2021版高考数学导与练一轮复习（浙江版）知识梳理：第十二章第五节　双曲线

第五节　双曲线

一、双曲线的定义

平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线,这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.

1.概念理解

(1)双曲线定义的集合语言P={M|||MF1|-|MF2||=2a,0<2a<|F1F2|},当2a=0时,点M的轨迹是线段F1F2的中垂线,当2a=2c时,点M的轨迹是以F1,F2为端点的两条反向射线.

(2)双曲线定义中的条件“差的绝对值”,在运用定义解题时,弄清题意是指整个双曲线还是双曲线的某一支.

2.与定义相关的结论

(1)双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P为双曲线上任意一点,∠F1PF2=θ,则cos θ=1-.

(2)=|PF1|·|PF2|·sin θ=··sin θ===c·|y0|.(其中y0是点P纵坐标)

二、双曲线的标准方程及简单几何性质

1.概念理解

(1)双曲线标准方程中,若x2或y2项系数为正⇒该项系数的分母为a2⇒焦点所在轴与该项变量名称相同.

(2)在双曲线中,b2=c2-a2,c最大,可以有a大于、等于或小于b的情况,这一点与椭圆中不同,应注意区分.(椭圆中a最大,b2=a2-c2,a>b,a>c)

(3)双曲线中以二次项系数正负确定a2,椭圆中以二次项分母大小确定a2.

2.与之相关结论

(1)等轴双曲线的定义及性质

实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,其方程为x2-y2=λ(λ≠0),离心率e=,渐近线方程为y=±x.它们互相垂直,并且平分实轴和虚轴所成的角.

(2)与-=1共渐近线的双曲线为-=λ(λ≠0).-=λ渐近线-=0(或y=±x或±=0).

(3)不知双曲线焦点位置时,常设双曲线方程为Ax2-By2=1(A·B>0).与-=1离心率相同的双曲线方程可设为-=k(k>0).

(4)双曲线-=1(a>0,b>0),过焦点与实轴所在直线垂直的弦长为定值.

1.已知方程+=1表示双曲线,则k的取值范围为(　B　)

(A)(-∞,3)∪(5,+∞) (B)(3,5)

(C)(3,4)∪(4,5) (D)(4,5)

解析:由方程表示双曲线可知(k-3)(k-5)<0,

解得3<k<5.故选B.

2.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0),右焦点F到渐近线的距离为2,点F到原点的距离为3,则双曲线C的离心率e为(　B　)

(A) (B) (C) (D)

解析:因为右焦点F到渐近线的距离为2,所以F(c,0)到y=x的距离为2,即=2,又b>0,c>0,a2+b2=c2,所以=b=2.因为点F到原点的距离为3,所以c=3,

所以a==,所以离心率e===.

故选B.

3.(2019·全国Ⅲ卷)双曲线C:-=1的右焦点为F,点P在C的一条渐近线上,O为坐标原点,若|PO|=|PF|,则△PFO的面积为(　A　)

(A) (B) (C)2 (D)3

解析:由题意知F(,0),渐近线方程为y=±x.

不妨设P在第一象限,

则P(,),

所以S△PFO=××=.故选A.

4.已知双曲线-=1的一个焦点坐标为(-,0),则其渐近线方程为　　　　　　. 

解析:由a+2=3,可得a=1,

所以双曲线方程为x2-=1,

所以其渐近线方程为y=±x.

答案:y=±x

5.若双曲线-x2=1的一个焦点为(0,2),则m=　　　　,该双曲线的渐近线方程为　　　　　　　　　. 

解析:由m+1=4得m=3,

所以渐近线方程为y=±x.

答案:3　y=±x

考点一　双曲线定义及其标准方程

[例1] (1)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率e=,且其右焦点为F2(5,0),则双曲线C的方程为(　　)

(A)-=1 (B)-=1

(C)- =1 (D)-=1

(2)已知F1,F2分别为双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点,点P在双曲线C上,且∠F1PF2=60°,则|PF1||PF2|=　　　　. 

解析:(1)因为所求双曲线的右焦点为F2(5,0)且离心率为e==,所以c=5,a=4,b2=c2-a2=9,所以所求双曲线方程为-=1,故选B.

(2)由题意知a=1,b=1,c=,

所以|F1F2|=2,

在△PF1F2中,由余弦定理得

|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos 60°=|F1F2|2=8,

即|PF1|2+|PF2|2-|PF1||PF2|=8,①

由双曲线定义得||PF1|-|PF2||=2a=2,

两边平方得

|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|=4,②

①-②得|PF1||PF2|=4.

答案:(1)B　(2)4

(1)运用双曲线定义解题的两个注意点

①在解决与双曲线的焦点有关的距离问题时,通常考虑利用双曲线的定义;

②在运用双曲线的定义解题时,应特别注意定义中的条件“差的绝对值”,弄清楚是指整条双曲线还是双曲线的一支.

(2)求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法

①若已知双曲线的焦点位置可设双曲线的标准方程,再根据a,b,c,e及渐近线之间的关系,求出a,b的值.

②若不能确定焦点位置,则可设双曲线方程为Ax2+By2=1(AB<0),根据条件求出A,B.

③若已知双曲线的渐近线方程,可利用有公共渐近线的双曲线方程为-=λ(λ≠0),再由条件求出λ的值即可.

1.设P是双曲线-=1上一点,F1,F2分别是双曲线左、右两个焦点,若|PF1|=9,则|PF2|等于(　B　)

(A)1 (B)17

(C)1或17 (D)以上答案均不对

解析:由双曲线定义||PF1|-|PF2||=8,

又|PF1|=9,所以|PF2|=1或17,

又易得c-a=6-4=2>1,

所以|PF2|=17.故选B.

2.(2018·天津卷)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2=6,则双曲线的方程为(　C　)

(A)-=1 (B)-=1

(C)-=1 (D)-=1

解析:如图,不妨设A在B的上方,

则A(c,),B(c,-).

其中的一条渐近线为bx-ay=0,

则d1+d2=

==2b=6,

所以b=3.

又由e==2,知a2+b2=4a2,所以a=.

所以双曲线的方程为-=1.故选C.

考点二　双曲线的离心率

[例2] (1)双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,过F1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于点M,若MF2垂直于x轴,则双曲线的离心率为(　　)

(A) (B) (C) (D)

(2)(2019·全国Ⅰ卷)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点.若=,·=0,则C的离心率为　　　　　　. 

解析:(1)在Rt△MF1F2中,|F1F2|=2c,

则|MF2|=,|MF1|=,

由双曲线定义可知|MF1|-|MF2|=2a,

即=2a,化简得=,故选A.

(2)不妨设点B(m,m)(m>0),

故=(-c-m,-m),=(c-m,-m).

由·=0,

可得m2-c2+m2=0,

解得m=a,故B(a,b).

又=,

故A(,),代入直线y=-x可得=-·,解得c=2a,故离心率为2.

答案:(1)A　(2)2

(1)求双曲线的离心率即是求c与a的比值,只需根据条件列出关于a,b,c的方程或不等式即可解决,并且需注意e>1.

(2)双曲线的离心率与渐近线斜率的关系

①已知双曲线的离心率e求渐近线方程要注意e=及判断焦点所在的坐标轴;

②已知渐近线方程y=mx(m>0)求离心率时,若焦点位置不确定,则m=或m=,因此离心率有两种可能.

(3)已知双曲线方程-=1(a>0,b>0)或-=1(a>0,b>0)求其渐近线方程只需把1改写为0整理即可.

(2019·全国Ⅱ卷)设F为双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点,O为坐标原点,以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P,Q两点.若|PQ|=|OF|,则C的离心率为(　A　)

(A) (B) (C)2 (D)

解析:设PQ与x轴交于点A,由对称性可知PQ⊥x轴,

又因为|PQ|=|OF|=c,

所以|PA|=,

所以PA为以OF为直径的圆的半径,

所以A为圆心|OA|=.

所以P(,),又P点在圆x2+y2=a2上,

所以+=a2,即=a2,

所以e2==2.

所以e=,故选A.

考点三　双曲线的渐近线

[例3] (1)(2019·浙江卷)渐近线方程为x±y=0的双曲线的离心率是(　　)

(A) (B)1 (C) (D)2

(2)过双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点F1作斜率为1的直线,该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为A,B,若=,则双曲线的渐近线方程为　　　　　　　　. 

解析:(1)由题意可得=1,

所以e===.故选C.

(2)由得x=-,由

解得x=,不妨设xA=-,xB=,

由=可得-+c=+,

整理得b=3a.

所以双曲线的渐近线方程为3x±y=0.

答案:(1)C　(2)3x±y=0

(1)求渐近线方程的实质是把题目中给出的相互位置关系及数量关系转化为与双曲线中a,b,c,e相关的等量关系式,结合c2=a2+b2,e2=1+,求得的值即可.

(2)双曲线的渐近线是过原点的直线,常用到点到直线距离、直线间平行、相交、垂直等,熟练掌握这些基本问题的解题思路是正确求解的基础.

1.(2018·全国Ⅲ卷)设F1,F2是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,O是坐标原点.过F2作C的一条渐近线的垂线,垂足为P.若|PF1|=|OP|,则C的离心率为(　C　)

(A) (B)2 (C) (D)

解析:如图,过点F1向OP的反向延长线作垂线,垂足为P′,连接P′F2,由题意可知,四边形 PF1P′F2 为平行四边形,且△PP′F2是直角三角形.

因为|F2P|=b,|F2O|=c,

所以|OP|=a.

又|PF1|=a=|F2P′|,

|PP′|=2a,所以|F2P|=a=b,

所以c==a,

所以e==.故选C.

2.如图,P是双曲线-y2=1右支(在第一象限内)上的任意一点,A1,A2分别是左、右顶点,O是坐标原点,直线PA1,PO,PA2的斜率分别为k1,k2,k3,则斜率之积k1k2k3的取值范围是　　　　. 

解析:k1k3=,0<k2<,所以0<k1k2k3<()3=.

答案:(0, )

考点四　双曲线综合问题

[例4] (1)(2019·全国Ⅰ卷)双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线的倾斜角为130°,则C的离心率为(　　)

(A)2sin 40° (B)2cos 40° (C) (D)

(2)设P是双曲线C:-=1(a>0,b>0)右支上的任意一点,已知A(a,b),B(a,-b),若=λ+μ(O为坐标原点),则λ2+μ2的最小值为(　　)

(A)ab (B) (C)ab (D)

解析:(1)由题意可得-=tan 130°,

即=tan 50°,于是有=,

即=.

因此e2-1=⇒e2=,

即e=.故选D.

(2)由题意,设P(x,y),则

因为=λ+μ,

所以x=(λ+μ)a,y=(λ-μ)b,

因为P为双曲线C右支上的任意一点,

所以(λ+μ)2-(λ-μ)2=1,

所以4λμ=1,

所以λ2+μ2≥2λμ=,

所以λ2+μ2的最小值为.

故选D.

(1)涉及双曲线与圆、抛物线、直线等位置关系问题,常结合图形,把条件中隐含的位置关系、等量关系对应的几何性质挖掘出来,借助平面几何的相关知识求解.

(2)向量在解析几何中常起到中间桥梁作用,可化为线段间的关系,也可转化为坐标间的关系,具体视情况而定.

F1,F2分别是双曲线-=1的左、右焦点,P为双曲线右支上一点,☉A是△PF1F2的内切圆,☉A与x轴相切于点M(m,0),则m的值为　　　　. 

解析:如图所示,F1(-5,0),

F2(5,0),

内切圆与x轴的切点是M,PF1,PF2与内切圆的切点分别为N,H,

由双曲线的定义可得

|PF1|-|PF2|=2a=8,

由圆的切线长定理知

|PN|=|PH|,

故|NF1|-|HF2|=8,即|MF1|-|MF2|=8,

故(m+5)-(5-m)=8,所以m=4.

答案:4

类型一　双曲线的定义及标准方程

1.已知动圆与☉C1:(x+3)2+y2=9外切,且与☉C2:(x-3)2+y2=1内切,则动圆圆心M的轨迹方程为(　B　)

(A)-=1 (B)-=1(x≥2)

(C)-=1 (D)-=1(y≥2)

解析:设动圆半径为r,因为☉M与☉C1外切,且与☉C2内切,

所以|MC1|=r+3,|MC2|=r-1,|MC1|-|MC2|=4,

所以点M的轨迹是以C1,C2为焦点的双曲线的右支,

且有a=2,c=3,b2=c2-a2=5,

所以所求双曲线的方程为-=1(x≥2).

2.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线过点(,2),且双曲线的一个焦点在抛物线x2=4y的准线上,则双曲线的方程为(　C　)

(A)-=1 (B)-=1

(C)-=1 (D)-=1

解析:双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线过点(,2),

可得渐近线的斜率为k==,

双曲线的一个焦点在抛物线x2=4y的准线y=-上,

可得c=,

即a2+b2=7,

解得a=2,b=,

则双曲线的方程为:-=1.

故选C.

3.如图所示,F1,F2分别是双曲线-=1的左、右焦点,过F1的直线与双曲线分别交于点A,B,若△ABF2为等边三角形,则△BF1F2的面积为(　C　)

(A)8 (B)8 (C)8 (D)16

解析:由双曲线的定义可知|BF2|-|BF1|=2a,|AF1|-|AF2|=2a.

又△ABF2是等边三角形,

所以|AF1|-|AF2|=|AF1|-|AB|=|BF1|=2a,

所以|BF2|=4a.

在△AF1F2中,|AF1|=6a,|AF2|=4a,|F1F2|=2c,

∠F1AF2=60°,

所以4c2=36a2+16a2-2·6a·4a·cos 60°,

即c2=7a2,

所以b2=c2-a2=6a2=24,

所以a2=4,

所以=·2a·4a·sin 120°=2a2=8.

故选C.

4.已知F1,F2分别为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=2|PF2|,则cos∠F1PF2等于(　C　)

(A) (B) (C) (D)

解析:由双曲线的定义有c=2,

且|PF1|-|PF2|=|PF2|=2a=2,

所以|PF1|=2|PF2|=4,

则cos∠F1PF2=

=

=.

故选C.

5.已知△ABP的顶点A,B分别为双曲线-=1的左、右焦点,顶点P在双曲线上,则的值等于(　A　)

(A) (B) (C) (D)

解析:在△ABP中,由正弦定理知

=

===.

故选A.

类型二　双曲线的离心率

6.(2018·浙江余姚中学高考模拟)设双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A,B两点,且与双曲线在第一象限的交点为P,设O为坐标原点,若=λ+μ(λ,μ∈R),λ·μ=,则双曲线的离心率为(　A　)

(A) (B)

(C) (D)

解析:直线l的方程为x=c,与双曲线渐近线y=±x的交点为A(c,),B(c,-),

直线l与双曲线在第一象限的交点为P(c,),

所以=(c,),=(c,),=(c,-),

由=λ+μ(λ,μ∈R)得,

解之得c=2b,所以a=b,e=,故选A.

7.(2018·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为c,则其离心率的值为　　　　. 

解析:双曲线的渐近线方程为bx±ay=0,焦点F(c,0)到渐近线的距离d==b.所以b=c,所以a==c,所以e==2.

答案:2

类型三　双曲线的渐近线

8.(2018·全国Ⅱ卷)双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为,则其渐近线方程为(　A　)

(A)y=±x (B)y=±x

(C)y=±x (D)y=±x

解析:由e===,得=,

所以该双曲线的渐近线方程为y=±x=±x,故选A.

9.双曲线-y2=1的顶点到渐近线的距离等于(　C　)

(A) (B)  (C) (D)

解析:双曲线的左、右顶点分别为(-2,0),(2,0),渐近线方程为x±2y=0,则顶点到渐近线的距离为=.

10.设双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,右顶点为A,过F作AF的垂线与双曲线交于B,C两点,过B,C分别作AC,AB的垂线,两垂线交于点D.若D到直线BC的距离小于a+,则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是(　A　)

(A)(-1,0)∪(0,1) 

(B)(-∞,-1)∪(1,+∞)

(C)(-,0)∪(0,) 

(D)(-∞,-)∪(,+∞)

解析:由题知F(c,0),A(a,0),不妨令B点在第一象限,则B(c,),C(c,-),kAB=,

因为CD⊥AB,所以kC D=,

所以直线CD的方程为y+=(x-c),

由双曲线的对称性,知点D在x轴上,

得xD=+c,点D到直线BC的距离为c-xD,

所以<a+=a+c,b4<a2(c-a)·(c+a)=a2·b2,b2<a2,( )2<1,又该双曲线的渐近线的斜率为或-,

所以双曲线渐近线斜率的取值范围是(-1,0)∪(0,1).故选A.

类型四　双曲线中综合问题

11.已知双曲线-=1的渐近线与圆x2+(y-2)2=1相交,则该双曲线的离心率的取值范围是(　C　)

(A)(,+∞) (B)(1,)

(C)(2,+∞) (D)(1,2)

解析:因为双曲线渐近线为bx±ay=0,

与圆x2+(y-2)2=1相交,

所以圆心到渐近线的距离小于半径,即<1,

所以2a<c,所以e=>2,故选C.

12.(2018·浙江台州中学高考模拟)设F1,F2是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的两个焦点,P是C上一点,若|PF1|+|PF2|=6a,且△PF1F2的最小内角为30°,则C的离心率为(　D　)

(A)6 (B) (C)3 (D)

解析:不妨设|PF1|>|PF2|,则|PF1|-|PF2|=2a,

又|PF1|+|PF2|=6a,解得|PF1|=4a,|PF2|=2a,

则∠PF1F2是△PF1F2的最小内角为30°,

所以|PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2-2|PF1|·|F1F2|×cos 30°,

所以(2a)2=(4a)2+(2c)2-2×4a×2c×,

化简得e2-2e+3=0,解得e=,故选D.

13.平面直角坐标系xOy中,双曲线C1:-=1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线C2:x2=2py(p>0)交于点O,A,B.若△OAB的垂心为C2的焦点,则C1的离心率为　　　　. 

解析:设点A在点B左侧,抛物线C2的焦点为F,

则F(0,).

联立得和

分别解得A(-,),B(,).

因为F为△OAB的垂心,

所以AF⊥OB,

所以kAF·kOB=-1,

即·=-1⇒4b2=5a2⇒4(c2-a2)=5a2⇒=,

所以e==.

答案: