2021版高考数学导与练一轮复习（浙江版）知识梳理：第十二章第六节　抛物线(一)

第六节　抛物线(一)

一、抛物线的定义

平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线.

概念理解

(1)定义的实质可以归纳为“一动三定”:一个动点M;一个定点F(焦点);一条定直线l(准线);一个定值(点M到点F的距离与它到定直线l的距离之比等于1).

(2)定点F∉定直线l,否则动点M的轨迹不是抛物线,而是过点F且垂直于直线l的一条直线,如到点F(1,0)和到直线l:x+y-1=0的距离相等的点的轨迹方程是x-y-1=0,其轨迹是一条直线.

二、抛物线的标准方程及其简单几何性质

1.方程及其性质的理解

(1)p的几何意义:表示定点F到定直线l的距离,即焦点到准线的距离,p值的大小(p>0),决定抛物线开口的大小,p前面的符号决定抛物线开口的方向.

(2)抛物线标准方程的特征与其他坐标系中位置之间关系:抛物线的标准方程只含有两项,分别是二次项和一次项,并位于等号两边.抛物线标准方程中一次项中变量的名称与抛物线对称轴名称相同,一次项系数的正负与对称轴所在坐标轴方向正负一致,简单记为“一次定轴,系数定向”.如x2=-3y,因一次项是-3y,所以对称轴是y轴,因-3<0,所以该抛物线开口方向向下,即与y轴负方向一致.抛物线焦点位于对称轴上,焦点纵横坐标中,不为零的坐标等于一次项系数的.

2.与抛物线标准方程及几何性质相关结论

(1)以y2=2px为例,抛物线上一点到焦点的距离为|PF|=+x0或|PF|=-x0(x0为点P横坐标),结合抛物线在坐标系中位置进行记忆,也即“右加左减”.

(2)以y2=2px为例,焦点弦AB的性质有:(其中A(x1,y1),B(x2,y2) ,F为焦点,θ为直线AB倾斜角)

①x1x2=,y1·y2=-p2;②+=;③S△AOB=;④|AB|=x1+x2+p=;⑤以AB为直径的圆与准线相切.

1.过点A(4,-2)的抛物线的标准方程为(　A　)

(A)y2=x或x2=-8y (B)y2=x或y2=8x

(C)y2=-8x (D)x2=-8y

解析:因为A点在第四象限,

故设抛物线的标准方程为

y2=2px(p>0)或x2=-2my(m>0),

将A点代入得2p=1或2m=8,

所求抛物线方程为y2=x或x2=-8y.

故选A.

2.已知抛物线C与双曲线x2-y2=1有相同的焦点,且顶点在原点,则抛物线C的方程是(　D　)

(A)y2=±2x (B)y2=±2x

(C)y2=±4x (D)y2=±4x

解析:由已知可知双曲线的焦点为(-,0),(,0).设抛物线方程为y2=±2px(p>0),则=,所以p=2,所以抛物线方程为y2=±4x.故选D.

3.已知点A是抛物线C:x2=2py(p>0)上一点,O为坐标原点.若A,B是以点M(0,10)为圆心,OA的长为半径的圆与抛物线C的两个公共点,且△ABO为等边三角形,则p的值是(　C　)

(A) (B) (C) (D)

解析:如图,因为|MA|=|OA|,

所以点A在线段OM的垂直平分线上.

又因为M(0,10),所以可设A(x,5).

由tan 30°=,得x=.

将A(,5)代入方程x2=2py,得p=.故选C.

4.(2019·天津实验中学高考模拟)已知直线l:mx-y+1-m=0,m∈R,若直线经过抛物线y2=8x的焦点,则此时直线被圆(x-1)2+(y-1)2=6截得的弦长 |AB|=　　　　. 

解析:抛物线的焦点为(2,0),2m-0+1-m=0,

解得m=-1;l:y=-x+2,

圆心(1,1)在直线y=-x+2上,

即|AB|=2R=2.

答案:2

5.过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点.若|AF|=3,则|BF|=　　　　　　. 

解析:由题意知,抛物线的焦点F的坐标为(1,0),

又|AF|=3,

由抛物线定义知,点A到准线x=-1的距离为3,

所以点A的横坐标为2.

将x=2代入y2=4x

得y2=8,

由图知点A的纵坐标y=2,

所以A(2,2),

所以直线AF的方程为y=2(x-1).

由

解得或

由图知,点B的坐标为(,-),

所以|BF|=-(-1)=.

答案:

考点一　抛物线的定义及应用

[例1] 设P是抛物线y2=4x上的一个动点.

(1)求点P到点A(-1,1)的距离与点P到直线x=-1的距离之和的最小值;

(2)若B(3,2),求|PB|+|PF|的最小值.

解:(1)如图,易知抛物线的焦点为F(1,0),准线是x=-1.

由抛物线的定义知:点P到直线x=-1的距离等于点P到焦点F的距离.

于是,问题转化为:在曲线上求一点P,使点P到点A(-1,1)的距离与点P到点F(1,0)的距离之和最小.显然,连接AF交抛物线于点P,

则所求的最小值为|AF|,

即为.

(2)如图,过点B作BQ垂直准线于Q,交抛物线于点P1,则|P1Q|=|P1F|.

则有|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q|=|BQ|=4.

则P1点即为所求的P点,

即|PB|+|PF|的最小值为4.

(1)由抛物线定义,实现抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化.

(2)注意灵活运用抛物线上一点P(x,y)到焦点F的距离|PF|=|x|+或|PF|=|y|+.

1.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,点A∈l,线段AF交抛物线C于点B,若=3,则||等于(　B　)

(A)3 (B)4 (C)6 (D)7

解析:由已知B为AF的三等分点,作BH⊥l于H,如图,则|BH|=|FK|=,所以||=||=,所以||=3||=4,故选B.

2.(2018·全国Ⅲ卷)已知点M(-1,1)和抛物线C:y2=4x,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点.若∠AMB=90°,则 k=　　　　. 

解析:法一　设点A(x1,y1),B(x2,y2),

则

所以-=4(x1-x2),

所以k==.

设AB的中点M′(x0,y0),抛物线的焦点为F,分别过点A,B作准线x=-1的垂线,垂足分别为A′,B′,

则|MM′|=|AB|=(|AF|+|BF|)

=(|AA′|+|BB′|).

因为M′(x0,y0)为AB中点,

所以M为A′B′的中点,

所以MM′平行于x轴,

所以y1+y2=2,所以k=2.

法二　由题意知,抛物线的焦点坐标为F(1,0),设直线方程为y=k(x-1),直线方程与y2=4x联立,消去y,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.

设A(x1,y1),B(x2,y2),

则x1x2=1,x1+x2=.

由M(-1,1),

得=(-1-x1,1-y1),=(-1-x2,1-y2).

由∠AMB=90°,得·=0,

所以(x1+1)(x2+1)+(y1-1)(y2-1)=0,

所以x1x2+(x1+x2)+1+y1y2-(y1+y2)+1=0.

又y1y2=k(x1-1)·k(x2-1)=k2[x1x2-(x1+x2)+1],

y1+y2=k(x1+x2-2),

所以1++1+k2(1-+1)-k(-2)+1=0,

整理得-+1=0,解得k=2.

经检验k=2是分式方程的根.

答案:2

考点二　抛物线的标准方程

[例2] (1)设斜率为2的直线l过抛物线y2=ax(a≠0)的焦点F,且和y轴交于点A,若△OAF(O为坐标原点)的面积为4,则该抛物线的方程为(　　)

(A)y2=±4x (B)y2=±8x

(C)y2=4x (D)y2=8x

(2)抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点O是坐标原点,过点O,F的圆与抛物线C的准线相切,且该圆的面积为36π,则抛物线的方程为　　　　　　　　　　; 

(3)已知圆C:(x-1)2+y2=r2(r>1),设A为圆C与x轴负半轴的交点,过点A作圆C的弦AM,并使弦AM的中点恰好落在y轴上,则点M的轨迹E的方程为　　　　　　　　　　　. 

解析:(1)抛物线y2=ax(a≠0)的焦点F的坐标为

(,0),

则直线l的方程为y=2(x-),

它与y轴的交点为A(0,-),

所以△OAF的面积为··=4,

解得a=±8,

所以抛物线的方程为y2=±8x.故选B.

(2)设满足题意的圆的圆心为M(xM,yM).

根据题意可知圆心M在抛物线上.

又因为圆的面积为36π,

所以圆的半径为6,则|MF|=xM+=6,即xM=6-,

又由题意可知xM=,所以=6-,解得p=8.

所以抛物线方程为y2=16x.

(3)设M(x,y),x>0,

由题意可知,A(1-r,0),

AM的中点D(0,),

因为C(1,0),=(1,-),

=(x,).

在☉C中,因为CD⊥DM,

所以·=0,

所以x-=0,即y2=4x(x>0),

所以点M的轨迹E的方程为:y2=4x(x>0).

答案:(1)B　(2)y2=16x　(3)y2=4x(x>0)

求抛物线方程的基本方法

(1)定义法:根据抛物线的定义得到p的值、焦点位置,然后根据抛物线方程的标准形式写出其方程.

(2)待定系数法:焦点在x轴上的抛物线方程可以用y2=λx(λ≠0)表示,焦点在y轴上的抛物线方程可以用x2=λy(λ≠0)表示,根据已知得到关于λ的方程,求出λ.

用“一次定轴,系数定向”确定抛物线的方程,然后用待定系数法求p的值.

在解决涉及焦点、顶点、准线等问题时,要注意利用几何图形的形象、直观的特点.

焦点在直线3x-4y-12=0上的抛物线的标准方程为(　C　)

(A)x2=16y或y2=16x (B)y2=16x或x2=12y

(C)y2=16x或x2=-12y (D)x2=16y或y2=-12x

解析:因为抛物线的焦点在坐标轴上,

又在直线3x-4y-12=0上,

所以令x=0得y=-3,令y=0,得x=4,

所以焦点为(0,-3)或(4,0),

所以抛物线方程为x2=-12y或y2=16x.

故选C.

考点三　抛物线的焦点弦问题

[例3] 已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,斜率为2的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)两点,且|AB|=9.

(1)求该抛物线的方程;

(2)O为坐标原点,C为抛物线上一点,若=+λ,求λ的值.

思路点拨:(1)利用焦点弦长公式求解.

(2)由点C为抛物线上一点,可设出C点的坐标,利用=+λ表示出点C的坐标,将点C的坐标代入抛物线方程求解.

解:(1)直线AB的方程是y=2(x-),

与y2=2px联立,

从而有4x2-5px+p2=0,

所以x1+x2=.

由抛物线定义得|AB|=x1+x2+p=+p=9,

所以p=4,从而抛物线的方程为y2=8x.

(2)由于p=4,4x2-5px+p2=0可化简为x2-5x+4=0,

从而x1=1,x2=4,

则y1=-2,y2=4,

从而A(1,-2),B(4,4).

设C(x3,y3),

则=(x3,y3)=(1,-2)+λ(4,4)

=(4λ+1,4λ-2).

又=8x3,即[2(2λ-1)]2=8(4λ+1),

即(2λ-1)2=4λ+1,

解得λ=0或λ=2.

解决与抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦有关的问题,常用到x1x2=,y1y2=-p2,|AB|=x1+x2+p=(θ为直线AB的倾斜角),+=这些结论,就会带来意想不到的效果.

1.过抛物线y=x2焦点F的直线交抛物线于A,B两点,点C在直线y=-1上,若△ABC为正三角形,则其边长为(　D　)

(A)11 (B)13 (C)14 (D)12

解析:抛物线y=x2焦点为(0,1),

设A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点D(x0,y0),很明显直线AB的斜率存在,设直线AB的斜率为k,则直线方程为y=kx+1,

由

消y可得x2-4kx-4=0,

所以x1+x2=4k,

所以y1+y2=k(x1+x2)+2=4k2+2,

所以|AB|=y1+y2+2=4k2+4,

所以x0=2k,y0=2k2+1,

所以D(2k,2k2+1),

所以线段AB的垂直平分线的方程为

y-2k2-1=-(x-2k),

即y=-x+2k2+3,

令y=-1,则x=2k3+4k,

所以C(2k3+4k,-1)

所以点C到直线AB的距离|CD|==,

因为△ABC为正三角形,

所以|CD|=|AB|,

所以=×(4k2+4),

整理可得k2=2,

所以|AB|=4k2+4=12.

故选D.

2.已知抛物线y2=4x的焦点为F,过焦点的直线与抛物线交于A,B两点,则当|AF|+4|BF|取得最小值时,直线AB的倾斜角的正弦值为　　　　. 

解析:由题意知F(1,0),当直线的斜率存在时,

设直线方程为y=k(x-1)(k≠0),

由消去y,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.

设A(x1,y1),B(x2,y2),x1>0,x2>0,

则x1+x2=,　①

x1x2=1,　②

+=+===1.

当直线的斜率不存在时,易知|AF|=|BF|=2,

故+=1.

设|AF|=a,|BF|=b,则+=1,

所以|AF|+4|BF|=a+4b=(+)(a+4b)=5++≥9,当且仅当a=2b时取等号,

故a+4b的最小值为9,

此时直线的斜率存在,且x1+1=2(x2+1),　③

联立①②③得,x1=2,x2=,k=±2,

故直线AB的倾斜角的正弦值为.

答案:

考点四　易错辨析

[例4] 设抛物线y2=mx的准线与直线x=1的距离为3,求抛物线方程.

解:①当m>0时,准线方程为x=-,

因为准线与直线x=1的距离为3,

所以准线方程为x=-2即-=-2,m=8,

所以抛物线方程为y2=8x.

②当m<0时,易得准线方程为x=-=4,

所以m=-16,

此时抛物线方程为y2=-16x,

综上,所求抛物线方程为y2=8x或y2=-16x.

只考虑m>0的情况,忽视m<0属于知识错误,对y2=2px(p>0)中p几何意义的误解.

抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,已知点A,B为抛物线上的两个动点,且满足∠AFB=60°,过弦AB的中点C作该抛物线准线的垂线CD,垂足为D,则的最小值为　　　　　. 

解析:设|AF|=a,|BF|=b,

由抛物线定义,

得|AF|=|AQ|,|BF|=|BP|,

在梯形ABPQ中,

2|CD|=|AQ|+|BP|=a+b.

在△ABF中,由余弦定理得,

|AB|2=a2+b2-2abcos 60°=a2+b2-ab,

配方得|AB|2=(a+b)2-3ab≥(a+b)2-(a+b)2

=(a+b)2,

得到|AB|≥(a+b)=|CD|.

所以≥1,即的最小值为1.

答案:1

抛物线的综合应用

[例题] 已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线y=4与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且|QF|=|PQ|.

(1)求C的方程;

(2)过F的直线l与C相交于A,B两点,若AB的垂直平分线l′与C相交于M,N两点,且A,M,B,N四点在同一圆上,求l的方程.

解:(1)设Q(x0,4),代入y2=2px得x0=.

所以|PQ|=,|QF|=+x0=+.

由题设得+=×,

解得p=-2(舍去)或p=2.

所以C的方程为y2=4x.

(2)依题意知l与坐标轴不垂直,故可设l的方程为x=my+1(m≠0).

代入y2=4x得y2-4my-4=0.

设A(x1,y1),B(x2,y2),

则y1+y2=4m,y1y2=-4.

故AB的中点为D(2m2+1,2m),

|AB|=|y1-y2|=4(m2+1).

又l′的斜率为-m,

所以l′的方程为x=-y+2m2+3.

将上式代入y2=4x,

并整理得y2+y-4(2m2+3)=0.

设M(x3,y3),N(x4,y4),

则y3+y4=-,y3y4=-4(2m2+3).

故MN的中点为E(+2m2+3,- ),

|MN|=|y3-y4|=,

由于MN垂直平分AB,故A,M,B,N四点在同一圆上等价于|AE|=|BE|=|MN|,

从而|AB|2+|DE|2=|MN|2,

即4(m2+1)2+(2m+)2+(+2)2

=.

化简得m2-1=0,解得m=1或m=-1.

所求直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.

规范要求:利用待定系数法求抛物线的标准方程时,既要定位(确定抛物线开口方向),又要定量(确定参数p的值).

(1)中,需要计算p值.

(2)中,A,M,B,N四点共圆,等价于|AE|=|BE|=|MN|.

温馨提示: (1)问解答中,需要注意p>0的条件,即应舍去p=-2.

(2)问解答中,要注意分析直线的斜率不存在的情形.

[规范训练] (2019·浙江卷)如图,已知点 F(1,0)为抛物线y2=2px(p>0)的焦点.过点F的直线交抛物线于A,B两点,点C在抛物线上,使得△ABC的重心G在x轴上,直线AC交x轴于点Q,且Q在点F的右侧.记△AFG,△CQG的面积分别为S1,S2.

(1)求p的值及抛物线的准线方程;

(2)求的最小值及此时点G的坐标.

解:(1)由题意得=1,即p=2.

所以抛物线的准线方程为x=-1.

(2)设A(xA,yA),B(xB,yB),C(xC,yC),重心G(xG,yG).

令yA=2t,t≠0,则xA=t2.

由于直线AB过F,故直线AB的方程为x=y+1,

代入y2=4x,得y2-y-4=0,

故2tyB=-4,即yB=-,所以B(,-).

又xG=(xA+xB+xC),yG=(yA+yB+yC)及重心G在x轴上,得2t-+yC=0,

得C((-t)2,2(-t)),G(,0).

所以直线AC的方程为y-2t=2t(x-t2),

得Q(t2-1,0).

由于Q在焦点F的右侧,故t2>2.

从而=

=

==2-.

令m=t2-2,则m>0,=2-

=2-≥2-

=1+.

当m=时,取得最小值1+,此时G(2,0).

类型一　抛物线的定义及应用

1.已知直线l1:4x-3y+6=0和直线l2:x=-1,抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是(　A　)

(A)2 (B)3 (C) (D)

解析:如图所示,过点P作PM⊥l1,PN⊥l2,过抛物线焦点F(1,0)作FQ⊥l1于Q.由抛物线定义知|PN|=|PF|.显然点F,P,Q三点共线时,动点P到直线l1和直线l2的距离之和最小,最小值为=2,故选A.

2.已知抛物线关于x轴对称,它的顶点为坐标原点O,并且经过点M(2,y0).若点M到该抛物线焦点的距离为3,则|OM|等于(　B　)

(A)2 (B)2 (C)4 (D)2

解析:因为抛物线关于x轴对称,且M(2,y0)在抛物线上,

所以抛物线的标准方程可设为y2=2px(p>0),

其准线方程为x=-.由抛物线的定义,

M到准线x=-的距离为3,即2+=3,

故p=2,所以抛物线的标准方程为y2=4x.

因为M(2,y0)在抛物线上,所以=8.

由两点间的距离公式知|OM|===2.

故选B.

3.若点P到点F(0,2)的距离比它到直线y+4=0的距离小2,则P的轨迹方程为(　C　)

(A)y2=8x (B)y2=-8x

(C)x2=8y (D)x2=-8y

解析:由题意,P到F(0,2)的距离与它到直线y+2=0的距离相等,故P的轨迹是以F为焦点,y=-2为准线的抛物线,所以P的轨迹方程为x2=8y.

4.从抛物线y2=4x上一点P引抛物线准线的垂线,垂足为M,且|PM|=5,设抛物线的焦点为F,则△PMF的面积为(　B　)

(A)5 (B)10 (C)20 (D)

解析:设P(x0,y0),则|PM|=x0+1=5,解得x0=4,

则=4×4=16,|y0|=4,

故S△MPF=×5×|y0|=10,故选B.

5.如图,设抛物线y2=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点A,B在抛物线上,点C在y轴上,则△BCF与△ACF的面积之比是(　A　)

(A)

(B)

(C)

(D)

解析:由题可知抛物线的准线方程为x=-1.如图所示,过A作AA1⊥y轴于点A1,过B作BB1⊥y轴于点B1,

则====.

类型二　抛物线的标准方程

6.若抛物线y2=2px(p>0)上一点P(2,y0)到其准线的距离为4,则抛物线的标准方程为(　C　)

(A)y2=4x (B)y2=6x 

(C)y2=8x (D)y2=10x

解析:因抛物线y2=2px(p>0),其准线方程为x=-,点P(2,y0)到准线的距离为4,所以|--2|=4,得p=4.

故抛物线的标准方程为y2=8x.

7.已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆C:x2+y2-2x-8=0相切,则抛物线方程为(　D　)

(A)y2=2x (B)y2=4x

(C)y2=6x (D)y2=8x

解析:圆x2+y2-2x-8=0转化为(x-1)2+y2=9,

抛物线y2=2px(p>0)的准线为x=-,

因为抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆x2+y2-2x-8=0相切,

所以1+=3,解得p=4.

抛物线方程为y2=8x.故选D.

类型三　抛物线的焦点弦问题

8.如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A,B,交其准线l于点C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的方程为(　C　)

(A)y2=9x 

(B)y2=6x

(C)y2=3x 

(D)y2=x

解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),

作AM,BN垂直准线于点M,N,

则|BN|=|BF|,

又|BC|=2|BF|,

可得|BC|=2|BN|,

所以∠NCB=30°,

则|AC|=2|AM|=6,

设|BF|=x,则2x+x+3=6,

解得x=1,

又由|AF|=x1+=3,|BF|=x2+=1,且x1x2=,

所以(3-)(1-)=,

解得p=,

所以抛物线的方程为y2=3x.故选C.

9.已知抛物线y2=4x的焦点为F,过焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,O为坐标原点,若|AB|=6,则△AOB的面积为(　A　)

(A) (B)2 (C)2 (D)4

解析:因为抛物线y2=4x的焦点F的坐标为(1,0),

当直线AB垂直于x轴时,|AB|=4,不满足题意,

所以设直线AB的方程为y=k(x-1),与y2=4x联立,

消去x得ky2-4y-4k=0.

设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=,y1y2=-4,

所以|y1-y2|=,

因为|AB|=|y1-y2|=6,所以4(1+)=6,

解得k=±,所以|y1-y2|==2,

所以△AOB的面积为×1×2=,故选A.