2021年高考数学一轮精选练习：24《正弦定理和余弦定理》(含解析)

2021年高考数学一轮精选练习：

24《正弦定理和余弦定理》

一         、选择题

1.在△ABC中，若AB=，BC=3，∠C=120°，则AC=(　 　)

A.1         B.2          C.3         D.4

2.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，C.已知8b=5c，C=2B，则cosC等于(　　)

A.         B.－       C.±        D.

3.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，C.若c2=(a－b)2＋6，C=，则△ABC的面积是(　 　)

A.3           B.        C.          D.3

4.在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C所对的边，若2sinC=sinA＋sinB，cosC=且S△ABC=4，则c=(　 　)

A.        B.4        C.        D.5

5.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若=，(b＋c＋a)(b＋c－a)=3bc，则△ABC的形状为(　 　)

A.直角三角形          B.等腰非等边三角形

C.等边三角形           D.钝角三角形

6.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosC=，bcosA＋acosB=2，则△ABC的外接圆面积为(　 　)

A.4π           B.8π          C.9π          D.36π

7.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足b2＋c2－a2=bc，·＞0，a=，则b＋c的取值范围是(　  )

A.       B.      C.        D.

8.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosB－bcosA=c，则tan(A－B)的最大值为(　 　)

A.       B.        C.          D.

二         、填空题

9.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，C.若a=，b=2，A=60°，则sinB=，c=    .

10.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若角A，B，C依次成等差数列，且a=1，b=，则S△ABC=         .

11.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a＋c的最小值为         .

12.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2－b2=bc，且sinC=2sinB，则角A的大小为        .

13.已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=2，A=，且－sin(B－C)=sin2B，则△ABC的面积为         .

三         、解答题

14.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2－(b－c)2=(2－)bc，sinAsinB=cos2，BC边上的中线AM的长为.

(1)求角A和角B的大小；

(2)求△ABC的面积.

15.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA，且B为钝角.

(1)证明：B－A=；

(2)求sinA＋sinC的取值范围.

16.已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，且满足(a＋b＋c)(sinB＋sinC－sinA)=bsinC.

(1)求角A的大小；

(2)设a=，S为△ABC的面积，求S＋cosBcosC的最大值.

答案解析

1.答案为：A；

解析：在△ABC中，设A、B、C所对的边分别为a，b，c，

则由c2=a2＋b2－2abcosC，得13=9＋b2－2×3b×，

即b2＋3b－4=0，解得b=1(负值舍去)，即AC=1，故选A.

2.答案为：A；

解析：∵8b=5c，∴由正弦定理，得8sinB=5sinC.

又∵C=2B，∴8sinB=5sin2B，∴8sinB=10sinBcosB.

∵sinB≠0，∴cosB=，∴cosC=cos2B=2cos2B－1=.

3.答案为：C；

解析：c2=(a－b)2＋6，即c2=a2＋b2－2ab＋6.①

∵C=，∴由余弦定理得c2=a2＋b2－ab，②

由①和②得ab=6，∴S△ABC=absinC=×6×=，故选C.

4.答案为：A；

解析：因为2sinC=sinA＋sinB，所以由正弦定理可得2c=a＋b，①

由cosC=可得c2=a2＋b2－2abcosC=(a＋b)2－ab，②

又由cosC=，得sinC=，所以S△ABC=absinC==4，∴ab=10.③

由①②③解得c=，故选A.

5.答案为：C；

解析：∵=，∴=，∴b=C.

又(b＋c＋a)(b＋c－a)=3bc，∴b2＋c2－a2=bc，∴cosA===.

∵A∈(0，π)，∴A=，∴△ABC是等边三角形.

6.答案为：C；

解析：由余弦定理得b·＋a·=2.即=2，

整理得c=2，由cosC=得sinC=，再由正弦定理可得2R==6，

所以△ABC的外接圆面积为πR2=9π.

7.答案为：B；

解析：由b2＋c2－a2=bc得，cosA==，

∵0<A<π，则A=，由·＞0知，B为钝角，

又=1，则b=sinB，c=sinC，b＋c=sinB＋sinC

=sinB＋sin=sinB＋cosB=sin，

∵＜B＜，∴＜B＋＜，

∴＜sin＜，b＋c∈.

8.答案为：A；

解析：由acosB－bcosA=c及正弦定理可得，

sinA·cosB－sinBcosA=sinC=sin(A＋B)=sinAcosB＋cosAsinB，

即sinAcosB=sinBcosA，得tanA=5tanB，从而可得tanA＞0，tanB＞0，

∴tan(A－B)===≤=，

当且仅当=5tanB，即tanB=时取得等号，

∴tan(A－B)的最大值为，故选A.

一         、填空题

9.答案为：3；

解析：由=得sinB=sinA=，由a2=b2＋c2－2bccosA，得c2－2c－3=0，

解得c=3(舍负).

10.答案为：.

解析：因为角A，B，C依次成等差数列，所以B=60°.

由正弦定理，得=，解得sinA=，

因为0°＜A＜120°，所以A=30°，此时C=90°，所以S△ABC=ab=.

11.答案为：9；

解析：依题意画出图形，如图所示.

易知S△ABD＋S△BCD=S△ABC，即csin60°＋asin60°=acsin120°，

∴a＋c=ac，∴＋=1，∴4a＋c=(4a＋c)=5＋＋≥9，

当且仅当=，即a=，c=3时取“=”.

12.答案为：.

解析：由sinC=2sinB得，c=2b，∴a2－b2=bc=b·2b=6b2，∴a2=7b2.

则cosA===，又∵0<A<π，∴A=.

13.答案为：或.

解析：∵A=，且－sin(B－C)=sin2B，∴=sin2B＋sin(B－C)，

即sinA=sin2B＋sin(B－C)，又sinA=sin(B＋C)，

∴sinBcosC＋cosBsinC=2sinBcosB＋sinBcosC－cosBsinC，

即cosBsinC=sinBcosB.当cosB=0时，可得B=，C=，

∴S△ABC=ac=×2×2×tan=；当cosB≠0时，sinB=sinC，

由正弦定理可知b=c，∴△ABC为等腰三角形，

又∵A=，∴a=b=c=2，∴S△ABC=a2=.

综上可知△ABC的面积为或.

二         、解答题

14.解：(1)由a2－(b－c)2=(2－)bc，

得a2－b2－c2=－bc，∴cosA==，

又0＜A＜π，∴A=.

由sinAsinB=cos2，得sinB=，即sinB=1＋cosC，

则cosC＜0，即C为钝角，∴B为锐角，且B＋C=，

则sin=1＋cosC，化简得cos=－1，解得C=，∴B=.

(2)由(1)知，a=b，在△ACM中，

由余弦定理得AM2=b2＋2－2b··cosC=b2＋＋=()2，

解得b=2，故S△ABC=absinC=×2×2×=.

15.解：(1)证明：由a=btanA及正弦定理，得==，

所以sinB=cosA，即sinB=sin.

又B为钝角，因此＋A∈，故B=＋A，即B－A=.

(2)由(1)知，C=π－(A＋B)=π－=－2A＞0，所以A∈.

于是sinA＋sinC=sinA＋sin

=sinA＋cos2A=－2sin2A＋sinA＋1=－22＋.

因为0＜A＜，所以0＜sinA＜，因此＜－22＋≤.

由此可知sinA＋sinC的取值范围是.

16.解：(1)∵(a＋b＋c)(sinB＋sinC－sinA)=bsinC，

∴根据正弦定理，知(a＋b＋c)(b＋c－a)=bc，

即b2＋c2－a2=－bC.

∴由余弦定理，得cosA==－.

又A∈(0，π)，所以A=π.

(2)根据a=，A=π及正弦定理可得====2，

∴b=2sinB，c=2sinC.∴S=bcsinA=×2sinB×2sinC×=sinBsinC.

∴S＋cosBcosC=sinBsinC＋cosB·cosC=cos(B－C).

故当即B=C=时，

S＋cosB·cosC取得最大值.