2021年高考数学一轮精选练习：51《双曲线》(含解析)

2021年高考数学一轮精选练习：

51《双曲线》

一         、选择题

1.已知F为双曲线C：x2－my2=3m(m＞0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线距离为(　 　)

A.         B.3      C.m          D.3m

2.设F1、F2分别为双曲线－=1的左、右焦点，过F1引圆x2＋y2=9的切线F1P交双曲线的右支于点P，T为切点，M为线段F1P的中点，O为坐标原点，则|MO|－|MT|等于(　 　)

A.4         B.3         C.2          D.1

3.已知双曲线C：－=1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y=x，且与椭圆＋=1有公共焦点，则C的方程为(　　)

A.－=1      B.－=1      C.－=1      D.－=1

4.已知离心率为的双曲线C：－=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，M是双曲线C的一条渐近线上的点，且OM⊥MF2，O为坐标原点，若S△OMF2=16，则双曲线实轴长是(　 　)

A.32           B.16           C.84          D.4

5.已知双曲线x2－=1的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线的离心率为e，若双曲线上存在一点P使=e，则·的值为(　 　)

A.3           B.2            C.－3          D.－2

6.已知双曲线C1：－=1(a＞0，b＞0)，圆C2：x2＋y2－2ax＋a2=0，若双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点，则双曲线C1的离心率的范围是(　 　)

A.      B.      C.(1,2)        D.(2，＋∞)

7.焦点在x轴上的双曲线C1的离心率为e1，焦点在y轴上的双曲线C2的离心率为e2，已知C1与C2具有相同的渐近线，当e＋4e取最小值时，e1的值为(　 　)

A.1            B.           C.            D.2

8.已知F1、F2是双曲线－=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左支交于点A，与右支交于点B，若|AF1|=2a，∠F1AF2=，则=(　 　)

A.1           B.           C.            D.

二         、填空题

9.已知焦点在x轴上的双曲线＋=1，它的焦点到渐近线的距离取值范围是     .

10.在平面直角坐标系xOy中，双曲线－=1(a>0，b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p>0)交于A，B两点.若|AF|＋|BF|=4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为         .

11.已知F1、F2分别是双曲线x2－=1(b＞0)的左、右焦点，A是双曲线上在第一象限内的点，若|AF2|=2且∠F1AF2=45°，延长AF2交双曲线的右支于点B，则△F1AB的面积等         .

12.已知F1(－c,0)、F2(c,0)为双曲线C：－=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过双曲线C的左焦点的直线与双曲线C的左支交于Q，R两点(Q在第二象限内)，连接RO(O为坐标原点)并延长交C的右支于点P，若|F1P|=|F1Q|，∠F1PF2=π，则双曲线C的离心率为     .

13.已知双曲线－=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|=4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为        .

三         、解答题

14.已知双曲线C：x2－y2=1及直线l：y=kx－1.

(1)若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；

(2)若l与C交于A，B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为，求实数k的值.

15.已知双曲线－=1(a＞0，b＞0)的右焦点为F(c,0).

(1)若双曲线的一条渐近线方程为y=x且c=2，求双曲线的方程；

(2)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为－，求双曲线的离心率.

16.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，实轴长为2.

(1)求双曲线C的方程；

(2)若直线l：y=kx＋与双曲线C的左支交于A，B两点，求k的取值范围；

(3)在(2)的条件下，线段AB的垂直平分线l0与y轴交于M(0，m)，求m的取值范围.

答案解析

1.答案为：A；

解析：由题意知，双曲线的标准方程为－=1，其中a2=3m，b2=3，

故c==，

不妨取F(，0)，一条渐近线为y= x，化成一般式即为x－y=0，

由点到直线的距离公式可得d==，故选A.

2.答案为：D；

解析：连接PF2，OT，则有|MO|=|PF2|=(|PF1|－2a)=(|PF1|－6)

=|PF1|－3，|MT|=·|PF1|－|F1T|=|PF1|－=|PF1|－4，

于是有|MO|－|MT|=－=1，故选D.

3.答案为：B；

解析：由双曲线的渐近线方程可设双曲线方程为－=k(k＞0)，即－=1，

∵双曲线与椭圆＋=1有公共焦点，∴4k＋5k=12－3，解得k=1，

故双曲线C的方程为－=1，故选B.

4.答案为：B；

解析：由题意知F2(c,0)，不妨令点M在渐近线y=x上，

由题意可知|F2M|==b，所以|OM|==a.

由S△OMF2=16，可得ab=16，即ab=32，又a2＋b2=c2，=，

所以a=8，b=4，c=4，所以双曲线C的实轴长为16.故选B.

5.答案为：B；

解析：由题意及正弦定理得==e=2，∴|PF1|=2|PF2|，

由双曲线的定义知|PF1|－|PF2|=2，∴|PF1|=4，|PF2|=2.

又|F1F2|=4，由余弦定理可知

cos∠PF2F1===，

∴·=||·||cos∠PF2F1=2×4×=2.故选B.

6.答案为：A；

解析：由双曲线方程可得其渐近线方程为y=±x，

即bx±ay=0，圆C2：x2＋y2－2ax＋a2=0可化为(x－a)2＋y2=a2，

圆心C2的坐标为(a,0)，半径r=a，

由双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点，得＜a，

即c＞2b，即c2＞4b2，

又知b2=c2－a2，所以c2＞4(c2－a2)，即c2＜a2，所以e=＜，

又知e＞1，所以双曲线C1的离心率的取值范围为，故选A.

7.答案为：C；

解析：设双曲线的方程分别为C1：－=1，C2：－=1，

由题设=，则e1=，e2=，由此可得(e－1)(e－1)=1，

即ee=e＋e，故e=，所以e＋4e=e＋=5＋e－1＋≥9

(当且仅当e－1=时取等号)，e－1=2⇒e1=时取等号.

8.答案为：B；

解析：如图所示，由双曲线定义可知|AF2|－|AF1|=2a.

又|AF1|=2a，所以|AF2|=4a，因为∠F1AF2=π，

所以S△AF1F2=|AF1|·|AF2|·sin∠F1AF2=×2a×4a×=2a2.

设|BF2|=m，由双曲线定义可知|BF1|－|BF2|=2a，所以|BF1|=2a＋|BF2|，

又知|BF1|=2a＋|BA|，所以|BA|=|BF2|.

又知∠BAF2=，所以△BAF2为等边三角形，边长为4a，

所以S△ABF2=|AB|2=×(4a)2=4a2，

所以==，故选B.

一         、填空题

9.答案为：(0,2)；

解析：对于焦点在x轴上的双曲线－=1(a＞0，b＞0)，

它的焦点(c,0)到渐近线bx－ay=0的距离为=b.

本题中，双曲线＋=1即－=1，其焦点在x轴上，

则解得4＜m＜8，则焦点到渐近线的距离d=∈(0,2).

10.答案为：y=±x；

解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2).

因为4|OF|=|AF|＋|BF|，所以4×=y1＋＋y2＋，即y1＋y2=p.①

由消去x，得a2y2－2pb2y＋a2b2=0，所以y1＋y2=.②

由①②可得=，故双曲线的渐近线方程为y=±x.

11.答案为：4；

解析：由题意知a=1，如图，

由双曲线定义知|AF1|－|AF2|=2a=2，|BF1|－|BF2|=2a=2，

∴|AF1|=2＋|AF2|=4，|BF1|=2＋|BF2|.

由题意知|AB|=|AF2|＋|BF2|=2＋|BF2|，

∴|BA|=|BF1|，∴△BAF1为等腰三角形，

∵∠F1AF2=45°，∴∠ABF1=90°，∴△BAF1为等腰直角三角形.

∴|BA|=|BF1|=|AF1|=×4=2.∴S△F1AB=|BA|·|BF1|=×2×2=4.

12.答案为：；

解析：设|PF1|=x，则|PF2|=x－2a，

作Q关于原点对称的点S，如图，连接PS，RS，SF1.

因为双曲线关于原点中心对称，所以|PO|=|OR|，S在双曲线上，

所以四边形PSRQ是平行四边形，

根据对称性知，F2在线段PS上，|F2S|=|QF1|=x，

则∠F1PS=，根据双曲线的定义，有|F1S|=x＋2a，所以在△PF1S中，

由余弦定理得(x＋2a)2=x2＋(2x－2a)2－2·x(2x－2a)·，

解得x=a，所以|PF2|=a，所以在△PF1F2中，由余弦定理得

4c2=2＋2－2××a×a，整理可得e==.

13.答案为：；

解析：由定义，知|PF1|－|PF2|=2a.又|PF1|=4|PF2|，∴|PF1|=a，|PF2|=a.

当P，F1，F2三点不共线时，在△PF1F2中，由余弦定理，

得cos∠F1PF2===－e2，

即e2=－cos∠F1PF2.

∵cos∠F1PF2∈(－1,1)，∴e∈.当P，F1，F2三点共线时，

∵|PF1|=4|PF2|，∴e==，综上，e的最大值为.

二         、解答题

14.解：(1)若双曲线C与直线l有两个不同的交点，

则方程组有两个不同的实数根，

整理得(1－k2)x2＋2kx－2=0，

所以解得－＜k＜且k≠±1.

即双曲线C与直线l有两个不同的交点时，

k的取值范围是(－，－1)∪(－1,1)∪(1，).

(2)设交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l与y轴交于点D(0，－1)，由(1)知，

C与l联立的方程为(1－k2)x2＋2kx－2=0，

所以

当A，B在双曲线的一支上且|x1|＞|x2|时，

S△OAB=S△OAD－S△OBD=(|x1|－|x2|)=|x1－x2|；

当A，B在双曲线的两支上且x1＞x2时，

S△OAB=S△ODA＋S△OBD=(|x1|＋|x2|)=|x1－x2|.

所以S△OAB=|x1－x2|=，

所以(x1－x2)2=(x1＋x2)2－4x1x2=(2)2，

即2＋=8，解得k=0或k=±.

又因为－＜k＜，且k≠±1，

所以当k=0或k=±时，△AOB的面积为.

15.解：(1)∵双曲线的渐近线方程为y=±x，∴a=b，

∴c2=a2＋b2=2a2=4，∴a2=b2=2，

∴双曲线方程为－=1.

(2)设点A的坐标为(x0，y0)，

∴直线AO的斜率满足·(－)=－1，∴x0=y0，①

依题意，圆的方程为x2＋y2=c2，

将①代入圆的方程得3y＋y=c2，即y0=c，

∴x0=c，∴点A的坐标为，

代入双曲线方程得－=1，即b2c2－a2c2=a2b2，②

又∵a2＋b2=c2，

∴将b2=c2－a2代入②式，整理得c4－2a2c2＋a4=0，

∴34－82＋4=0，∴(3e2－2)(e2－2)=0，

∵e＞1，∴e=，∴双曲线的离心率为.

16.解：(1)设双曲线C的方程为－=1(a＞0，b＞0).

由已知得a=，c=2，再由a2＋b2=c2，得b2=1，

所以双曲线C的方程为－y2=1.

(2)设A(xA，yA)，B(xB，yB)，将y=kx＋代入－y2=1，

得(1－3k2)x2－6kx－9=0.

由题意知解得＜k＜1.

所以当l与双曲线左支有两个交点时，k的取值范围为.

(3)由(2)得xA＋xB=，

所以yA＋yB=(kxA＋)＋(kxB＋)=k(xA＋xB)＋2=.

所以AB的中点P的坐标为.

设直线l0的方程为y=－x＋m，

将P点坐标代入直线l0的方程，得m=.

因为＜k＜1，所以－2＜1－3k2＜0.所以m＜－2.

所以m的取值范围为(－∞，－2).