2021年高考数学一轮复习《双曲线》精选练习卷（含解析）

2021年高考数学一轮复习《双曲线》精选练习卷

一、选择题

1.双曲线mx2＋y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，则m等于(　　)

A.－         B.－4         C.4         D.

2.设双曲线－=1(a>0，b>0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为(　　)

A.y=±x         B.y=±2x        C.y=±x    D.y=±x

3.已知双曲线与椭圆＋=1共焦点，它们的离心率之和为，则双曲线的方程应是(　　)

A.－=1                   B.－=1    C.－＋=1                D.－＋=1

4.已知双曲线－=1(a>0，b>0)的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则双曲线的离心率e为(　　)

A.2       B.3      C.      D.

5.双曲线C：－=1(a＞0，b＞0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于(　　)

A.2         B.2         C.4         D.4

6.若中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为(　　)

A.          B.        C.           D.

7.已知方程－=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是(　　)

A.(－1,3) 　　　B.(－1，)      C.(0,3)                 D.(0，)

8.已知A，B为双曲线E的左、右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为(　　)

A.          B.2         C.         D.

9.已知F1，F2是双曲线E：－=1的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1=，则E的离心率为(　　)

A.          B.       C.          D.2

10.如下图，F1、F2是双曲线C：－=1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线与C的左、右两支分别交于A、B两点．若|AB|∶|BF2|∶|AF2|=3∶4∶5，则双曲线的离心率为(         )

A.         B.      C.2         D.

11.若双曲线－=1(a＞0，b＞0)上存在一点P满足以|OP|为边长的正方形的面积等于2ab(其中O为坐标原点)，则双曲线离心率的取值范围是(　　)

A.         B.    C.         D.

12.已知双曲线－=1(a＞0，b＞0)的离心率为，过右焦点F作渐近线的垂线，垂足为M.

若△FOM的面积为，其中O为坐标原点，则双曲线的方程为(　　)

A.x2－=1         B.－=1    C.－=1         D.－=1

二、填空题

13.双曲线－=1的右顶点为A，右焦点为F，过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为________.

14.设F1，F2分别是双曲线－=1(a>0，b>0)的左、右两个焦点，过F1且与双曲线实轴垂直的直线交双曲线于A，B两点，若△ABF2为正三角形，则此双曲线的渐近线方程是________.

15.在给定双曲线中，过焦点且垂直于实轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为，

则该双曲线的离心率为________.

16.已知F是双曲线C：x2－=1的右焦点，P是C左支上一点，A，当△APF周长最小时，该三角形的面积为________.

三、解答题

17.已知椭圆＋=1和双曲线－=1有公共的焦点，求双曲线的渐近线方程及离心率.

18.设双曲线－=1(0<a<b)的半焦距为c，直线l过(a,0)，(0，b)两点，已知原点到直线l的距离为c，求双曲线的离心率.

19.已知双曲线－=1(a＞0，b＞0)的右焦点为F(c,0).

(1)若双曲线的一条渐近线方程为y=x且c=2，求双曲线的方程；

(2)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为－，求双曲线的离心率.

20.已知双曲线C：－=1(a>0，b>0)的一个焦点是F2(2,0)，离心率e=2.

(1)求双曲线C的方程；

(2)若斜率为1的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M，N，线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l的方程.

21.已知双曲线C：x2－y2=1及直线l：y=kx－1.

(1)若直线l与双曲线C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；

(2)若直线l与双曲线C交于A，B两点，O为坐标原点，且△AOB的面积是，求实数k的值.

22.双曲线C与椭圆＋=1有相同的焦点，直线y=x为C的一条渐近线．

(1)求双曲线C的方程；

(2)过点P(0,4)的直线l，交双曲线C于A，B两点，交x轴于点Q(点Q与C的顶点不重合)．

当=λ1=λ2，且λ1＋λ2=－时，求点Q的坐标．

0.答案解析

1.答案为：A

解析：∵方程mx2＋y2=1表示双曲线，

∴m<0.将方程化为标准方程为y2－=1.则a2=1，b2=－.

∵双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，∴可知b=2a，

∴b2=4a2，∴－=4，∴m=－.

2.答案为：C

解析：由题意得b=1，c= .∴a= ，

∴双曲线的渐近线方程为y=± x，即y=±x.

3.答案为：C

解析：椭圆＋=1的焦点坐标是(0，±4)，离心率e1=，

设双曲线的标准方程为－=1，则a2＋b2=16　①，=　②，

由①②得a=2，b2=12，所以双曲线的方程是－=1.故选C.

4.答案为：D

解析：∵4b=2(a＋c)，∴b=，而b2=c2－a2，

∴=c2－a2，整理，得5a2＋2ac－3c2=0.∴e==.故选D.

5.答案为：C

解析：双曲线的一条渐近线方程为－=0，即bx－ay=0，焦点(c，0)到该渐近线的距离

为==，故b=，结合=2，c2=a2＋b2得c=2，则双曲线C的焦距为2c=4.

6.答案为：D；

解析：设双曲线的标准方程为－=1(a>0，b>0).

由题意，知过点(4，－2)的渐近线方程为y=－x，所以－2=－×4，即a=2b.

设b=k(k>0)，则a=2k，c=k，所以e===.故选D.

7.答案为：A

解析：根据双曲线的焦距，建立关于n的不等式组求解.

若双曲线的焦点在x轴上，则又∵(m2＋n)＋(3m2－n)=4，

∴m2=1，∴∴－1<n<3.

若双曲线的焦点在y轴上，

则双曲线的标准方程为－=1，即

即n>3m2且n<－m2，此时n不存在.故选A.

8.答案为：D

解析：不妨取点M在第一象限，如图所示，设双曲线方程为－=1(a＞0，b＞0)，

则|BM|=|AB|=2a，∠MBx=180°－120°=60°，∴M点的坐标为.

∵M点在双曲线上，∴－=1，a=b，∴c=a，e==.故选D.

9.答案为：A；

解析：法一：作出示意图，如图，

离心率e===，

由正弦定理得e====.故选A.

法二：因为MF1与x轴垂直，所以|MF1|=.

又sin∠MF2F1=，所以=，即|MF2|=3|MF1|.

由双曲线的定义得2a=|MF2|－|MF1|=2|MF1|=，

所以b2=a2，所以c2=b2＋a2=2a2，所以离心率e==.

10.答案为：A.

解析：本题主要考查双曲线的几何性质．

∵|AB|∶|BF2|∶|AF2|=3∶4∶5，不妨令|AB|=3，|BF2|=4，|AF2|=5，

∵|AB|2＋|BF2|2=|AF2|2，∴∠ABF2=90°，

又由双曲线的定义得：|BF1|－|BF2|=2a，|AF2|－|AF1|=2a，

∴|AF1|＋3－4=5－|AF1|，∴|AF1|=3，∴2a=

|AF2|－|AF1|=2，∴a=1，|BF1|=6.在Rt△BF1F2中，|F1F2|2=|BF1|2＋|BF2|2=36＋16=52，

又|F1F2|2=4c2，∴4c2=52，∴c=，∴双曲线的离心率e==，故选A.

11.答案为：C；

解析：由条件得|OP|2=2ab.又∵P为双曲线上一点，∴|OP|≥a，∴2ab≥a2，∴2b≥a.

又∵c2=a2＋b2≥a2＋=a2，∴e=≥.∴双曲线离心率的取值范围是.

12.答案为：C；

解析：由题意可知e==，可得=，取一条渐近线为y=x，

可得F到渐近线y=x的距离d==b，

在Rt△FOM中，由勾股定理可得|OM|===a，

由题意可得ab=，联立解得

所以双曲线的方程为－=1.故选C.

二              、填空题

13.答案为：.

解析：双曲线－=1的右顶点A(3,0)，右焦点F(5,0)，渐近线方程为y=±x.

不妨设直线FB的方程为y=(x－5)，代入双曲线方程整理，得x2－(x－5)2=9，

解得x=，y=－，所以B（，－，）.

所以S△AFB=|AF||yB|=(c－a)·|yB|=×(5－3)×=.

14.答案为：y=±x.

解析：据题意，得=·2c，两边平方，整理可得(2a2＋3b2)(2a2－b2)=0，

∴=，∴渐近线方程为y=±x.

15.答案为：.

解析：不妨设焦点在x轴上，设双曲线方程为－=1，焦点F(c,0)，

过焦点且垂直于实轴的直线方程为x=c，代入双曲线方程，得y2=，

弦长2|y|=，∴=.   ①

又焦点到相应准线的距离为，∴c－=，∴=.  ②

由①②消去b2可得=，∴e=.

16.答案为：12.

解析：由双曲线方程x2－=1可知，a=1，c=3，故F(3,0)，F1(－3,0).

当点P在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知|PF|－|PF1|=2，所以|PF|=|PF1|＋2，

从而△APF的周长=|AP|＋|PF|＋|AF|=|AP|＋|PF1|＋2＋|AF|.

因为|AF|==15为定值，

所以当(|AP|＋|PF1|)最小时，△APF的周长最小，由图象可知，

此时点P在线段AF1与双曲线的交点处(如图所示).

由题意可知直线AF1的方程为y=2x＋6，

由得y2＋6y－96=0，解得y=2或y=－8(舍去)，

所以S△APF=S△AF1F－S△PF1F=×6×6－×6×2=12.

三              、解答题

17.解：由双曲线方程判断出公共焦点在x轴上，

所以椭圆的右焦点坐标为(，0)，

双曲线的右焦点坐标为(，0)，

所以3m2－5n2=2m2＋3n2，所以m2=8n2，

即|m|=2|n|，

所以双曲线的渐近线方程为y=±x，y=±x.

离心率e==，e=.

18.解：直线l的方程为＋=1，即bx＋ay－ab=0.

于是有=c，

所以ab=c2，两边平方，得a2b2=c4.

又b2=c2－a2，所以16a2(c2－a2)=3c4，

两边同时除以a4，得3e4－16e2＋16=0，

解得e2=4或e2=.

又b>a，所以e2==1＋>2，则e=2.

于是双曲线的离心率为2.

19.解：(1)因为双曲线的渐近线方程为y=±x，所以a=b，

所以c2=a2＋b2=2a2=4，所以a2=b2=2，

所以双曲线的方程为－=1.

(2)设点A的坐标为(x0，y0)，

所以直线AO的斜率满足·(－)=－1，所以x0=y0，①

依题意，圆的方程为x2＋y2=c2，

将①代入圆的方程得3y＋y=c2，即y0=c，

所以x0=c，所以点A的坐标为，

代入双曲线方程得－=1，即b2c2－a2c2=a2b2，②

又因为a2＋b2=c2，

所以将b2=c2－a2代入②式，整理得c4－2a2c2＋a4=0，

所以34－82＋4=0，

所以(3e2－2)(e2－2)=0，

因为e＞1，所以e=，

所以双曲线的离心率为.

20.解：(1)由已知得c=2，e=2，

∴a=1，b=.

∴所求的双曲线方程为x2－=1.

(2)设直线l的方程为y=x＋m，

点M(x1，y1)，N(x2，y2)的坐标满足方程组

将①式代入②式，

整理得2x2－2mx－m2－3=0.(*)

设MN的中点为(x0，y0)，则x0==，

y0=x0＋m=，所以线段MN垂直平分线的方程为y－=－（x-）

即x＋y－2m=0，

与坐标轴的交点分别为(0,2m)，(2m,0)，

可得|2m|·|2m|=4，得m2=2，m=±

此时(*)的判别式Δ>0，

故直线l的方程为y=x±.

21.解：(1)由消去y，

得(1－k2)x2＋2kx－2=0.①

由直线l与双曲线C有两个不同的交点，

得解得－<k<且k≠±1.

即k的取值范围为(－，－1)∪(－1,1)∪(1，).

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由方程①，得x1＋x2=，x1x2=.

因为直线l：y=kx－1恒过定点D(0，－1)，

则当x1x2<0时，S△AOB=S△OAD＋S△OBD=|x1－x2|=；

当x1x2>0时，S△AOB=|S△OAD－S△OBD|=|x1－x2|=.

综上可知，|x1－x2|=2，

所以(x1－x2)2=(x1＋x2)2－4x1x2=(2)2，

即（）2＋=8，解得k=0或k=±.

由(1)，可知－<k<且k≠±1，故k=0或k=±都符合题意.

22.解：由椭圆＋=1求得两焦点为(－2,0)，(2,0)，

∴对于双曲线C：c=2，

设双曲线方程为－=1，

又y=x为双曲线C的一条渐近线，∴=，

又因为a2＋b2=c2，可以解得a2=1，b2=3，

∴双曲线C的方程为x2－=1.

(2)由题意知直线l的斜率k存在且不等于零．

设l的方程：y=kx＋4，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则Q(－，0)，

∵=λ1，∴(－，－4)=λ1(x1＋，y1)，

∴⇒

∵A(x1，y1)在双曲线C上，∴()2－－1=0，

∴(16－k2)λ＋32λ1＋16－k2=0.

同理有：(16－k2)λ＋32λ2＋16－k2=0.

若16－k2=0，则直线l过顶点，不合题意，∴16－k2≠0，

∴λ1，λ2是二次方程(16－k2)x2＋32x＋16－k2=0的两根，

∴λ1＋λ2==－，

∴k2=4，此时Δ>0，∴k=±2.

∴所求Q的坐标为(±2,0)．