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2021版高考数学导与练一轮复习（浙江版）知识梳理：第十二章第三节 直线与椭圆的位置关系(二)
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第三节 直线与椭圆的位置关系(二)
复习目标
学法指导
1.直线与椭圆的位置关系.
2.掌握利用曲线的方程研究曲线几何性质的基本方法.
1.理解研究直线与椭圆位置关系的基本思路.
2.理解几何法与代数法求解的基本步骤.
一、最值问题
1.椭圆上的点到某一焦点距离的最大值为a+c,最小值为a-c,即椭圆长轴的端点到其中一个焦点的距离为a-c,到另一个焦点的距离为a+c.
2.椭圆的焦点三角形面积的最大值为bc,即短轴端点与两焦点组成的焦点三角形面积最大.
1.概念理解
椭圆中最值可结合几何图形理解,也可转化为函数求最值问题,解题时应结合具体情况进行分析.
2.与最值相关的结论
因椭圆方程+=1在形式上可化为+=1,与三角函数中sin2α+cos2α=1在形式上相同,所以椭圆方程也可设为(其中θ为参数),从而使问题转化为三角函数问题.
二、定值、定点问题
1.过椭圆+=1(a>b>0)的焦点且与长轴垂直的弦,称为椭圆的通径,其长为定值.
2.设P点是椭圆+=1(a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1,F2为焦点,记∠F1PF2=θ,则|PF1|·|PF2|=,=b2tan .
三、范围问题
1.椭圆+=1(a>b>0)中,-a≤x≤a,-b≤y≤b.
2.椭圆离心率为e,0
概念理解
椭圆中求范围问题,常借助椭圆上点的坐标的范围或离心率的范围进行求解,解题时常构建不等式或不等式组,从而达到确定范围的目的.
椭圆中求范围问题也可化为函数求值域问题.
1.直线y=b(0
解析:S=b·|x1-x2|=2b·≤b2+1-b2=1.
当且仅当b=时,S取到最大值,故选C.
2.椭圆+=1上一点P到两焦点的距离之积为m,则m取最大值时P点坐标是( A )
(A)(0,3)或(0,-3)
(B)(,)或(,-)
(C)(5,0)或(-5,0)
(D)(,)或(-,)
解析:设两焦点为F1,F2,由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=10,m=|PF1|·|PF2|≤()2=25,当且仅当|PF1|=|PF2|时取等号,所以m取最大值时P点坐标是(0,3)或(0,-3).
3.椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,若椭圆C上恰好有6个不同的点P,使得△F1F2P为等腰三角形,则椭圆C的离心率的取值范围是( D )
(A)(,) (B)(,1)
(C)(,1) (D)(,)∪(,1)
解析:当点P位于椭圆的两个短轴端点时,△F1F2P为等腰三角形,此时有2个.
若点P不在短轴的端点时,要使△F1F2P为等腰三角形,则有|PF1|=|F1F2|=2c或|PF2|=|F1F2|=2c.不妨设|PF1|=|F1F2|=2c.
此时|PF2|=2a-2c.
所以有|PF1|+|F1F2|>|PF2|,即2c+2c>2a-2c,
所以3c>a,即>,
又当点P不在短轴上,
所以|PF1|≠|BF1|,即2c≠a,
所以≠.
所以椭圆的离心率满足
解析:由+=1,得
x2=4(1-),
令T=x2+2y,将其代入得T=4-+2y.
即T=-(y-)2++4(-b≤y≤b).
当≤b,即0
所以f(b)=
答案:
5.已知点A在椭圆+=1上,点P满足=(λ-1)(λ∈R)(O是坐标原点),且·=72,则线段OP在x轴上的投影长度的最大值为 .
解析:因为=(λ-1),所以=λ,
即O,A,P三点共线,因为·=72,
所以·=λ2=72,
设A(x,y),OA与x轴正方向的夹角为θ,线段OP在x轴上的投影长度为=|λ||x|===≤=15,
当且仅当|x|=时取等号.
答案:15
考点一 最值问题
[例1] P,Q,M,N四点都在椭圆x2+=1上,F为椭圆在y轴正半轴上的焦点,已知与共线,与共线,且·=0,求四边形PMQN的面积的最小值和最大值.
解:由题意知MN和PQ是椭圆的两条弦,相交于焦点F(0,1),且PQ⊥MN,直线PQ,NM中至少有一条存在斜率,不妨设PQ的斜率为k,
又PQ过点F(0,1),
故PQ的方程为y=kx+1,
设P(x1,y1),Q(x2,y2),
由
得(2+k2)x2+2kx-1=0,
则x1=,x2=,
从而|PQ|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=,
即|PQ|=,
①当k≠0时,MN的斜率为-,
推得|MN|=,
故四边形面积S=|PQ|·|MN|
=
=,
令u=k2+得S==2(1-).
因u=k2+≥2,当k=±1时,u=2,S=,且S是以u为自变量的增函数,所以≤S<2.
②当k=0时,MN为长轴,|MN|=2,|PQ|=,
S=|PQ|·|MN|=2,
由①②知四边形PMQN面积的最大值为2,最小值为.
最值问题的解决方法一般分为两种,一是几何法,用椭圆的定义和平面几何的有关结论来求最值;二是代数法,常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题,然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等进行求解.
(2019·舟山中学模拟)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,且过点(,),点P在第四象限,A为左顶点,B为上顶点,PA交y轴于点C,PB交x轴于点D.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)求△PCD面积的最大值.
解:(1)由已知得=⇒=,
将点(,)代入+=1,
可得+=1.解得b2=1,a2=4,
所以椭圆C的标准方程为+y2=1.
(2)可得A(-2,0),B(0,1).
设P(m,n),m>0,n<0,且+n2=1,
PA:y=(x+2),PB:y=x+1,
可得C(0, ),D(,0)
由,可得x=.
S△PCD=··(-n)
=
=
=-
=(m-2n-2).
设P处的切线为x-2y+t=0,t<0.
⇒8y2-4ty+t2-4=0,
Δ=-16t2+128=0⇒t=-2.
此时,方程组的解为
即当点P(,-)时,S△PCD取得最大值,最大值为-1.
考点二 直线与椭圆的定点、定值
[例2] 已知左焦点为F(-1,0)的椭圆过点E(1,),过点P(1,1)分别作斜率为k1,k2的椭圆的动弦AB,CD,设M,N分别是线段AB,CD的中点,
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若k1+k2=1,求证直线MN恒过定点,并求出定点的坐标.
解:(1)由题意知c=1,设右焦点为F′(1,0),
所以2a=|EF|+|EF′|=+=2.
所以a=,b=,
所以椭圆的标准方程为+=1.
(2)设M(xM,yM),直线AB的方程为y-1=k1(x-1),结合k1+k2=1,直线AB的方程为y=k1x+k2,与椭圆方程联立并化简得
(2+3)x2+6k1k2x+3-6=0,
解得xM=,yM=,
同理可得xN=,yN=,
直线MN的斜率为k==,
直线MN的方程为y-=(x-)
化简得y=x-,
故直线MN过定点(0,-),
当k1k2=0,直线MN为y轴,此时也过定点(0,-).
本题是圆锥曲线的综合问题,涉及定点问题.
已知椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率为,且过点P(1,-).直线l:y=kx+m交椭圆E于不同的两点A,B,设线段AB的中点为M.
(1)求椭圆E的方程;
(2)当△AOB的面积为(其中O为坐标原点)且4k2-4m2+3≠0时,试问在坐标平面上是否存在两个定点C,D,使得当直线l运动时,|MC|+|MD|为定值?若存在,求出点C,D的坐标和定值;若不存在,请说明理由.
解:(1)由于椭圆的离心率为,则
a2∶b2∶c2=4∶3∶1,
故设椭圆E:+=λ(λ>0),
又椭圆过点P(1,-),从而λ=+=1,
从而椭圆E的方程为+=1.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),
联立方程组得
(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,
则
从而y1+y2=k(x1+x2)+2m=,
从而点M的坐标为(,),
由于|AB|=|x1-x2|
=·,
点O到直线l的距离为d=,
则△AOB的面积S△AOB=|AB|·d
=2·.
由题得S△AOB=2·=,
从而化简得3(4k2+3)2-16m2(4k2+3)+16m4=0,
故[(4k2+3)-4m2]·[3(4k2-3)-4m2]=0,
即m2=或m2=.
又由于4k2-4m2+3≠0,从而m2=.
当m2=时,由于xM=,yM=,
从而()2+()2=()2+()2
==,
即点M在椭圆+=1上.
由椭圆的定义得,存在点C(-,0),D(,0)或D(-,0),C(,0),使得|MC|+|MD|为定值2.
考点三 范围问题
[例3] 已知圆G:x2+y2-2x-y=0经过椭圆+=1(a>b>0)的右焦点F及上顶点B.过椭圆外一点M(m,0)(m>a)作倾斜角为π的直线l交椭圆于C,D两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)若右焦点F在以线段CD为直径的圆E的内部,求m的取值范围.
思路点拨:(1)由圆G过椭圆的右焦点和上顶点,可分别得出c,b的值;(2)将直线l的方程代入椭圆方程得到一元二次方程,设C(x1,y1),D(x2,y2),可求得x1+x2,x1x2,由点F在以线段CD为直径的圆E的内部,得·<0,联立Δ>0可解之.
解:(1)因为圆G:x2+y2-2x-y=0经过点F,B,
所以F(2,0),B(0,),
所以c=2,b=,所以a2=b2+c2=6,
故椭圆的方程为+=1.
(2)由题意知直线l的方程为y=-(x-m),m>,
由
消去y,得2x2-2mx+(m2-6)=0.
由Δ=4m2-8(m2-6)>0,
解得-2
则x1+x2=m,x1x2=,
所以y1y2=[-(x1-m)]·[-(x2-m)]
=x1x2-(x1+x2)+.
因为=(x1-2,y1),=(x2-2,y2),
所以·=(x1-2)(x2-2)+y1y2
=x1x2-(x1+x2)++4
=.
因为点F在圆E的内部,
所以·<0,
即<0,
解得0
解析几何中求参数范围问题的思路是将求解目标转化为关于某个变量的函数,通过求函数值域来求解参数范围.解题过程中要注意变量自身的范围,如直线和圆锥曲线有交点的情况下,就应该有Δ≥0等.
如图,椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点为F,离心率为,点P(1,)在椭圆上.过点F的直线l交椭圆C于A,B,过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N,直线AN与x轴交于点M.
(1)求椭圆C的方程;
(2)求点M的横坐标的取值范围.
解:(1)由题意知:
又a2=b2+c2,解得
所以椭圆方程C:+=1.
(2)左焦点F(-1,0),
设A(x1,y1),B(x2,y2),
直线AB:x=my-1(m≠0),
则直线FN:x=-y-1.
联立方程组
得(3m2+4)y2-6my-9=0,
y1+y2=,y1y2=-,
把y=y2代入x=-y-1得x=-y2-1,
所以N(--1,y2).
设M(a,0),又A,M,N三点共线,
所以=,
a=-
=-
=--1
所以a+1=-,
所以|a+1|=||
=
=·>,
所以a+1<-或a+1>,
即a<-或a>-.
所以M的横坐标的取值范围为
(-∞,-)∪(-,+∞).
直线与椭圆相关的定点问题
[例题] 已知椭圆L:+=1(a>b>0)的离心率为,过点(1,),与x轴不重合的直线l过定点T(m,0)(m为大于a的常数),且与椭圆L交于两点A,B(可以重合),点C为点A关于x轴的对称点.
(1)求椭圆L的方程;
(2)①求证:直线BC过定点M,并求出定点M的坐标;
②求△OBC面积的最大值.
(1)解:由题意得
解得
所以椭圆L的方程为+y2=1.
(2)①证明:由对称性可知若直线BC过定点,则定点必在x轴上.
设直线l的方程为x=ty+m,A(x1,y1),B(x2,y2),C(x1,-y1),
代入+y2=1,
可得(t2+2)y2+2tmy+m2-2=0,
则
设直线BC的方程为y+y1=(x-x1),令y=0,则
x==+m=,
所以直线BC过定点M(,0).
②解:记△OBC的面积为S,则
S=×|OM|×|y2-(-y1)|
=·=,
由(*)可知|t|≥(m>),
(i)若>,
即m>2时,Smax=;
(ii)若
规范要求:第(2)问采用联立方程组的方法解决,解决过程中需使用根与系数的关系、判别式.
温馨提示:第(2)问解答时,Δ=0需注意,容易被忽视.
类型一 最值问题
1.椭圆+=1的左、右焦点分别为F1,F2,过椭圆的右焦点F2作一条直线l交椭圆于P,Q两点,则△F1PQ的内切圆面积的最大值是 .
解析:令直线l:x=my+1,与椭圆方程联立消去x,
得(3m2+4)y2+6my-9=0,
可设P(x1,y1),Q(x2,y2),
则y1+y2=-,y1y2=-.
可知=|F1F2||y1-y2|
=
=12,
又=≤,
所以△F1PQ的面积的最大值为12×=3,
设△F1PQ的内切圆半径为r,
则面积的最大值为π()2=.
答案:
2.已知椭圆C的焦点在x轴上,短轴长和焦距均为2.
(1)求椭圆C的标准方程及离心率;
(2)设O为原点,若点A在直线y=2上,点B在椭圆C上,且OA⊥OB,求线段AB长度的最小值.
解:(1)由题意知2b=2c=2,
所以b2=1,c2=1,
所以a2=b2+c2=2,
椭圆C的标准方程为+y2=1,椭圆C的离心率e=.
(2)设点A,B的坐标分别为(t,2),(x0,y0),
其中x0≠0.
因为OA⊥OB,
所以tx0+2y0=0,
解得t=.
又+=1,
所以=1-,
所以|AB|2=(x0-t)2+(y0-2)2
=(x0+)2+(y0-2)2
=+++4
=++1-+4
=++3
=(+)+3,
这是关于的函数,在∈(0,2]上单调递减,
取=2,
得=6,
所以|AB|min=.
3.(2019·杭二热身考)已知:椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,且a+b=3,过左焦点F作一条直线交椭圆于A,B两点,过线段AB的中点M作AB的垂线交y轴于点P.
(1)求椭圆方程;
(2)当△PAB面积最大时,求直线AB的斜率.
解:(1)由椭圆离心率知=,
所以c=a,
所以=,即b=a,
由a+b=3得a+a=3,
所以a=2,b=1.
所以椭圆的方程为+y2=1.
(2)设lAB:x=my-,与椭圆联立,
消去x得(m2+4)y2-2my-1=0,|AB|=4·,
又点M(,),
所以lMP:x+=-(y-),
故点P(0,)到lAB:x=my-的距离d=4·,
所以S△PAB=8·,
令t=,
则S△PAB=8·=8·
考虑函数f(t)=t++,f′(t)=,
所以t==3,
即kAB=±时,△PAB面积最大.
类型二 定点、定值问题
4.已知椭圆C:+=1的右焦点为(1,0),且经过点A(0,1).
(1)求椭圆C的方程;
(2)设O为原点,直线l:y=kx+t(t≠1)与椭圆C交于两个不同点P,Q,直线AP与x轴交于点M,直线AQ与x轴交于点N,若|OM|·|ON|=2,求证:直线l经过定点.
(1)解:因为椭圆的右焦点为(1,0),所以c=1,
因为椭圆经过点A(0,1),所以b=1,
所以a2=b2+c2=2,
故椭圆的方程为+y2=1.
(2)证明:设P(x1,y1),Q(x2,y2),
联立得
(1+2k2)x2+4ktx+2t2-2=0,
Δ>0,x1+x2=-,x1x2=,y1+y2=k(x1+x2)+2t=,y1y2=k2x1x2+kt(x1+x2)+t2=.
直线AP:y-1=x,令y=0得x=,
即|OM|=||;
同理可得|ON|=||.
因为|OM||ON|=2,
所以||||=||=2;
||=1,
由t≠1,解得t=0,
所以直线方程为y=kx,所以直线l恒过定点(0,0).
5.如图,已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1,F2为顶点的三角形的周长为4(+1).一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点,设P为该双曲线上异于顶点的任一点,直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A,B和C,D.
(1)求椭圆和双曲线的标准方程;
(2)设直线PF1,PF2的斜率分别为k1,k2,证明k1·k2=1;
(3)设λ=+,求证λ为定值.
(1)解:由题意知,椭圆的离心率为=,得a=c,
又2a+2c=4(+1),
所以可解得a=2,c=2,
所以b2=a2-c2=4,
所以椭圆的标准方程为+=1;
所以椭圆的焦点坐标为(±2,0),
因为双曲线为等轴双曲线,且顶点是该椭圆的焦点,所以该双曲线的标准方程为-=1.
(2)证明:设P(x0,y0),则k1=,k2=,
所以k1k2==1.
(3)证明:设直线AB方程为y=k(x+2),
则直线CD方程为y=(x-2),
由
得(2k2+1)x2+8k2x+8k2-8=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
x1+x2=-,x1x2=,
|AB|=|x1-x2|=,
同理|CD|=,
λ=+=+=.
即λ为定值.
类型三 范围问题
6.已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,长轴长是短轴长的倍,且经过点M(2,).
(1)求椭圆C的方程;
(2)过圆O:x2+y2=上任意一点作圆的一条切线l交椭圆C于A,B两点.
①求证:OA⊥OB;
②求|AB|的取值范围.
(1)解:设椭圆C的方程为+=1(a>b>0),因为长轴长是短轴长的倍,所以椭圆方程为+=1.
因为M(2,)在椭圆C上,所以+=1,
所以b2=4,所以椭圆C的方程为+=1.
(2)①证明:当切线l的斜率不存在时,切线方程为x=(或x=-),与椭圆+=1的两个交点为(,)(或(-,)),满足⊥,
即OA⊥OB;
当切线l的斜率存在时,可设l的方程为y=kx+m,将l方程与椭圆方程联立得
消去y得x2+2(kx+m)2=8.
即(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0,
则Δ=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-8)=8(8k2-m2+4)>0,即8k2-m2+4>0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=-,x1x2=,
y1y2=(kx1+m)(kx2+m)
=k2x1x2+km(x1+x2)+m2
=-+m2
=.
因为l与圆x2+y2=相切,
所以=,
所以3m2=8k2+8,
所以·=x1x2+y1y2==0,
所以OA⊥OB.
综上,OA⊥OB.
②解:当l的斜率存在时,
由①可知(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2
=-4×
=,
|AB|=
=
=
=
=.
当k≠0时,|AB|=,
因为4k2++4≥8,
所以0<≤,
所以<(1+)≤12,
所以<|AB|≤2,当且仅当k=±时取等号.
当k=0时,|AB|=.
当l的斜率不存在时,
两个交点为(,)(或(,)),
此时|AB|=.
综上,|AB|的取值范围为[,].
7.已知椭圆C:+=1(a>b>0)与双曲线-y2=1的离心率互为倒数,且直线x-y-2=0经过椭圆的右顶点.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设不过原点O的直线与椭圆C交于M,N两点,且直线OM,MN,ON的斜率依次成等比数列,求△OMN面积的取值范围.
解:(1)因为双曲线的离心率为,
所以椭圆的离心率e==.
又因为直线x-y-2=0经过椭圆的右顶点,
所以椭圆的右顶点为点(2,0),即a=2,c=,b=1,
所以椭圆方程为+y2=1.
(2)由题意可设直线MN的方程为y=kx+m(k≠0,m≠0),
M(x1,y1),N(x2,y2).
联立
消去y,并整理得(1+4k2)x2+8kmx+4(m2-1)=0,
则x1+x2=-,x1x2=,
于是y1y2=(kx1+m)(kx2+m)
=k2x1x2+km(x1+x2)+m2.
又直线OM,MN,ON的斜率依次成等比数列,
故·==k2,
化简解得k=±.
又由Δ=64k2m2-16(1+4k2)(m2-1)
=16(4k2-m2+1)>0,得0
设原点O到直线MN的距离为d,
则S△OMN=|MN|d
=··|x1-x2|·
=|m|
=.
故由m的取值范围可得△OMN面积的取值范围为(0,1).
8.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,其左、右焦点分别是F1,F2,过点F1的直线l交椭圆C于E,G两点,且△EGF2的周长为4.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若过点M(2,0)的直线与椭圆C相交于两点A,B,设P为椭圆上一点,且满足+=t(O为坐标原点),当|-|<时,求实数t的取值范围.
解:(1)由题意知椭圆的离心率e==,
所以e2===,即a2=2b2.
又△EGF2的周长为4,即4a=4,
所以a2=2,b2=1.
所以椭圆C的方程为+y2=1.
(2)由题意知直线AB的斜率存在,即t≠0.
设直线AB的方程为y=k(x-2),A(x1,y1),B(x2,y2),P(x,y),
由
得(1+2k2)x2-8k2x+8k2-2=0.
由Δ=64k4-4(2k2+1)(8k2-2)>0,得k2<.
x1+x2=,x1x2=.
因为+=t,
所以(x1+x2,y1+y2)=t(x,y),
x==,
y==[k(x1+x2)-4k]=.
因为点P在椭圆C上,
所以+2=2,
所以16k2=t2(1+2k2).
因为|-|<,
所以|x1-x2|<,
所以(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]<,
所以(1+k2)[-4·]<,
所以(4k2-1)(14k2+13)>0,所以k2>.
所以
所以t2==8-,
又<1+2k2<2,
所以
复习目标
学法指导
1.直线与椭圆的位置关系.
2.掌握利用曲线的方程研究曲线几何性质的基本方法.
1.理解研究直线与椭圆位置关系的基本思路.
2.理解几何法与代数法求解的基本步骤.
一、最值问题
1.椭圆上的点到某一焦点距离的最大值为a+c,最小值为a-c,即椭圆长轴的端点到其中一个焦点的距离为a-c,到另一个焦点的距离为a+c.
2.椭圆的焦点三角形面积的最大值为bc,即短轴端点与两焦点组成的焦点三角形面积最大.
1.概念理解
椭圆中最值可结合几何图形理解,也可转化为函数求最值问题,解题时应结合具体情况进行分析.
2.与最值相关的结论
因椭圆方程+=1在形式上可化为+=1,与三角函数中sin2α+cos2α=1在形式上相同,所以椭圆方程也可设为(其中θ为参数),从而使问题转化为三角函数问题.
二、定值、定点问题
1.过椭圆+=1(a>b>0)的焦点且与长轴垂直的弦,称为椭圆的通径,其长为定值.
2.设P点是椭圆+=1(a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1,F2为焦点,记∠F1PF2=θ,则|PF1|·|PF2|=,=b2tan .
三、范围问题
1.椭圆+=1(a>b>0)中,-a≤x≤a,-b≤y≤b.
2.椭圆离心率为e,0
概念理解
椭圆中求范围问题,常借助椭圆上点的坐标的范围或离心率的范围进行求解,解题时常构建不等式或不等式组,从而达到确定范围的目的.
椭圆中求范围问题也可化为函数求值域问题.
1.直线y=b(0
解析:S=b·|x1-x2|=2b·≤b2+1-b2=1.
当且仅当b=时,S取到最大值,故选C.
2.椭圆+=1上一点P到两焦点的距离之积为m,则m取最大值时P点坐标是( A )
(A)(0,3)或(0,-3)
(B)(,)或(,-)
(C)(5,0)或(-5,0)
(D)(,)或(-,)
解析:设两焦点为F1,F2,由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=10,m=|PF1|·|PF2|≤()2=25,当且仅当|PF1|=|PF2|时取等号,所以m取最大值时P点坐标是(0,3)或(0,-3).
3.椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,若椭圆C上恰好有6个不同的点P,使得△F1F2P为等腰三角形,则椭圆C的离心率的取值范围是( D )
(A)(,) (B)(,1)
(C)(,1) (D)(,)∪(,1)
解析:当点P位于椭圆的两个短轴端点时,△F1F2P为等腰三角形,此时有2个.
若点P不在短轴的端点时,要使△F1F2P为等腰三角形,则有|PF1|=|F1F2|=2c或|PF2|=|F1F2|=2c.不妨设|PF1|=|F1F2|=2c.
此时|PF2|=2a-2c.
所以有|PF1|+|F1F2|>|PF2|,即2c+2c>2a-2c,
所以3c>a,即>,
又当点P不在短轴上,
所以|PF1|≠|BF1|,即2c≠a,
所以≠.
所以椭圆的离心率满足
解析:由+=1,得
x2=4(1-),
令T=x2+2y,将其代入得T=4-+2y.
即T=-(y-)2++4(-b≤y≤b).
当≤b,即0
所以f(b)=
答案:
5.已知点A在椭圆+=1上,点P满足=(λ-1)(λ∈R)(O是坐标原点),且·=72,则线段OP在x轴上的投影长度的最大值为 .
解析:因为=(λ-1),所以=λ,
即O,A,P三点共线,因为·=72,
所以·=λ2=72,
设A(x,y),OA与x轴正方向的夹角为θ,线段OP在x轴上的投影长度为=|λ||x|===≤=15,
当且仅当|x|=时取等号.
答案:15
考点一 最值问题
[例1] P,Q,M,N四点都在椭圆x2+=1上,F为椭圆在y轴正半轴上的焦点,已知与共线,与共线,且·=0,求四边形PMQN的面积的最小值和最大值.
解:由题意知MN和PQ是椭圆的两条弦,相交于焦点F(0,1),且PQ⊥MN,直线PQ,NM中至少有一条存在斜率,不妨设PQ的斜率为k,
又PQ过点F(0,1),
故PQ的方程为y=kx+1,
设P(x1,y1),Q(x2,y2),
由
得(2+k2)x2+2kx-1=0,
则x1=,x2=,
从而|PQ|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=,
即|PQ|=,
①当k≠0时,MN的斜率为-,
推得|MN|=,
故四边形面积S=|PQ|·|MN|
=
=,
令u=k2+得S==2(1-).
因u=k2+≥2,当k=±1时,u=2,S=,且S是以u为自变量的增函数,所以≤S<2.
②当k=0时,MN为长轴,|MN|=2,|PQ|=,
S=|PQ|·|MN|=2,
由①②知四边形PMQN面积的最大值为2,最小值为.
最值问题的解决方法一般分为两种,一是几何法,用椭圆的定义和平面几何的有关结论来求最值;二是代数法,常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题,然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等进行求解.
(2019·舟山中学模拟)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,且过点(,),点P在第四象限,A为左顶点,B为上顶点,PA交y轴于点C,PB交x轴于点D.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)求△PCD面积的最大值.
解:(1)由已知得=⇒=,
将点(,)代入+=1,
可得+=1.解得b2=1,a2=4,
所以椭圆C的标准方程为+y2=1.
(2)可得A(-2,0),B(0,1).
设P(m,n),m>0,n<0,且+n2=1,
PA:y=(x+2),PB:y=x+1,
可得C(0, ),D(,0)
由,可得x=.
S△PCD=··(-n)
=
=
=-
=(m-2n-2).
设P处的切线为x-2y+t=0,t<0.
⇒8y2-4ty+t2-4=0,
Δ=-16t2+128=0⇒t=-2.
此时,方程组的解为
即当点P(,-)时,S△PCD取得最大值,最大值为-1.
考点二 直线与椭圆的定点、定值
[例2] 已知左焦点为F(-1,0)的椭圆过点E(1,),过点P(1,1)分别作斜率为k1,k2的椭圆的动弦AB,CD,设M,N分别是线段AB,CD的中点,
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若k1+k2=1,求证直线MN恒过定点,并求出定点的坐标.
解:(1)由题意知c=1,设右焦点为F′(1,0),
所以2a=|EF|+|EF′|=+=2.
所以a=,b=,
所以椭圆的标准方程为+=1.
(2)设M(xM,yM),直线AB的方程为y-1=k1(x-1),结合k1+k2=1,直线AB的方程为y=k1x+k2,与椭圆方程联立并化简得
(2+3)x2+6k1k2x+3-6=0,
解得xM=,yM=,
同理可得xN=,yN=,
直线MN的斜率为k==,
直线MN的方程为y-=(x-)
化简得y=x-,
故直线MN过定点(0,-),
当k1k2=0,直线MN为y轴,此时也过定点(0,-).
本题是圆锥曲线的综合问题,涉及定点问题.
已知椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率为,且过点P(1,-).直线l:y=kx+m交椭圆E于不同的两点A,B,设线段AB的中点为M.
(1)求椭圆E的方程;
(2)当△AOB的面积为(其中O为坐标原点)且4k2-4m2+3≠0时,试问在坐标平面上是否存在两个定点C,D,使得当直线l运动时,|MC|+|MD|为定值?若存在,求出点C,D的坐标和定值;若不存在,请说明理由.
解:(1)由于椭圆的离心率为,则
a2∶b2∶c2=4∶3∶1,
故设椭圆E:+=λ(λ>0),
又椭圆过点P(1,-),从而λ=+=1,
从而椭圆E的方程为+=1.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),
联立方程组得
(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,
则
从而y1+y2=k(x1+x2)+2m=,
从而点M的坐标为(,),
由于|AB|=|x1-x2|
=·,
点O到直线l的距离为d=,
则△AOB的面积S△AOB=|AB|·d
=2·.
由题得S△AOB=2·=,
从而化简得3(4k2+3)2-16m2(4k2+3)+16m4=0,
故[(4k2+3)-4m2]·[3(4k2-3)-4m2]=0,
即m2=或m2=.
又由于4k2-4m2+3≠0,从而m2=.
当m2=时,由于xM=,yM=,
从而()2+()2=()2+()2
==,
即点M在椭圆+=1上.
由椭圆的定义得,存在点C(-,0),D(,0)或D(-,0),C(,0),使得|MC|+|MD|为定值2.
考点三 范围问题
[例3] 已知圆G:x2+y2-2x-y=0经过椭圆+=1(a>b>0)的右焦点F及上顶点B.过椭圆外一点M(m,0)(m>a)作倾斜角为π的直线l交椭圆于C,D两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)若右焦点F在以线段CD为直径的圆E的内部,求m的取值范围.
思路点拨:(1)由圆G过椭圆的右焦点和上顶点,可分别得出c,b的值;(2)将直线l的方程代入椭圆方程得到一元二次方程,设C(x1,y1),D(x2,y2),可求得x1+x2,x1x2,由点F在以线段CD为直径的圆E的内部,得·<0,联立Δ>0可解之.
解:(1)因为圆G:x2+y2-2x-y=0经过点F,B,
所以F(2,0),B(0,),
所以c=2,b=,所以a2=b2+c2=6,
故椭圆的方程为+=1.
(2)由题意知直线l的方程为y=-(x-m),m>,
由
消去y,得2x2-2mx+(m2-6)=0.
由Δ=4m2-8(m2-6)>0,
解得-2
则x1+x2=m,x1x2=,
所以y1y2=[-(x1-m)]·[-(x2-m)]
=x1x2-(x1+x2)+.
因为=(x1-2,y1),=(x2-2,y2),
所以·=(x1-2)(x2-2)+y1y2
=x1x2-(x1+x2)++4
=.
因为点F在圆E的内部,
所以·<0,
即<0,
解得0
解析几何中求参数范围问题的思路是将求解目标转化为关于某个变量的函数,通过求函数值域来求解参数范围.解题过程中要注意变量自身的范围,如直线和圆锥曲线有交点的情况下,就应该有Δ≥0等.
如图,椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点为F,离心率为,点P(1,)在椭圆上.过点F的直线l交椭圆C于A,B,过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N,直线AN与x轴交于点M.
(1)求椭圆C的方程;
(2)求点M的横坐标的取值范围.
解:(1)由题意知:
又a2=b2+c2,解得
所以椭圆方程C:+=1.
(2)左焦点F(-1,0),
设A(x1,y1),B(x2,y2),
直线AB:x=my-1(m≠0),
则直线FN:x=-y-1.
联立方程组
得(3m2+4)y2-6my-9=0,
y1+y2=,y1y2=-,
把y=y2代入x=-y-1得x=-y2-1,
所以N(--1,y2).
设M(a,0),又A,M,N三点共线,
所以=,
a=-
=-
=--1
所以a+1=-,
所以|a+1|=||
=
=·>,
所以a+1<-或a+1>,
即a<-或a>-.
所以M的横坐标的取值范围为
(-∞,-)∪(-,+∞).
直线与椭圆相关的定点问题
[例题] 已知椭圆L:+=1(a>b>0)的离心率为,过点(1,),与x轴不重合的直线l过定点T(m,0)(m为大于a的常数),且与椭圆L交于两点A,B(可以重合),点C为点A关于x轴的对称点.
(1)求椭圆L的方程;
(2)①求证:直线BC过定点M,并求出定点M的坐标;
②求△OBC面积的最大值.
(1)解:由题意得
解得
所以椭圆L的方程为+y2=1.
(2)①证明:由对称性可知若直线BC过定点,则定点必在x轴上.
设直线l的方程为x=ty+m,A(x1,y1),B(x2,y2),C(x1,-y1),
代入+y2=1,
可得(t2+2)y2+2tmy+m2-2=0,
则
设直线BC的方程为y+y1=(x-x1),令y=0,则
x==+m=,
所以直线BC过定点M(,0).
②解:记△OBC的面积为S,则
S=×|OM|×|y2-(-y1)|
=·=,
由(*)可知|t|≥(m>),
(i)若>,
即m>2时,Smax=;
(ii)若
规范要求:第(2)问采用联立方程组的方法解决,解决过程中需使用根与系数的关系、判别式.
温馨提示:第(2)问解答时,Δ=0需注意,容易被忽视.
类型一 最值问题
1.椭圆+=1的左、右焦点分别为F1,F2,过椭圆的右焦点F2作一条直线l交椭圆于P,Q两点,则△F1PQ的内切圆面积的最大值是 .
解析:令直线l:x=my+1,与椭圆方程联立消去x,
得(3m2+4)y2+6my-9=0,
可设P(x1,y1),Q(x2,y2),
则y1+y2=-,y1y2=-.
可知=|F1F2||y1-y2|
=
=12,
又=≤,
所以△F1PQ的面积的最大值为12×=3,
设△F1PQ的内切圆半径为r,
则面积的最大值为π()2=.
答案:
2.已知椭圆C的焦点在x轴上,短轴长和焦距均为2.
(1)求椭圆C的标准方程及离心率;
(2)设O为原点,若点A在直线y=2上,点B在椭圆C上,且OA⊥OB,求线段AB长度的最小值.
解:(1)由题意知2b=2c=2,
所以b2=1,c2=1,
所以a2=b2+c2=2,
椭圆C的标准方程为+y2=1,椭圆C的离心率e=.
(2)设点A,B的坐标分别为(t,2),(x0,y0),
其中x0≠0.
因为OA⊥OB,
所以tx0+2y0=0,
解得t=.
又+=1,
所以=1-,
所以|AB|2=(x0-t)2+(y0-2)2
=(x0+)2+(y0-2)2
=+++4
=++1-+4
=++3
=(+)+3,
这是关于的函数,在∈(0,2]上单调递减,
取=2,
得=6,
所以|AB|min=.
3.(2019·杭二热身考)已知:椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,且a+b=3,过左焦点F作一条直线交椭圆于A,B两点,过线段AB的中点M作AB的垂线交y轴于点P.
(1)求椭圆方程;
(2)当△PAB面积最大时,求直线AB的斜率.
解:(1)由椭圆离心率知=,
所以c=a,
所以=,即b=a,
由a+b=3得a+a=3,
所以a=2,b=1.
所以椭圆的方程为+y2=1.
(2)设lAB:x=my-,与椭圆联立,
消去x得(m2+4)y2-2my-1=0,|AB|=4·,
又点M(,),
所以lMP:x+=-(y-),
故点P(0,)到lAB:x=my-的距离d=4·,
所以S△PAB=8·,
令t=,
则S△PAB=8·=8·
考虑函数f(t)=t++,f′(t)=,
所以t==3,
即kAB=±时,△PAB面积最大.
类型二 定点、定值问题
4.已知椭圆C:+=1的右焦点为(1,0),且经过点A(0,1).
(1)求椭圆C的方程;
(2)设O为原点,直线l:y=kx+t(t≠1)与椭圆C交于两个不同点P,Q,直线AP与x轴交于点M,直线AQ与x轴交于点N,若|OM|·|ON|=2,求证:直线l经过定点.
(1)解:因为椭圆的右焦点为(1,0),所以c=1,
因为椭圆经过点A(0,1),所以b=1,
所以a2=b2+c2=2,
故椭圆的方程为+y2=1.
(2)证明:设P(x1,y1),Q(x2,y2),
联立得
(1+2k2)x2+4ktx+2t2-2=0,
Δ>0,x1+x2=-,x1x2=,y1+y2=k(x1+x2)+2t=,y1y2=k2x1x2+kt(x1+x2)+t2=.
直线AP:y-1=x,令y=0得x=,
即|OM|=||;
同理可得|ON|=||.
因为|OM||ON|=2,
所以||||=||=2;
||=1,
由t≠1,解得t=0,
所以直线方程为y=kx,所以直线l恒过定点(0,0).
5.如图,已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1,F2为顶点的三角形的周长为4(+1).一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点,设P为该双曲线上异于顶点的任一点,直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A,B和C,D.
(1)求椭圆和双曲线的标准方程;
(2)设直线PF1,PF2的斜率分别为k1,k2,证明k1·k2=1;
(3)设λ=+,求证λ为定值.
(1)解:由题意知,椭圆的离心率为=,得a=c,
又2a+2c=4(+1),
所以可解得a=2,c=2,
所以b2=a2-c2=4,
所以椭圆的标准方程为+=1;
所以椭圆的焦点坐标为(±2,0),
因为双曲线为等轴双曲线,且顶点是该椭圆的焦点,所以该双曲线的标准方程为-=1.
(2)证明:设P(x0,y0),则k1=,k2=,
所以k1k2==1.
(3)证明:设直线AB方程为y=k(x+2),
则直线CD方程为y=(x-2),
由
得(2k2+1)x2+8k2x+8k2-8=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
x1+x2=-,x1x2=,
|AB|=|x1-x2|=,
同理|CD|=,
λ=+=+=.
即λ为定值.
类型三 范围问题
6.已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,长轴长是短轴长的倍,且经过点M(2,).
(1)求椭圆C的方程;
(2)过圆O:x2+y2=上任意一点作圆的一条切线l交椭圆C于A,B两点.
①求证:OA⊥OB;
②求|AB|的取值范围.
(1)解:设椭圆C的方程为+=1(a>b>0),因为长轴长是短轴长的倍,所以椭圆方程为+=1.
因为M(2,)在椭圆C上,所以+=1,
所以b2=4,所以椭圆C的方程为+=1.
(2)①证明:当切线l的斜率不存在时,切线方程为x=(或x=-),与椭圆+=1的两个交点为(,)(或(-,)),满足⊥,
即OA⊥OB;
当切线l的斜率存在时,可设l的方程为y=kx+m,将l方程与椭圆方程联立得
消去y得x2+2(kx+m)2=8.
即(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0,
则Δ=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-8)=8(8k2-m2+4)>0,即8k2-m2+4>0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=-,x1x2=,
y1y2=(kx1+m)(kx2+m)
=k2x1x2+km(x1+x2)+m2
=-+m2
=.
因为l与圆x2+y2=相切,
所以=,
所以3m2=8k2+8,
所以·=x1x2+y1y2==0,
所以OA⊥OB.
综上,OA⊥OB.
②解:当l的斜率存在时,
由①可知(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2
=-4×
=,
|AB|=
=
=
=
=.
当k≠0时,|AB|=,
因为4k2++4≥8,
所以0<≤,
所以<(1+)≤12,
所以<|AB|≤2,当且仅当k=±时取等号.
当k=0时,|AB|=.
当l的斜率不存在时,
两个交点为(,)(或(,)),
此时|AB|=.
综上,|AB|的取值范围为[,].
7.已知椭圆C:+=1(a>b>0)与双曲线-y2=1的离心率互为倒数,且直线x-y-2=0经过椭圆的右顶点.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设不过原点O的直线与椭圆C交于M,N两点,且直线OM,MN,ON的斜率依次成等比数列,求△OMN面积的取值范围.
解:(1)因为双曲线的离心率为,
所以椭圆的离心率e==.
又因为直线x-y-2=0经过椭圆的右顶点,
所以椭圆的右顶点为点(2,0),即a=2,c=,b=1,
所以椭圆方程为+y2=1.
(2)由题意可设直线MN的方程为y=kx+m(k≠0,m≠0),
M(x1,y1),N(x2,y2).
联立
消去y,并整理得(1+4k2)x2+8kmx+4(m2-1)=0,
则x1+x2=-,x1x2=,
于是y1y2=(kx1+m)(kx2+m)
=k2x1x2+km(x1+x2)+m2.
又直线OM,MN,ON的斜率依次成等比数列,
故·==k2,
化简解得k=±.
又由Δ=64k2m2-16(1+4k2)(m2-1)
=16(4k2-m2+1)>0,得0
设原点O到直线MN的距离为d,
则S△OMN=|MN|d
=··|x1-x2|·
=|m|
=.
故由m的取值范围可得△OMN面积的取值范围为(0,1).
8.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,其左、右焦点分别是F1,F2,过点F1的直线l交椭圆C于E,G两点,且△EGF2的周长为4.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若过点M(2,0)的直线与椭圆C相交于两点A,B,设P为椭圆上一点,且满足+=t(O为坐标原点),当|-|<时,求实数t的取值范围.
解:(1)由题意知椭圆的离心率e==,
所以e2===,即a2=2b2.
又△EGF2的周长为4,即4a=4,
所以a2=2,b2=1.
所以椭圆C的方程为+y2=1.
(2)由题意知直线AB的斜率存在,即t≠0.
设直线AB的方程为y=k(x-2),A(x1,y1),B(x2,y2),P(x,y),
由
得(1+2k2)x2-8k2x+8k2-2=0.
由Δ=64k4-4(2k2+1)(8k2-2)>0,得k2<.
x1+x2=,x1x2=.
因为+=t,
所以(x1+x2,y1+y2)=t(x,y),
x==,
y==[k(x1+x2)-4k]=.
因为点P在椭圆C上,
所以+2=2,
所以16k2=t2(1+2k2).
因为|-|<,
所以|x1-x2|<,
所以(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]<,
所以(1+k2)[-4·]<,
所以(4k2-1)(14k2+13)>0,所以k2>.
所以
所以t2==8-,
又<1+2k2<2,
所以
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