2021年高考数学一轮精选练习：11《函数与方程》(含解析)

2021年高考数学一轮精选练习：

11《函数与方程》

一         、选择题

1.函数f(x)=ln(x＋1)－的一个零点所在的区间是(　 　)

A.(0,1)         B.(1,2)        C.(2,3)         D.(3,4)

2.下列函数中，在(－1,1)内有零点且单调递增的是(　 　)

A.y=logx      B.y=2x－1     C.y=x2－       D.y=－x3

3.函数f(x)=2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是(　 　)

A.(1,3)       B.(1,2)      C.(0,3)       D.(0,2)

4.函数f(x)=x2－ax＋1在区间上有零点，则实数a的取值范围是(　 　)

A.(2，＋∞)      B.[2，＋∞)     C.        D.

5.定义在R上的函数f(x)满足f(x)=且f(x＋1)=f(x－1)，若g(x)=3－log2x，则函数F(x)=f(x)－g(x)在(0，＋∞)内的零点个数为(　　)

A.3          B.2         C.1           D.0

6.已知函数f(x)=若关于x的方程[f(x)]2＋(a－1)f(x)－a=0有7个不等的实数根，则实数a的取值范围是(　 　)

A.[1,2]         B.(1,2)        C.(－2，－1)       D.[－2，－1]

7.定义在R上的奇函数f(x)满足条件f(1＋x)=f(1－x)，当x∈[0,1]时，f(x)=x，若函数g(x)=|f(x)|－ae－|x|在区间[－2 018,2 018]上有4 032个零点，则实数a的取值范围是(　　)

A.(0,1)       B.(e，e3)        C.(e，e2)      D.(1，e3)

8.设函数f(x)=ln(x＋1)＋a·(x2－x)，若f(x)在区间(0，＋∞)上无零点，则实数a的取值范围是(　 　)

A.[0,1]        B.[－1,0]           C.[0,2]        D.[－1,1]

9.已知函数f(x)=若方程f(f(x))－2=0恰有三个实数根，则实数k的取值范围是(　 　)

A.[0，＋∞)     B.[1,3]        C.         D.

二         、填空题

10.已知函数f(x)=若存在实数b，使函数g(x)=f(x)－b有两个零点，则a的取值范围是              .

11.已知e是自然对数的底数，函数f(x)=ex＋x－2的零点为a，函数g(x)=lnx＋x－2的零点为b，则f(a)，f(1)，f(b)的大小关系为                 .

12.对任意实数a，b定义运算“⊗”：a⊗b=设f(x)=(x2－1)⊗(4＋x)，若函数g(x)=f(x)＋k的图象与x轴恰有三个不同的交点，则k的取值范围是　       .

13.若a＞1，设函数f(x)=ax＋x－4的零点为m，函数g(x)=logax＋x－4的零点为n，则＋的最小值为　  　.

三         、解答题

14.已知函数f(x)=－x2－2x，g(x)=

(1)求g(f(1))的值；

(2)若方程g(f(x))－a=0有4个不相等的实数根，求实数a的取值范围.

15.已知二次函数f(x)的最小值为－4，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)求函数g(x)=－4lnx的零点个数.

答案解析

1.答案为：B；

解析：∵f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)=ln2－1＜0，f(2)=ln3－＞0，

∴f(x)的零点所在区间为(1,2)，故选B.

2.答案为：B；

解析：函数y=logx在定义域上单调递减，y=x2－在(－1,1)上不是单调函数，

y=－x3在定义域上单调递减，均不符合要求.对于y=2x－1，

当x=0∈(－1,1)时，y=0且y=2x－1在R上单调递增，故选B.

3.答案为：C；

解析：因为f(x)在(0，＋∞)上是增函数，

则由题意得f(1)·f(2)=(0－a)(3－a)＜0，解得0＜a＜3，故选C.

4.答案为：D；

解析：由题意知方程ax=x2＋1在上有解，即a=x＋在上有解，

设t=x＋，x∈，则t的取值范围是.

∴实数a的取值范围是.

5.答案为：B；

解析：由f(x＋1)=f(x－1)，知f(x)的周期是2，画出函数f(x)和g(x)的部分图象，如图所示，由图象可知f(x)与g(x)的图象有2个交点，故f(x)有2个零点，故选B.

6.答案为：C；

解析：函数f(x)=的图象如图：

关于x的方程[f(x)]2＋(a－1)f(x)－a=0有7个不等的实数根，

即[f(x)＋a][f(x)－1]=0有7个不等的实数根，易知f(x)=1有3个不等的实数根，

∴f(x)=－a必须有4个不相等的实数根，由函数f(x)的图象可知－a∈(1,2)，

∴a∈(－2，－1).故选C.

7.答案为：B；

解析：f(x)满足条件f(1＋x)=f(1－x)且为奇函数，则f(x)的图象关于x=1对称，

且f(x)=f(2－x)，f(x)=－f(－x)，∴－f(－x)=f(2－x)，即－f(x)=f(2＋x)，

∴f(x＋4)=f(x)，∴f(x)的周期为4.

令m(x)=|f(x)|，n(x)=ae－|x|，画出m(x)、n(x)的图象如图，

可知m(x)与n(x)为偶函数，且要使m(x)与n(x)图象有交点，需a＞0，

由题意知要满足g(x)在区间[－2 018，2 018]上有4 032个零点，

只需m(x)与n(x)的图象在[0,4]上有两个交点，则

可得e＜a＜e3，故选B.

8.答案为：A；

解析：令f(x)=0，可得ln(x＋1)=－a(x2－x)，

令g(x)=ln(x＋1)，h(x)=－a(x2－x)，

∵f(x)在区间(0，＋∞)上无零点，

∴g(x)=ln(x＋1)与h(x)=－a(x2－x)的图象在y轴右侧无交点.

显然当a=0时符合题意；

当a＜0时，作出g(x)=ln(x＋1)与h(x)=－a(x2－x)的函数图象如图1所示，

显然两函数图象在y轴右侧必有一交点，不符合题意；

当a＞0时，作出g(x)=ln(x＋1)与h(x)=－a(x2－x)的函数图象如图2所示，

若两函数图象在y轴右侧无交点，则h′(0)≤g′(0)，即a≤1.

综上，0≤a≤1，故选A.

图1                       图2

9.答案为：C；

解析：∵f(f(x))－2=0，∴f(f(x))=2，∴f(x)=－1或f(x)=－(k≠0).

(1)当k=0时，作出函数f(x)的图象如图①所示，

由图象可知f(x)=－1无解，∴k=0不符合题意；

(2)当k＞0时，作出函数f(x)的图象如图②所示，

由图象可知f(x)=－1无解且f(x)=－无解，

即f(f(x))－2=0无解，不符合题意；

(3)当k＜0时，作出函数f(x)的图象如图③所示，

由图象可知f(x)=－1有1个实根，

∵f(f(x))－2=0有3个实根，∴f(x)=－有2个实根，

∴1＜－≤3，解得－1＜k≤－.

综上，k的取值范围是，故选C.

10.答案为：　(－∞，0)∪(1，＋∞)；

解析：令φ(x)=x3(x≤a)，h(x)=x2(x＞a)，函数g(x)=f(x)－b有两个零点，

即函数y=f(x)的图象与直线y=b有两个交点，

结合图象(图略)可得a＜0或φ(a)＞h(a)，

即a＜0或a3＞a2，解得a＜0或a＞1，故a∈(－∞，0)∪(1，＋∞).

11.答案为：f(a)＜f(1)＜f(b)；

解析：由题意，知f′(x)=ex＋1＞0恒成立，所以函数f(x)在R上是单调递增的，

而f(0)=e0＋0－2=－1＜0，f(1)=e1＋1－2=e－1＞0，所以函数f(x)的零点a∈(0,1)；

由题意，知g′(x)=＋1＞0，所以函数g(x)在(0，＋∞)上是单调递增的，

又g(1)=ln1＋1－2=－1＜0，g(2)=ln2＋2－2=ln2＞0，

所以函数g(x)的零点b∈(1,2).综上，可得0＜a＜1＜b＜2.

因为f(x)在R上是单调递增的，所以f(a)＜f(1)＜f(b).

12.答案为：[－2,1)；

解析：解不等式x2－1－(4＋x)≥1，得x≤－2或x≥3，

所以f(x)=

函数g(x)=f(x)＋k的图象与x轴恰有三个不同的交点转化为函数f(x)的图象和直线y=－k恰有三个不同的交点.作出函数f(x)的图象如图所示，

所以－1＜－k≤2，故－2≤k＜1.

13.答案为：1；

解析：设F(x)=ax，G(x)=logax，h(x)=4－x，

则h(x)与F(x)，G(x)的交点A，B横坐标分别为m，n(m＞0，n＞0).

因为F(x)与G(x)关于直线y=x对称，所以A，B两点关于直线y=x对称.

又因为y=x和h(x)=4－x交点的横坐标为2，

所以m＋n=4.

又m＞0，n＞0，所以＋=·=≥=1.

当且仅当=，即m=n=2时等号成立.所以＋的最小值为1.

一         、解答题

14.解：(1)利用解析式直接求解得

g(f(1))=g(－3)=－3＋1=－2.

(2)令f(x)=t，则原方程化为g(t)=a，

易知方程f(x)=t在(－∞，1)上有2个不同的解，

则原方程有4个解等价于函数y=g(t)(t＜1)与y=a的图象有2个不同的交点，

作出函数y=g(t)(t＜1)的图象如图，

由图象可知，当1≤a＜时，函数y=g(t)(t＜1)与y=a有2个不同的交点，

即所求a的取值范围是.

15.解：(1)∵f(x)是二次函数，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}，

∴设f(x)=a(x＋1)(x－3)=ax2－2ax－3a，且a＞0.

∵f(x)min=f(1)=－4a=－4，∴a=1.

故函数f(x)的解析式为f(x)=x2－2x－3.

(2)∵g(x)=－4lnx=x－－4lnx－2(x＞0)，

∴g′(x)=1＋－=.

令g′(x)=0，得x=1或x=3.

当x变化时，g′(x)，g(x)的取值变化情况如下：

当0＜x≤3时，g(x)≤g(1)=－4＜0.

又因为g(x)在(3，＋∞)上单调递增，

因而g(x)在(3，＋∞)上只有1个零点，

故g(x)在(0，＋∞)上仅有1个零点.