2021年高考数学一轮精选练习：50《椭圆》(含解析)

2021年高考数学一轮精选练习：

50《椭圆》

一         、选择题

1.已知三点P(5,2)，F1(－6,0)，F2(6,0)，那么以F1，F2为焦点且经过点P的椭圆的短轴长为(　 　)

A.3         B.6         C.9           D.12

2.设F1，F2为椭圆＋=1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则的值为(　 　)

A.        B.          C.          D.

3.已知点P是椭圆＋=1上一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，M为△PF1F2的内心，若S△MPF1=λS△MF1F2－S△MPF2成立，则λ的值为(　 　)

A.            B.          C.            D.2

4.已知椭圆＋=1(a＞b＞0)的左顶点为M，上顶点为N，右焦点为F，若·=0，则椭圆的离心率为(　 　)

A.         B.         C.       D.

5.已知椭圆＋=1的左、右焦点分别为F1、F2，过F2且垂直于长轴的直线交椭圆于A，B两点，则△ABF1内切圆的半径为(　  　)

A.         B.1         C.           D.

6.已知两定点A(－1,0)和B(1,0)，动点P(x，y)在直线l：y=x＋3上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为(　 　)

A.           B.        C.          D.

7.设F是椭圆C：＋=1(a＞b＞0)的一个焦点，P是C上的点，圆x2＋y2=与线段PF交于A，B两点，若A，B是线段PF的两个三等分点，则椭圆C的离心率为(　 　)

A.         B.           C.         D.

8.已知椭圆＋=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|=2c，若椭圆上存在点M使得=，则该椭圆离心率的取值范围为(　 　)

A.(0，－1)       B.      C.        D.(－1,1)

二         、填空题

9.设F1、F2分别是椭圆＋=1的左、右焦点，P为椭圆上任意一点，点M的坐标为(6,4)，则|PM|－|PF1|的最小值为          .

10.过点M(1,1)作斜率为－的直线与椭圆C：＋=1(a＞b＞0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于       .

11.已知F1，F2是椭圆C：＋=1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且∠F1PF2=60°，S△PF1F2=3，则b=      .

12.椭圆M：＋=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆M上任一点，且|PF1|·|PF2|的最大值的取值范围是[2b2,3b2]，椭圆M的离心率为e，则e－的最小值是        .

13.过椭圆＋=1(a＞b＞0)上的动点M作圆x2＋y2=的两条切线，切点分别为P和Q，直线PQ与x轴和y轴的交点分别为E和F，则△EOF面积的最小值是       .

三         、解答题

14.已知点A(0，－2)，椭圆E：＋=1(a＞b＞0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点.

(1)求E的方程；

(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点.当△OPQ的面积最大时，求l的方程.

15.已知椭圆E：＋=1(a＞b＞0)的半焦距为c，原点O到经过两点(c,0)，(0，b)的直线的距离为c.

(1)求椭圆E的离心率；

(2)如图，AB是圆M：(x＋2)2＋(y－1)2=的一条直径，若椭圆E经过A，B两点，求椭圆E的方程.

16.已知椭圆C：＋=1(a＞2)，直线l：y=kx＋1(k≠0)与椭圆C相交于A，B两点，点D为AB的中点.

(1)若直线l与直线OD(O为坐标原点)的斜率之积为－，求椭圆C的方程；

(2)在(1)的条件下，y轴上是否存在定点M，使得当k变化时，总有∠AMO=∠BMO(O为坐标原点)？若存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由.

答案解析

1.答案为：B；

解析：因为点P(5,2)在椭圆上，

所以|PF1|＋|PF2|=2a，|PF2|=，|PF1|=5，所以2a=6，即a=3，c=6，

则b=3，故椭圆的短轴长为6，故选B.

2.答案为：B；

解析：由题意知a=3，b=，c=2.设线段PF1的中点为M，则有OM∥PF2，

∵OM⊥F1F2，∴PF2⊥F1F2，∴|PF2|==.又∵|PF1|＋|PF2|=2a=6，

∴|PF1|=2a－|PF2|=，∴=×=，故选B.

3.答案为：D；

解析：设内切圆的半径为r，因为S△MPF1=λS△MF1F2－S△MPF2，

所以S△MPF1＋S△MPF2=λS△MF1F2；

由椭圆的定义可知|PF1|＋|PF2|=2a，|F1F2|=2c，所以ar=λcr，c=，

所以λ==2.

4.答案为：D；

解析：由题意知，M(－a,0)，N(0，b)，F(c,0)，∴=(－a，－b)，=(c，－b).

∵·=0，∴－ac＋b2=0，即b2=ac.

又知b2=a2－c2，∴a2－c2=ac.∴e2＋e－1=0，

解得e=或e=(舍).∴椭圆的离心率为，故选D.

5.答案为：D；

解析：不妨设A点在B点上方，

由题意知，F2(1,0)，将F2的横坐标代入椭圆方程＋=1中，

可得A点纵坐标为，故|AB|=3，

所以内切圆半径r===(其中S为△ABF1的面积，C为△ABF1的周长)，故选D.

6.答案为：A；

解析：不妨设椭圆方程为＋=1(a＞1)，

与直线l的方程联立得

消去y得(2a2－1)x2＋6a2x＋10a2－a4=0，

由题意易知Δ=36a4－4(2a2－1)(10a2－a4)≥0，解得a≥，

所以e==≤，所以e的最大值为.故选A.

7.答案为：D；

解析：如图所示，设线段AB的中点为D，

连接OD，OA，设椭圆C的左、右焦点分别为F，F1，连接PF1.

设|OD|=t，因为点A，B是线段PF的两个三等分点，

所以点D为线段PF的中点，所以OD∥PF1，且|PF1|=2t，PF1⊥PF.

因为|PF|=3|AB|=6|AD|=6，

根据椭圆的定义，得|PF|＋|PF1|=2a，

∴6＋2t=2a，解得t=或t=0(舍去).所以|PF|=，|PF1|=.

在Rt△PFF1中，|PF|2＋|PF1|2=|FF1|2，即2＋2=(2c)2，得=，

所以椭圆C的离心率e==.

8.答案为：D；

解析：在△MF1F2中，=，而=，

∴==.①

又M是椭圆＋=1上一点，F1，F2是椭圆的焦点，∴|MF1|＋|MF2|=2a.②

由①②得，|MF1|=，|MF2|=.

显然|MF2|＞|MF1|，∴a－c＜|MF2|＜a＋c，即a－c＜＜a＋c，

整理得c2＋2ac－a2＞0，∴e2＋2e－1＞0，又0＜e＜1，∴－1＜e＜1，故选D.

一         、填空题

9.答案为：-5；

解析：由椭圆的方程可知F2(3,0)，

由椭圆的定义可得|PF1|=2a－|PF2|，

∴|PM|－|PF1|=|PM|－(2a－|PF2|)=|PM|＋|PF2|－2a≥|MF2|－2a，

当且仅当M，P，F2三点共线时取得等号，

又|MF2|==5,2a=10，∴|PM|－|PF1|≥5－10=－5，

即|PM|－|PF1|的最小值为－5.

10.答案为：；

解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则＋=1，①＋=1.②①、②两式相减并整理得=－·.

结合已知条件得，－=－×，∴=，故椭圆的离心率e= =.

11.答案为：3；

解析：由题意得|PF1|＋|PF2|=2a，

又∠F1PF2=60°，所以|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos60°=|F1F2|2，

所以(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1||PF2|=4c2，

所以3|PF1||PF2|=4a2－4c2=4b2，所以|PF1||PF2|=b2，

所以S△PF1F2=|PF1||PF2|sin60°=×b2×=b2=3，所以b=3.

12.答案为：－；

解析：由椭圆的定义可知|PF1|＋|PF2|=2a，

∴|PF1|·|PF2|≤2=a2，∴2b2≤a2≤3b2，

即2a2－2c2≤a2≤3a2－3c2，∴≤≤，即≤e≤.

令f(x)=x－，则f(x)在上是增函数，

∴当e=时，e－取得最小值－=－.

13.答案为：；

解析：设M(x0，y0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

则直线MP和MQ的方程分别为x1x＋y1y=，x2x＋y2y=.

因为点M在MP和MQ上，

所以有x1x0＋y1y0=，x2x0＋y2y0=，则P，Q两点的坐标满足方程x0x＋y0y=，

所以直线PQ的方程为x0x＋y0y=，可得E和F，

所以S△EOF=·|OE||OF|=，

因为b2y＋a2x=a2b2，b2y＋a2x≥2ab|x0y0|，所以|x0y0|≤，

所以S△EOF=≥，当且仅当b2y=a2x=时取“=”，

故△EOF面积的最小值为.

二         、解答题

14.解：(1)设F(c,0)，由条件知，=，得c=.

又=，所以a=2，b2=a2－c2=1.故E的方程为＋y2=1.

(2)当l⊥x轴时不合题意，

故设l：y=kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2).

将y=kx－2代入＋y2=1得(1＋4k2)x2－16kx＋12=0.

当Δ=16(4k2－3)＞0，即k2＞时，x1,2=.

从而|PQ|=|x1－x2|=.

又点O到直线PQ的距离d=，

所以△OPQ的面积S△OPQ=d·|PQ|=.

设=t，则t＞0，S△OPQ==.

因为t＋≥4，当且仅当t=2，即k=±时等号成立，且满足Δ＞0，

所以，当△OPQ的面积最大时，l的方程为y=x－2或y=－x－2.

15.解：(1)过点(c,0)，(0，b)的直线方程为bx＋cy－bc=0，则原点O到该直线的距离d==，由d=c，得a=2b=2，可得离心率=.

(2)由(1)知，

椭圆E的方程为x2＋4y2=4b2.①

依题意，圆心M(－2,1)是线段AB的中点，且|AB|=.

易知，AB与x轴不垂直，设其方程为y=k(x＋2)＋1，

代入①得(1＋4k2)x2＋8k(2k＋1)x＋4(2k＋1)2－4b2=0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则x1＋x2=－，x1x2=.

由x1＋x2=－4，得－=－4，解得k=.从而x1x2=8－2b2.

于是|AB|= |x1－x2|==.

由|AB|=，得=，解得b2=3.

故椭圆E的方程为＋=1.

16.解：(1)由得(4＋a2k2)x2＋2a2kx－3a2=0，显然Δ＞0，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)，则x1＋x2=－，x1x2=，

∴x0=－，y0=－＋1=，∴k·=k·=－，

∴a2=8.∴椭圆C的方程为＋=1.

(2)假设存在定点M符合题意，且设M(0，m)，

由∠AMO=∠BMO得kAM＋kBM=0.∴＋=0.

即y1x2＋y2x1－m(x1＋x2)=0，∴2kx1x2＋x1＋x2－m(x1＋x2)=0.

由(1)知x1＋x2=－，x1x2=，∴－－＋=0，

∴=0，即=0，

∵k≠0，∴－4＋m=0，∴m=4.∴存在定点M(0,4)，

使得∠AMO=∠BMO.