2021年高考数学一轮精选练习：48《圆的方程》(含解析)

2021年高考数学一轮精选练习：

48《圆的方程》

一         、选择题

1.若a∈，则方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1=0表示的圆的个数为(   )

A.0         B.1           C.2         D.3

2.若圆x2＋y2＋2ax－b2=0的半径为2，则点(a，b)到原点的距离为(　 　)

A.1         B.2        C.         D.4

3.已知圆C与直线x－y=0及x－y－4=0都相切，圆心在直线x＋y=0上，则圆C的标准方程为(　 　)

A.(x＋1)2＋(y－1)2=2       B.(x－1)2＋(y＋1)2=2

C.(x－1)2＋(y－1)2=2       D.(x＋1)2＋(y＋1)2=2

4.在平面直角坐标系xOy中，以点(0,1)为圆心且与直线x－by＋2b＋1=0相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为(　 　)

A.x2＋(y－1)2=4            B.x2＋(y－1)2=2

C.x2＋(y－1)2=8            D.x2＋(y－1)2=16

5.若对圆(x－1)2＋(y－1)2=1上任意一点P(x，y)，|3x－4y＋a|＋|3x－4y－9|的取值与x，y无关，则实数a的取值范围是(　 　)

A.(－∞，－4]                  B.[－4,6]

C.(－∞，－4]∪[6，＋∞)       D.[6，＋∞)

6.圆x2＋y2＋2x－6y＋1=0关于直线ax－by＋3=0(a＞0，b＞0)对称，则＋最小值是(　　)

A.2         B.          C.4           D.

7.已知点P(t，t)，t∈R，点M是圆x2＋(y－1)2=上的动点，点N是圆(x－2)2＋y2=上的动点，则|PN|－|PM|的最大值是(　  )

A.－1        B.2           C.3          D.

8.已知两点A(0，－3)，B(4,0)，若点P是圆C：x2＋y2－2y=0上的动点，则△ABP的面积的最小值为(　 　)

A.6          B.5.5        C.8           D.10.5

二         、填空题

9.若圆C：x2＋2=n的圆心为椭圆M：x2＋my2=1的一个焦点，且圆C经过M的另一个焦点，则圆C的标准方程为　     　.

10.已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2=1，设点P是圆C上的动点.记d=|PB|2＋|PA|2，其中A(0,1)，B(0，－1)，则d的最大值为　    　.

11.已知圆C的圆心在直线x＋y=0上，圆C与直线x－y=0相切，且在直线x－y－3=0上截得的弦长为，则圆C的方程为　      　.

12.设点P是函数y=－图象上的任意一点，点Q坐标为(2a，a－3)(a∈R)，则|PQ|的最小值为　　    .

13.如图，在等腰△ABC中，已知|AB|=|AC|，B(－1,0)，AC边的中点为D(2,0)，则点C的轨迹所包围的图形的面积为　  　.

三         、解答题

14.在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2，在y轴上截得线段长为2.

(1)求圆心P的轨迹方程；

(2)若P点到直线y=x的距离为，求圆P的方程.

15.已知M为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45=0上任意一点，且点Q(－2,3).

(1)求|MQ|的最大值和最小值；

(2)若M(m，n)，求的最大值和最小值.

16.已知抛物线C：y2=2x，过点(2,0)的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆.

(1)证明：坐标原点O在圆M上；

(2)设圆M过点P(4，－2)，求直线l与圆M的方程.

答案解析

1.答案为：B；

解析：方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1=0表示圆的条件为a2＋4a2－4(2a2＋a－1)＞0，

即3a2＋4a－4＜0，解得－2＜a＜.又a∈，

∴仅当a=0时，方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1=0表示圆，故选B.

2.答案为：B；

解析：由半径r===2，得=2.

∴点(a，b)到原点的距离d==2，故选B.

3.答案为：B；

解析：由题意设圆心坐标为(a，－a)，

则有=，即|a|=|a－2|，解得a=1.

故圆心坐标为(1，－1)，半径r==，

所以圆C的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2=2，故选B.

4.答案为：B；

解析：直线x－by＋2b＋1=0过定点P(－1,2)，如图.

∴圆与直线x－by＋2b＋1=0相切于点P时，圆的半径最大，为，

此时圆的标准方程为x2＋(y－1)2=2，故选B.

5.答案为：D；

解析：设z=|3x－4y＋a|＋|3x－4y－9|=5，

故|3x－4y＋a|＋|3x－4y－9|可看作点P到直线m：3x－4y＋a=0与

直线l：3x－4y－9=0距离之和的5倍，

∵取值与x，y无关，∴这个距离之和与P无关，

如图所示，可知直线m向上平移时，P点到直线m，l间的距离之和均为m，l间的距离，

即此时与x，y的值无关，当直线m与圆相切时，=1，化简得|a－1|=5，

解得a=6或a=－4(舍去)，∴a≥6，故选D.

6.答案为：D；

解析：由圆x2＋y2＋2x－6y＋1=0知，其标准方程为(x＋1)2＋(y－3)2=9，

∵圆x2＋y2＋2x－6y＋1=0关于直线ax－by＋3=0(a＞0，b＞0)对称，

∴该直线经过圆心(－1,3)，即－a－3b＋3=0，∴a＋3b=3(a＞0，b＞0)，

∴＋=(a＋3b)=≥=，

当且仅当=，即a=b时取等号，故选D.

7.答案为：B；

解析：易知圆x2＋(y－1)2=的圆心为A(0,1)，圆(x－2)2＋y2=的圆心为B(2,0)，

P(t，t)在直线y=x上，A(0,1)关于直线y=x的对称点为A′(1,0)，

则|PN|－|PM|≤|PB|＋－

=|PB|－|PA|＋1=|PB|－|PA′|＋1≤|A′B|＋1=2，故选B.

8.答案为：B；

解析：x2＋y2－2y=0可化为x2＋(y－1)2=1，

则圆C为以(0,1)为圆心，1为半径的圆.

如图，过圆心C向直线AB作垂线交圆于点P，

连接BP，AP，这时△ABP的面积最小，直线AB的方程为＋=1，

即3x－4y－12=0，圆心C到直线AB的距离d=，

又|AB|==5，∴△ABP的面积的最小值为×5×=.

一         、填空题

9.答案为：x2＋(y＋1)2=4；

解析：∵圆C的圆心为，∴ =，m=.

又圆C经过M的另一个焦点，则圆C经过点(0,1)，从而n=4.

故圆C的标准方程为x2＋(y＋1)2=4.

10.答案为：74；

解析：设P(x0，y0)，d=|PB|2＋|PA|2=x＋(y0＋1)2＋x＋(y0－1)2=2(x＋y)＋2.

x＋y为圆上任一点到原点距离的平方，

∴(x＋y)max=(5＋1)2=36，∴dmax=74.

11.答案为：(x－1)2＋(y＋1)2=2；

解析：解法一：∵所求圆的圆心在直线x＋y=0上，

∴设所求圆的圆心为(a，－a).

又∵所求圆与直线x－y=0相切，∴半径r==|a|.

又所求圆在直线x－y－3=0上截得的弦长为，

圆心(a，－a)到直线x－y－3=0的距离d=，

∴d2＋2=r2，即＋=2a2，解得a=1.

∴圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2=2.

12.答案为：－2；

解析：函数y=－的图象表示圆(x－1)2＋y2=4在x轴及下方的部分，

令点Q的坐标为(x，y)，则得y=－3，即x－2y－6=0，

作出图象如图所示，

由于圆心(1,0)到直线x－2y－6=0的距离d==＞2，

所以直线x－2y－6=0与圆(x－1)2＋y2=4相离，因此|PQ|的最小值是－2.

13.答案为：4π；

解析：由已知|AB|=2|AD|，设点A(x，y)，则(x＋1)2＋y2=4[(x－2)2＋y2]，

所以点A的轨迹方程为(x－3)2＋y2=4(y≠0)，

设C(x′，y′)，由AC边的中点为D(2,0)知A(4－x′，－y′)，

所以C的轨迹方程为(4－x′－3)2＋(－y′)2=4，即(x－1)2＋y2=4(y≠0)，

所以点C的轨迹所包围的图形面积为4π.

二         、解答题

14.解：(1)设P(x，y)，圆P的半径为r.

由题设y2＋2=r2，x2＋3=r2，从而y2＋2=x2＋3.

故P点的轨迹方程为y2－x2=1.

(2)设P(x0，y0).由已知得=.

又P点在双曲线y2－x2=1上，

从而得由得

此时，圆P的半径r=.

由得此时，圆P的半径r=.

故圆P的方程为x2＋(y－1)2=3或x2＋(y＋1)2=3.

15.解：(1)由圆C：x2＋y2－4x－14y＋45=0，

可得(x－2)2＋(y－7)2=8，

所以圆心C的坐标为(2,7)，半径r=2.

又|QC|==4＞2.

所以点Q在圆C外，

所以|MQ|max=4＋2=6，

|MQ|min=4－2=2.

(2)可知表示直线MQ的斜率，

设=k，则直线MQ的方程为y－3=k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3=0，

因为直线MQ与圆C有交点，

所以≤2，可得2－≤k≤2＋，

所以的最大值为2＋，最小值为2－.

16.解：(1)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，l：x=my＋2.

由可得y2－2my－4=0，则y1y2=－4.

又x1=，x2=，故x1x2==4.

因此OA的斜率与OB的斜率之积为·==－1，

所以OA⊥OB.

故坐标原点O在圆M上.

(2)由(1)可得y1＋y2=2m，x1＋x2=m(y1＋y2)＋4=2m2＋4.

故圆心M的坐标为(m2＋2，m)，圆M的半径r=.

由于圆M过点P(4，－2)，因此·=0，

故(x1－4)(x2－4)＋(y1＋2)(y2＋2)=0，

即x1x2－4(x1＋x2)＋y1y2＋2(y1＋y2)＋20=0.

由(1)可得y1y2=－4，x1x2=4.

所以2m2－m－1=0，解得m=1或m=－.

当m=1时，直线l的方程为x－y－2=0，圆心M的坐标为(3,1)，

圆M的半径为，圆M的方程为(x－3)2＋(y－1)2=10.

当m=－时，直线l的方程为2x＋y－4=0，圆心M的坐标为，

圆M的半径为，圆M的方程为2＋2=.