2021年高考数学一轮精选练习：61《排列与组合》(含解析)

2021年高考数学一轮精选练习：

61《排列与组合》

一         、选择题

1.互不相同的5盆菊花，其中2盆为白色，2盆为黄色，1盆为红色，先要摆成一排，要求红色菊花摆放在正中间，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，共有摆放方法(　 　)

A.A种        B.A种     C.AA种       D.CCAA种

2.某学校获得5个高校自主招生推荐名额，其中甲大学2个，乙大学2个，丙大学1个，并且甲大学和乙大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有(　 　)

A.36种         B.24种         C.22种        D.20种

3.将5个不同的球放入4个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，则不同放法共有( 　)

A.480种      B.360种       C.240种       D.120种

4.某小区有排成一排的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为(　　)

A.16         B.18         C.24         D.32

5.甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去A、B、C三个不同社区进行帮扶活动，每人只能去一个社区，每个社区至少一人.其中甲必须去A社区，乙不去B社区，则不同的安排方法种数为(　 　)

A.8         B.7         C.6          D.5

6.将7个人(其中包括甲、乙、丙、丁4人)排成一排，若甲不能在排头，乙不能在排尾，丙、丁两人必须相邻，则不同的排法共有(　 　)

A.1 108种       B.1 008种        C.960种      D.504种

7.从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有(  　)

A.24对       B.30对    C.48对       D.60对

8.2018年元旦假期，高三的8名同学准备拼车去旅游，其中(1)班、(2)班、(3)班、(4)班每班各两名，分乘甲乙两辆汽车，每车限坐4名同学(乘同一辆车的4名同学不考虑位置)，其中(1)班两位同学是孪生姐妹，需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一个班的乘坐方式共有(　 　)

A.18种        B.24种       C.48种        D.36种

9.某校毕业典礼上有6个节目，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起.则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有(　　)

A.120种       B.156种         C.188种       D.240种

10.某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示的正方形ABCD(边长为3个单位)的顶点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为i(i=1,2，…，6)，则棋子就按逆时针方向行走i个单位，一直循环下去.则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的所有不同走法共有(　 　)

A.22种        B.24种        C.25种        D.36种

11.把8个相同的小球全部放入编号为1,2,3,4的四个盒中，则不同的放法种数为(　　)

A.35        B.70          C.165       D.1 860

二         、填空题

12.某校有4个社团向高一学生招收新成员，现有3名同学，每人只选报1个社团，恰有2个社团没有同学选报的报法有     种(用数字作答).

13.某医院拟派2名内科医生，3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生，外科医生和护士，则不同的分配方案有      种.

14.某宾馆安排A，B，C，D，E五人入住3个房间，每个房间至少住1人，且A，B不能住同一房间，则共有      种不同的安排方法.(用数字作答)

15.从5男3女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人志愿者服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有       种不同的选法.

16.设三位数n=，若以a，b，c为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三位数n有     个.

答案解析

1.答案为：D；

解析：红色菊花摆放在正中间，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，即红色菊花两边各一盆白色菊花，一盆黄色菊花，共有CCAA种摆放方法.

2.答案为：B；

解析：根据题意，分两种情况讨论：第一种，3名男生每个大学各推荐1人，2名女生分别推荐给甲大学和乙大学，共有AA=12种推荐方法；第二种，将3名男生分成两组分别推荐给甲大学和乙大学，共有CAA=12种推荐方法.故共有24种推荐方法，选B.

3.答案为：C；

解析：根据题意，将5个不同的球放入4个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，则必须有2个小球放入1个盒子，其余的小球各单独放入一个盒子，分2步进行分析：①先将5个小球分成4组，有C=10种分法；②将分好的4组全排列，放入4个盒子，有A=24种情况，则不同放法有10×24=240种.故选C.

4.答案为：C；

解析：将4个车位捆绑在一起，看成一个元素，先排3辆不同型号的车，在3个车位上任意排列，有A=6(种)排法，再将捆绑在一起的4个车位插入4个空档中，有4种方法，故共有4×6=24(种)方法.

5.答案为：B；

解析：根据题意，分2种情况讨论：①乙和甲一起去A社区，此时将丙丁二人安排到B、C社区即可，有A=2种情况，②乙不去A社区，则乙必须去C社区，若丙丁都去B社区，有1种情况，若丙丁中有1人去B社区，则先在丙丁中选出1人，安排到B社区，剩下1人安排到A或C社区，有2×2=4种情况，则不同的安排方法种数有2＋1＋4=7种，故选B.

6.答案为：B；

解析：将丙、丁两人进行捆绑，看成一人.将6人全排列有AA种排法；将甲排在排头，有AA种排法；乙排在排尾，有AA种排法；甲排在排头，乙排在排尾，有AA种排法.则甲不能在排头，乙不能在排尾，丙、丁两人必须相邻的不同排法共有AA－AA－AA＋AA=1 008(种).

7.答案为：C；

解析：利用正方体中两个独立的正四面体解题，如图，它们的棱是原正方体的12条面对角线.

一个正四面体中两条棱成60°角的有(C－3)对，两个正四面体有(C－3)×2对.又正方体的面对角线中平行成对，所以共有(C－3)×2×2=48对，故选C.

8.答案为：B；

解析：由题意，有两类：第一类，一班的2名同学在甲车上，甲车上剩下两个要来自不同的班级，从三个班级中选两个，有C=3种，然后分别从选择的班级中再选择一个学生，有CC=4种，故有3×4=12种.第二类，一班的2名同学不在甲车上，则从剩下的3个班级中选择一个班级的两名同学在甲车上，有C=3种，然后再从剩下的两个班级中分别选择一人，有CC=4种，这时共有3×4=12种，根据分类计数原理得，共有12＋12=24种不同的乘车方式，故选B.

9.答案为：A；

解析：解法一:

记演出顺序为1～6号，对丙、丁的排序进行分类，丙、丁占1和2号，2和3号，3和4号，4和5号，5和6号，其排法种数分别为AA，AA，CAA，CAA，CAA，故总编排方案有AA＋AA＋CAA＋CAA＋CAA=120(种).

解法二:

记演出顺序为1～6号，按甲的编排进行分类，①当甲在1号位置时，丙、丁相邻的情况有4种，则有CAA=48(种)；②当甲在2号位置时，丙、丁相邻的情况有3种，共有CAA=36(种)；③当甲在3号位置时，丙、丁相邻的情况有3种，共有CAA=36(种).所以编排方案共有48＋36＋36=120(种).

10.答案为：C；

解析：由题意知正方形ABCD(边长为3个单位)的周长是12，抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处表示三次骰子的点数之和是12，在点数中三个数字能够使得和为12的有1,5,6；2,4,6；3,4,5；3,3,6；5,5,2；4,4,4，共有6种组合，前三种组合1,5,6；2,4,6；3,4,5各可以排出A=6种结果，3,3,6和5,5,2各可以排出=3种结果，4,4,4只可以排出1种结果.根据分类计数原理知共有3×6＋2×3＋1=25种结果，故选C.

11.答案为：C；

解析：根据题意，分4种情况讨论：

①没有空盒，将8个相同的小球排成一列，排好后，各球之间共有7个空位，在7个空位中任选3个，插入隔板，将小球分成4组，顺次对应4个盒子，有C=35种放法；

②有1个空盒，在4个盒中任选3个，放入小球，有C=4种选法，将8个相同的小球排成一列，排好后，各球之间共有7个空位，在7个空位中任选2个，插入隔板，将小球分成3组，顺次对应3个盒子，有C=21种分组方法，则有4×21=84种放法；

③有2个空盒，在4个盒中任选2个，放入小球，有C=6种选法，将8个相同的小球排成一列，排好后，各球之间共有7个空位，在7个空位中任选1个，插入隔板，将小球分成2组，顺次对应2个盒子，有C=7种分组方法，则有6×7=42种放法；

④有3个空盒，即将8个小球全部放进1个盒子，有4种放法.

故一共有35＋84＋42＋4=165种放法.故选C.

一         、填空题

12.答案为：36；

解析：解法一：

第一步，选2名同学报名某个社团，有C·C=12种报法；第二步，从剩余的3个社团里选一个社团安排另一名同学，有C·C=3种报法.由分步乘法计数原理得共有12×3=36种报法.

解法二:

第一步，将3名同学分成两组，一组1人，一组2人，共C种方法；第二步，从4个社团里选取2个社团让两组同学分别报名，共A种方法.由分步乘法计数原理得共有C·A=36种报法.

13.答案为：36；

解析：2名内科医生的分法为A，3名外科医生与3名护士的分法为CC＋CC，

共有A(CC＋CC)=36(种)不同的分法.

14.答案为：114；

解析：5个人住3个房间，每个房间至少住1人， 则有(3,1,1)和(2,2,1)两种，

当为(3,1,1)时，有C·A=60(种)，A，B住同一房间有C·A=18(种)，

共有60－18=42(种)，当为(2,2,1)时，有·A=90(种)，

A，B住同一房间有C·A=18(种)，故有90－18=72(种)，

根据分类加法计数原理可知，共有42＋72=114(种).

15.答案为：780；

解析：要求服务队中至少有1名女生，则分3种情况讨论：

①选出志愿者服务队的4人中有1名女生，有CC=30种选法，

这4人选2人作为队长和副队长有A=12种，其余2人为普通队员，有1种情况，

此时有30×12=360种不同的选法.

②选出志愿者服务队的4人中有2名女生，有CC=30种选法，

这4人选2人作为队长和副队长有A=12种，其余2人为普通队员，有1种情况，

此时有30×12=360种不同的选法.

③选出志愿者服务队的4人中有3名女生，有CC=5种选法，

这4人选2人作为队长和副队长有A=12种，其余2人为普通队员，有1种情况，

此时有5×12=60种不同的选法.

则一共有360＋360＋60=780种不同的选法.

16.答案为：165；

解析：a，b，c要能构成三角形的边长，显然均不为0，即a，b，c∈(1,2,3，…，9).①若构成等边三角形，设这样的三位数的个数为n1，由于三位数中三个数字都相同，所以n1=C=9；②若构成等腰(非等边)三角形，设这样的三位数的个数为n2，由于三位数中只有2个不同数字，设为a，b，注意到三角形腰与底可以互换，所以可取的数组(a，b)共有2C组，但当大数为底时，设a>b，必须满足b<a<2b，此时，不能构成三角形的数字是

共20种情况.同时，每个数组(a，b)中的两个数字填上三个数位，有C种情况，

故n2=C(2C－20)=156.

综上，n=n1＋n2=165.