2021年高考数学一轮精选练习：25《解三角形应用举例》(含解析)

2021年高考数学一轮精选练习：

25《解三角形应用举例》

一         、选择题

1.如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的(　 　)

A.北偏东10°          B.北偏西10°

C.南偏东80°          D.南偏西80°

2.如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与B的距离为(　 　)

A.a km        B.a km       C.a km       D.2a km

3.如图，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD=15°，∠BDC=30°，CD=30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB等于(　　)

A.5         B.15           C.5         D.15

4.如图所示，为了了解某海域海底构造，在海平面上取一条直线上的A，B，C三点进行测量，已知AB=50 m，BC=120 m，于A处测得水深AD=80 m，于B处测得水深BE=200 m，于C处测得水深CF=110 m，则∠DEF的余弦值为(　 　)

A.         B.          C.         D.

5.地面上有两座相距120 m的塔，在矮塔塔底望高塔塔顶的仰角为α，在高塔塔底望矮塔塔顶的仰角为，且在两塔底连线的中点O处望两塔塔顶的仰角互为余角，则两塔的高度分别为(　 　)

A.50 m,100 m      B.40 m,90 m       C.40 m,50 m       D.30 m,40 m

6.如图所示，一座建筑物AB的高为(30－10)m，在该建筑物的正东方向有一座通信塔CD.在它们之间的地面上的点M(B，M，D三点共线)处测得楼顶A，塔顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则通信塔CD的高为(　 　)

A.30 m         B.60 m        C.30 m       D.40 m

7.如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)：AB=5，BC=8，CD=3，DA=5，且∠B与∠D互补，则AC的长为(　A　)

A.7 km        B.8 km         C.9 km        D.6 km

二         、填空题

8.如图，某工程中要将一长为100 m，倾斜角为75°的斜坡改造成倾斜角为30°的斜坡，并保持坡高不变，则坡底需加长        .

9.如图，为了测量两座山峰上P，Q两点之间的距离，选择山坡上一段长度为300 m且和P，Q两点在同一平面内的路段AB的两个端点作为观测点，现测得∠PAB=90°，∠PAQ=∠PBA=∠PBQ=60°，则P，Q两点间的距离为       m.

10.我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里记载了这样一个题目：“今有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里.里法三百步.欲知为田几何.”这道题讲的是有一块三角形的沙田，三边长分别为13里，14里，15里，假设1里按500米计算，则该沙田的面积为        平方千米.

11.海轮“和谐号”从A处以每小时21海里的速度出发，海轮“奋斗号”在A处北偏东45°的方向，且与A相距10海里的C处，沿北偏东105°的方向以每小时9海里的速度行驶，则海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为        小时.

12.某人为测出所住小区的面积，进行了一些测量工作，最后将所住小区近似地画成如图所示的四边形，测得的数据如图所示，则该图所示的小区的面积是          km2.

13.如图，小明同学在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC=135°.若山高AD=100 m，汽车从B点到C点历时14 s，则这辆汽车的速度约为       m/s(精确到0.1).

三         、解答题

14.为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气象仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气象观测.如图所示，A，B，C三地位于同一水平面上，这种仪器在C地进行弹射实验，观测点A，B两地相距100米，∠BAC=60°.在A地听到弹射声音的时间比B地晚秒.在A地测得该仪器至最高点H处的仰角为30°.

(1)求A，C两地的距离；

(2)求这种仪器的垂直弹射高度HC.(已知声音的传播速度为340米/秒)

15.如图所示，在一条海防警戒线上的点A，B，C处各有一个水声监测点，B，C两点到点A的距离分别为20 km和50 km.某时刻，B收到发自静止目标P的一个声波信号，8 s后A，C同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5 km/s.

(1)设A到P的距离为x km，用x表示B，C到P的距离，并求x的值；

(2)求静止目标P到海防警戒线AC的距离.

16.某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇.

(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？

(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由.

答案解析

1.答案为：D；

解析：由条件及图可知，∠A=∠CBA=40°，又∠BCD=60°，所以∠CBD=30°，

所以∠DBA=10°，因此灯塔A在灯塔B的南偏西80°.

2.答案为：B；

解析：由题图可知，∠ACB=120°，由余弦定理，得AB2=AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB

=a2＋a2－2·a·a·=3a2，解得AB=a(km).

3.答案为：D；

解析：在△BCD中，∠CBD=180°－15°－30°=135°.

由正弦定理得=，所以BC=15.

在Rt△ABC中，AB=BCtan∠ACB=15×=15.

4.答案为：A；

解析：如图所示，作DM∥AC交BE于N，交CF于M，

则DF===10(m)，DE===130(m)，

EF===150(m).

在△DEF中，由余弦定理，得cos∠DEF===.

5.答案为：B；

解析：设高塔高H m，矮塔高h m，在O点望高塔塔顶的仰角为β.

则tanα=，tan=，根据三角函数的倍角公式有=.①

因为在两塔底连线的中点O望两塔塔顶的仰角互为余角，

所以在O点望矮塔塔顶的仰角为－β，

由tanβ=，tan=，得=.②

联立①②解得H=90，h=40.即两座塔的高度分别为40 m,90 m.

6.答案为：B；

解析：在Rt△ABM中，AM====20(m).

过点A作AN⊥CD于点N，如图所示.易知∠MAN=∠AMB=15°，

所以∠MAC=30°＋15°=45°.

又∠AMC=180°－15°－60°=105°，所以∠ACM=30°.

在△AMC中，由正弦定理得=，解得MC=40(m).

在Rt△CMD中，CD=40×sin60°=60(m)，故通信塔CD的高为60 m.

7.答案为：D；

解析：在△ACD中，由余弦定理得：cosD==.

在△ABC中，由余弦定理得：cosB==.

因为∠B＋∠D=180°，所以cosB＋cosD=0，即＋=0，解得AC=7.

一         、填空题

8.答案为：100.

解析：设坡底需加长x m，由正弦定理得=，解得x=100.

9.答案为：900；

解析：由已知，得∠QAB=∠PAB－∠PAQ=30°.

又∠PBA=∠PBQ=60°，∴∠AQB=30°，∴AB=BQ.

又PB为公共边，∴△PAB≌△PQB，∴PQ=PA.

在Rt△PAB中，AP=AB·tan60°=900，故PQ=900，

∴P，Q两点间的距离为900 m.

10.答案为：21；

解析：设在△ABC中，a=13里，b=14里，c=15里，

∴cosC====，

∴sinC=，故△ABC的面积为×13×14××5002×=21(平方千米).

11.答案为：；

解析：设海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为x小时，如图，

则由已知得△ABC中，AC=10，AB=21x，BC=9x，∠ACB=120°.

由余弦定理得：(21x)2=100＋(9x)2－2×10×9x×cos120°，

整理，得36x2－9x－10=0，解得x=或x=－(舍).

所以海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为小时.

12.答案为：；

解析：如图，连接AC，由余弦定理可知AC==，

故∠ACB=90°，∠CAB=30°，∠DAC=∠DCA=15°，∠ADC=150°，

=，即AD===，

故S四边形ABCD=S△ABC＋S△ADC=×1×＋×2×=(km2).

13.答案为：22.6；

解析：因为小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，

所以∠BAD=60°，∠CAD=45°.设这辆汽车的速度为v m/s，则BC=14v.

在Rt△ADB中，AB===200.

在Rt△ADC中，AC===100.

在△ABC中，由余弦定理，得BC2=AC2＋AB2－2AC·AB·cos∠BAC，

所以(14v)2=(100)2＋2002－2×100×200×cos135°，

所以v=≈22.6，所以这辆汽车的速度约为22.6 m/s.

二         、解答题

14.解：(1)由题意，设AC=x，

因为在A地听到弹射声音的时间比B地晚秒，所以BC=x－×340=x－40，

在△ABC内，由余弦定理得BC2=CA2＋BA2－2BA·CA·cos∠BAC，

即(x－40)2=x2＋10 000－100x，解得x=420.

答：A，C两地的距离为420米.

(2)在Rt△ACH中，AC=420，∠CAH=30°.

所以CH=AC·tan∠CAH=140米.

答：该仪器的垂直弹射高度CH为140米.

15.解：(1)依题意，有PA=PC=x，PB=x－1.5×8=x－12.

在△PAB中，AB=20，cos∠PAB===.

同理，在△PAC中，AC=50，cos∠PAC===.

因为cos∠PAB=cos∠PAC，所以=，解得x=31.

(2)作PD⊥AC于点D，在△ADP中，

由cos∠PAD=，得sin∠PAD==，

所以PD=PAsin∠PAD=31×=4(km).

故静止目标P到海防警戒线AC的距离为4 km.

16.解：(1)设相遇时小艇航行的距离为S海里，则

S=

==.

故当t=时，Smin=10，v==30.

即小艇以30海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小.

(2)设小艇与轮船在B处相遇.如图所示.

则v2t2=400＋900t2－2·20·30t·cos(90°－30°)，故v2=900－＋.

因为0＜v≤30，所以900－＋≤900，

即－≤0，解得t≥.又t=时，v=30，

故v=30时，t取得最小值，且最小值等于.

此时，在△OAB中，有OA=OB=AB=20.

故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时.