2021年高考数学一轮精选练习：23《简单的三角恒等变换》(含解析)

2021年高考数学一轮精选练习：23《简单的三角恒等变换》一         、选择题1.已知270°＜α＜360°，则三角函数式 化简结果是(　 　)A.sin    B.－sin   C.cos     D.－cos 2.等于(　 　)A.－         B.        C.           D.1 3.已知f(x)=sin，若sinα=，则f=(　 　)A.－       B.－        C.       D. 4.已知函数f(x)=sin4x＋cos4x，x∈，若f(x1)＜f(x2)，则一定有(　 　)A.x1＜x2      B.x1＞x2          C.x＜x      D.x＞x 5.已知α∈R，sinα＋2cosα=，则tan2α=(　 　)A.         B.         C.－        D.－6.若函数f(x)=5cosx＋12sinx在x=θ时取得最小值，则cosθ等于(　　)A.       B.－       C.         D.－7.已知sin(α＋β)=，sin(α－β)=，则log2等于(　 　)A.2          B.3          C.4         D.5 8.已知函数f(x)=sin2x＋sinxcosx，当x=θ时函数y=f(x)取得最小值，则=(   　)A.－3         B.3          C.－         D.9.已知f(x)=sin＋cos的最大值为A，若存在实数x1，x2使得对任意实数x总有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则A|x1－x2|的最小值为(  　)A.      B.        C.       D. 二         、填空题10.在△ABC中，A，B，C是△ABC的内角，设函数f(A)=2sinsin＋sin2－cos2，则f(A)的最大值为        . 11.已知α，β∈，tan(α＋β)=9tanβ，则tanα的最大值为      . 12.已知方程x2＋3ax＋3a＋1=0(a＞1)的两根分别为tanα，tanβ，且α，β∈，则α＋β=            . 13.定义运算=ad－bC.若cosα=，=，0＜β＜α＜，则β=     . 三         、解答题14.已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P(－3，).(1)求sin2α－tanα的值；(2)若函数f(x)=cos(x－α)cosα－sin(x－α)sinα，求函数g(x)=f－2f2(x)在区间上的值域.                       15.已知函数f(x)=Acos(A＞0，ω＞0)图象相邻两条对称轴的距离为，且f(0)=1.(1)求函数f(x)的解析式；(2)设α，β∈，f=－，f=，求tan(2α－2β)的值.           16.已知函数f(x)=2cos2ωx－1＋2sinωxcosωx(0＜ω＜1)，直线x=是函数f(x)的图象的一条对称轴.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)已知函数y=g(x)的图象是由y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移个单位长度得到的，若g=，α∈，求sinα的值.               
答案解析1.答案为：D；解析： == =，由于135°＜＜180°，所以cos＜0，所以化简结果为－cos. 2.答案为：C；解析：原式====. 3.答案为：B；解析：因为sinα=，所以cosα=－，f=sin=sin=sinα＋cosα=－.4.答案为：D；解析：f(x)=sin4x＋cos4x=(sin2x＋cos2x)2－2sin2xcos2x=cos4x＋，4x∈[－π，π]，所以函数f(x)是偶函数，且在上单调递减，根据f(x1)＜f(x2)，可得f(|x1|)＜f(|x2|)，所以|x1|＞|x2|，即x＞x. 5.答案为：C；解析：因为sinα＋2cosα=，所以sin2α＋4cos2α＋4sinαcosα=(sin2α＋cos2α)，整理得3sin2α－3cos2α－8sinαcosα=0，则－3cos2α=4sin2α，所以tan2α=－. 6.答案为：B；解析：f(x)=5cosx＋12sinx=13=13sin(x＋α)，其中sinα=，cosα=，由题意知θ＋α=2kπ－(k∈Z)，得θ=2kπ－－α(k∈Z)，所以cosθ=cos=cos=－sinα=－. 7.答案为：C；解析：由sin(α＋β)=，得sinαcosβ＋cosαsinβ=，①由sin(α－β)=，得sinαcosβ－cosαsinβ=，②由①②可得sinαcosβ=，cosαsinβ=.∴===5.∴log2=log25=4，故选C. 8.答案为：C；解析：f(x)=sin2x＋sinxcosx=sin2x－cos2x＋=sin＋，当x=θ时函数y=f(x)取得最小值，即2θ－=2kπ－，k∈Z，那么2θ=2kπ－，k∈Z，则===－.故选C. 9.答案为：B；解析：∵f(x)=sin＋cos=sin2 019xcos＋cos2 019xsin＋cos2 019xcos＋sin2 019xsin=sin2 019x＋cos2 019x＋cos2 019x＋sin2 019x=sin2 019x＋cos2 019x=2sin，∴f(x)的最大值为A=2；由题意，得|x1－x2|的最小值为=，∴A|x1－x2|的最小值为.故选B. 10.答案为：.解析：f(A)=2cossin＋sin2－cos2=sinA－cosA=sin，因为0＜A＜π，所以－＜A－＜.所以当A－=，即A=时，f(A)有最大值. 11.答案为：.解析：∵α，β∈，∴tanα＞0，tanβ＞0，∴tanα=tan(α＋β－β)===≤=(当且仅当=9tanβ时等号成立)，∴tanα的最大值为. 12.答案为：－.解析：依题意有∴tan(α＋β)===1.又∴tanα＜0且tanβ＜0，∴－＜α＜0且－＜β＜0，即－π＜α＋β＜0，结合tan(α＋β)=1，得α＋β=－. 13.答案为：.解析：由题意有sinαcosβ－cosαsinβ=sin(α－β)=，又0＜β＜α＜，∴0＜α－β＜，故cos(α－β)==，而cosα=，∴sinα=，于是sinβ=sin[α－(α－β)]=sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)=×－×=.又0＜β＜，故β=. 14.解：(1)∵角α的终边经过点P(－3，)，∴sinα=，cosα=－，tanα=－.∴sin2α－tanα=2sinαcosα－tanα=－＋=－.(2)∵f(x)=cos(x－α)cosα－sin(x－α)sinα=cosx，x∈R，∴g(x)=cos－2cos2x=sin2x－1－cos2x=2sin－1，∵0≤x≤，∴－≤2x－≤.∴－≤sin≤1，∴－2≤2sin－1≤1，故函数g(x)=f－2f2(x)在区间上的值域是[－2,1]. 15.解：(1)∵函数f(x)=Acos(A＞0，ω＞0)图象相邻两条对称轴的距离为，∴==，∴ω=2，又f(0)=1，∴A=1，∴A=2，∴f(x)=2cos.(2)∵α∈，f=2cos=2cos(2α－π)=－2cos2α=－，∴cos2α=，sin2α==，则tan2α==.∵β∈，f=2cos=2cos2β=，∴cos2β=，sin2β==，则tan2β==.∴tan(2α－2β)===. 16.解：(1)f(x)=cos2ωx＋sin2ωx=2sin，由于直线x=是函数f(x)=2sin的图象的一条对称轴，所以ω＋=kπ＋(k∈Z)，解得ω=k＋(k∈Z)，又0＜ω＜1，所以ω=，所以f(x)=2sin.由2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)，所以函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z).(2)由题意可得g(x)=2sin，即g(x)=2cos，由g=2cos=2cos=，得cos=，又α∈，故＜α＋＜，所以sin=，所以sinα=sin=sin·cos－cos·sin=×－×=.