轴.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)已知函数y=g(x)的图象是由y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移个单位长度得到的，若g=，α∈，求sinα的值.
答案解析
1.答案为：D；
解析： == =，
由于135°＜＜180°，所以cos＜0，所以化简结果为－cos.
2.答案为：C；
解析：原式====.
3.答案为：B；
解析：因为sinα=，所以cosα=－，
f=sin=sin=sinα＋cosα=－.
4.答案为：D；
解析：f(x)=sin4x＋cos4x=(sin2x＋cos2x)2－2sin2xcos2x=cos4x＋，4x∈[－π，π]，
所以函数f(x)是偶函数，且在上单调递减，根据f(x1)＜f(x2)，
可得f(|x1|)＜f(|x2|)，所以|x1|＞|x2|，即x＞x.
5.答案为：C；
解析：因为sinα＋2cosα=，
所以sin2α＋4cos2α＋4sinαcosα=(sin2α＋cos2α)，
整理得3sin2α－3cos2α－8sinαcosα=0，
则－3cos2α=4sin2α，所以tan2α=－.
6.答案为：B；
解析：f(x)=5cosx＋12sinx=13=13sin(x＋α)，
其中sinα=，cosα=，由题意知θ＋α=2kπ－(k∈Z)，
得θ=2kπ－－α(k∈Z)，
所以cosθ=cos=cos=－sinα=－.
7.答案为：C；
解析：由sin(α＋β)=，得sinαcosβ＋cosαsinβ=，①
由sin(α－β)=，得sinαcosβ－cosαsinβ=，②
由①②可得sinαcosβ=，cosαsinβ=.
∴===5.∴log2=log25=4，故选C.
8.答案为：C；
解析：f(x)=sin2x＋sinxcosx=sin2x－cos2x＋=sin＋，
当x=θ时函数y=f(x)取得最小值，即2θ－=2kπ－，k∈Z，
那么2θ=2kπ－，k∈Z，
则===－.故选C.
9.答案为：B；
解析：∵f(x)=sin＋cos
=sin2 019xcos＋cos2 019xsin＋cos2 019xcos＋sin2 019xsin
=sin2 019x＋cos2 019x＋cos2 019x＋sin2 019x
=sin2 019x＋cos2 019x=2sin，
∴f(x)的最大值为A=2；由题意，得|x1－x2|的最小值为=，
∴A|x1－x2|的最小值为.故选B.
10.答案为：.
解析：f(A)=2cossin＋sin2－cos2=sinA－cosA=sin，
因为0＜A＜π，所以－＜A－＜.
所以当A－=，即A=时，f(A)有最大值.
11.答案为：.
解析：∵α，β∈，∴tanα＞0，tanβ＞0，
∴tanα=tan(α＋β－β)==
=≤=(当且仅当=9tanβ时等号成立)，
∴tanα的最大值为.
12.答案为：－.
解析：依题意有
∴tan(α＋β)===1.
又∴tanα＜0且tanβ＜0，
∴－＜α＜0且－＜β＜0，即－π＜α＋β＜0，结合tan(α＋β)=1，
得α＋β=－.
13.答案为：.
解析：由题意有sinαcosβ－cosαsinβ=sin(α－β)=，
又0＜β＜α＜，∴0＜α－β＜，
故cos(α－β)==，而cosα=，∴sinα=，
于是sinβ=sin[α－(α－β)]=sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)
=×－×=.又0＜β＜，故β=.
14.解：(1)∵角α的终边经过点P(－3，)，
∴sinα=，cosα=－，tanα=－.
∴sin2α－tanα=2sinαcosα－tanα=－＋=－.
(2)∵f(x)=cos(x－α)cosα－sin(x－α)sinα=cosx，x∈R，
∴g(x)=cos－2cos2x=sin2x－1－cos2x=2sin－1，
∵0≤x≤，∴－≤2x－≤.∴－≤sin≤1，
∴－2≤2sin－1≤1，
故函数g(x)=f－2f2(x)在区间上的值域是[－2,1].
15.解：(1)∵函数f(x)=Acos(A＞0，ω＞0)图象相邻两条对称轴的距离为，
∴==，∴ω=2，
又f(0)=1，∴A=1，∴A=2，∴f(x)=2cos.
(2)∵α∈，
f=2cos=2cos(2α－π)=－2cos2α=－，
∴cos2α=，sin2α==，则tan2α==.
∵β∈，f=2cos=2cos2β=，
∴cos2β=，sin2β==，则tan2β==.
∴tan(2α－2β)===.
16.解：(1)f(x)=cos2ωx＋sin2ωx=2sin，
由于直线x=是函数f(x)=2sin的图象的一条对称轴，
所以ω＋=kπ＋(k∈Z)，解得ω=k＋(k∈Z)，
又0＜ω＜1，所以ω=，所以f(x)=2sin.
由2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)，
所以函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z).
(2)由题意可得g(x)=2sin，即g(x)=2cos，
由g=2cos=2cos=，得cos=，
又α∈，故＜α＋＜，所以sin=，
所以sinα=sin
=sin·cos－cos·sin=×－×=.
