2021版高考数学导与练一轮复习（浙江版）知识梳理：第十二章第四节　椭圆与相关曲线位置关系问题

第四节　椭圆与相关曲线位置关系问题

复习目标
学法指导
1.椭圆与圆相关问题.
2.椭圆与双曲线相关问题.
3.与椭圆有关的定值定点及证明问题.
本节课知识点是解析几何学习的重点,考查时一般分2至3个层次:一是以考查基本概念、基本性质为主的客观题,属容易题;二是以综合考查轨迹问题、各种曲线之间位置关系为主的中档题,多以大题形式出现,三是综合应用与平面向量、三角函数、 不等式、导数、数列等知识相关的中高档题.


1.(2019·全国Ⅱ卷)若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆+=1的一个焦点,则p等于(　D　)
(A)2 (B)3 (C)4 (D)8
解析:因为抛物线y2=2px(p>0)的焦点(,0)是椭圆+=1的一个焦点,所以3p-p=()2,解得p=8,故选D.
2.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,双曲线x2-y2=1的渐近线与椭圆C有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆C的方程为(　D　)
(A)+=1 (B)+=1
(C)+=1 (D)+=1
解析:法一　因为椭圆的离心率为,
所以e==,c2=a2=a2-b2,
所以b2=a2,
即a2=4b2.
双曲线的渐近线方程为y=±x,
代入椭圆方程得+=1,
即+==1,
所以x2=b2,x=±b,
所以y=±b,
则在第一象限的交点坐标为(b,b),
所以四边形的面积为4×b×b=b2=16,
所以b2=5,
所以椭圆方程为+=1.
法二　因为椭圆的离心率为,
所以e==,
即c2=a2=a2-b2,
所以a2=4b2.
双曲线的渐近线方程为y=±x,
由椭圆的对称性及双曲线渐近线方程知该四边形为正方形,
设第一象限交点为(x,x),
则4x2=16,所以x=2.
把(2,2)代入+=1,
得b2=5,故椭圆方程为+=1.
3.动点P为椭圆+=1(a>b>0)上异于椭圆顶点A(a,0),B(-a,0)的一点,F1,F2为椭圆的两个焦点,动圆M与线段F1P,F1F2的延长线及线段PF2相切,则圆心M的轨迹为除去坐标轴上的点的(　D　)
(A)抛物线 (B)椭圆
(C)双曲线的右支 (D)一条直线
解析:如图,设切点分别为E,D,G,由切线长相等可得|F1E|=|F1G|,|F2D|=|F2G|,|PD|=|PE|.由椭圆的定义可得|F1P|+|PF2|=|F1P|+|PD|+|DF2|=|F1E|+|DF2|=2a,即|F1E|+|GF2|=2a,也即|F1G|+|GF2|=2a,故点G与点A重合,所以点M的横坐标是x=a,即点M的轨迹是一条直线(除去A点),故选D.

4.已知椭圆+=1,过椭圆右焦点F的直线l交椭圆于A,B两点,交y轴于P点.设=λ1,=λ2,则 λ1+λ2 等于(　B　)
(A)- (B)- (C) (D)
解析:由题意a=5,b=3,c=4,
所以F点坐标为(4,0).
设直线l方程为y=k(x-4),A点坐标为(x1,y1),B点坐标为(x2,y2),
得P点坐标(0,-4k),
因为=λ1,
所以(x1,y1+4k)=λ1(4-x1,-y1),
因为=λ2,
所以(x2,y2+4k)=λ2(4-x2,-y2).
得到λ1=,λ2=,
直线方程代入椭圆方程
+=1中,得到
(9+25k2)x2-200k2x+400k2-225=0,
所以x1+x2=,
x1x2=,
所以λ1+λ2=+
=
=-.
5.设F1,F2是椭圆+=1的两个焦点,P是椭圆上的动点(不能重合于长轴的两端点),I是△PF1F2的内心,直线PI交x轴于点D,则=　　　　. 
解析:因为I是△PF1F2的内心,直线PI交x轴于点D,则PD即为角平分线,则利用点I到角的两边距离相等求解.设点P(x0,y0)(y0≠0),△PF1F2的内切圆半径为r,
=|F1F2|·|y0|
=(|PF1|+|PF2|+|F1F2|)·r
于是·2c·|y0|=(2a+2c)·r,
又a=5,c=3,|y0|>0,则r=|y0|,
从而I点纵坐标为y0,因此得到=.
答案:

考点一　椭圆与圆的相关问题
[例1] 如图,点P(0,-1)是椭圆C1:+=1(a>b>0)的一个顶点,C1的长轴是圆C2:x2+y2=4的直径.l1,l2是过点P且互相垂直的两条直线,其中l1交圆C2于A,B两点,l2交椭圆C1于另一点D.

(1)求椭圆C1的方程;
(2)求△ABD面积取最大值时直线l1的方程.
解:(1)由题意得
所以椭圆C1的方程为+y2=1.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0).
由题意知直线l1的斜率存在,不妨设其为k,
则直线l1的方程为y=kx-1.
又圆C2:x2+y2=4,
故点O到直线l1的距离d=,
所以|AB|=2=2.
又l2⊥l1,
故直线l2的方程为x+ky+k=0.
由
消去y,整理得(4+k2)x2+8kx=0,
故x0=-.
所以|PD|=.
设△ABD的面积为S,
则S=|AB|·|PD|=,
所以S=
≤
=,
当且仅当k=±时取等号.
所以所求直线l1的方程为y=±x-1.
(1)椭圆与圆相关的问题,在解题时应从三个方面去考虑,一是与圆相关的位置关系及数量关系,运用与圆相关的知识进行转化;二是与椭圆相关的位置关系及数量关系,运用与椭圆相关的知识进行转化;三是分清圆的问题与椭圆的问题的相互联系,即抓准问题的联结点.
(2)几何方法与代数方法应结合应用,以方便、快捷简化运算作为选用标准.


已知F1,F2为椭圆C1:+=1(a>b>0)的左、右焦点,F2在以Q(,1)为圆心,1为半径的圆C2上,且|QF1|+|QF2|=2a.
(1)求椭圆C1的方程;
(2)过点P(0,1)的直线l1交椭圆C1于A,B两点,过P与l1垂直的直线l2交圆C2于C,D两点,M为线段CD中点,求△MAB面积的取值范围.
解:(1)圆C2的方程为(x-)2+(y-1)2=1,
F2(c,0)在圆C2上得c=,
即a2-b2=2,且F2(,0),F1(-,0)
又|QF1|+|QF2|=3+1=2a,
所以a=2,b2=a2-c2=2,
所以椭圆C1的方程为+=1.
(2)当l1平行x轴的时候,l2与圆C2无公共点,
从而△MAB不存在;
可以设l1:x=t(y-1),
则l2:tx+y-1=0.
由
消去x得(t2+2)y2-2t2y+t2-4=0,
则|AB|=|y1-y2|=.
又圆心Q(,1)到l2的距离
d1=<1得t2<1.
又MP⊥AB,QM⊥CD,
所以M到AB的距离即Q到AB的距离,设为d2,
即d2==.
所以△MAB面积S=|AB|·d2=,
令u=∈[2,),
则S=f(u)==∈(,2].
所以△MAB面积的取值范围为(,2].
考点二　椭圆与圆锥曲线的相关问题
[例2] 设椭圆C:+=1(a>b>0)的一个顶点与抛物线C:x2=4y的焦点重合,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,且离心率e=且过椭圆右焦点F2的直线l与椭圆C交于M,N两点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)是否存在直线l,使得·=-2.若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由;
(3)若AB是椭圆C经过原点O的弦,MN∥AB,求证:为定值.
解:(1)椭圆的顶点为(0,),
即b=,e==,
所以a=2,
所以椭圆的标准方程为+=1.
(2)由题可知,直线l与椭圆必相交.
①当直线斜率不存在时,经检验不合题意.
②设存在直线l为y=k(x-1),且M(x1,y1),N(x2,y2).
由得
(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,
x1+x2=,x1·x2=,
·=x1x2+y1y2
=x1x2+k2[x1x2-(x1+x2)+1]
=+k2(-+1)=
=-2,
所以k=±,
故直线l的方程为y=(x-1)或y=-(x-1).
(3)设M(x1,y1),N(x2,y2),A(x3,y3),B(x4,y4),
由(2)可得:
|MN|=|x1-x2|
=
=
=,
由消去y,
并整理得x2=,
|AB|=|x3-x4|=4,
所以==4为定值.
椭圆与双曲线的相关问题的处理思路,与椭圆与圆的问题处理思路一致,涉及的曲线无非是一种给出已知条件的一种方式,解题时应分别在椭圆和双曲线中考虑把各自的位置关系、等量关系转化为点的坐标或代数式,然后再根据两方面的联系进行解题.

　已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且∠F1PF2=,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为(　A　)
(A) (B) (C)3 (D)2
解析:假定焦点在x轴上,点P在第一象限,F1,F2分别为左、右焦点.
设椭圆的方程为+=1(a>b>0),
双曲线的方程为-=1(m>0,n>0),
它们的离心率分别为e1,e2,
则|PF1|=a+m,|PF2|=a-m,
在△PF1F2中,
4c2=(a+m)2+(a-m)2-2(a+m)(a-m)cos ⇒a2+3m2=4c2⇒()2+3()2=4,
设椭圆双曲线离心率的倒数分别为s,t,
令s+t=p,则s2+3t2=4,得4t2-2pt+p2-4=0,
由Δ=4p2-16(p2-4)≥0得-≤p≤,
则p的最大值为.故选A.
考点三　椭圆中探索性问题
[例3] 已知定点C(-1,0)及椭圆x2+3y2=5,过点C的动直线与椭圆相交于A,B两点.
(1)若线段AB中点的横坐标是-,求直线AB的方程;
(2)在x轴上是否存在点M,使·为常数?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
思路点拨:(1)设过C(-1,0)的直线方程为y=k(x+1),利用待定系数法求k;
(2)从假设存在点M(m,0)出发,去求·.若能找到一个m值使·为常数,即假设正确,否则不正确.
解:(1)法一　依题意,直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=k(x+1),
将y=k(x+1)代入x2+3y2=5,
消去y整理得(3k2+1)x2+6k2x+3k2-5=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则

由线段AB中点的横坐标是-,
得=-=-,
解得k=±,适合①,
所以直线AB的方程为x-y+1=0或x+y+1=0.
法二　设A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点为(-,y0),直线AB斜率为k,
由A,B两点在椭圆上,
所以⇒(x1+x2)(x1-x2)+3(y1+y2)(y1-y2)=0,所以-1+3×2y0·k=0,(*)
又直线过(-1,0),所以k==2y0,
代入(*)得k2=.所以k=±.
所以直线AB的方程为x-y+1=0或x+y+1=0.
(2)假设在x轴上存在点M(m,0),使·为常数.
(ⅰ)当直线AB与x轴不垂直时,由(1)知
x1+x2=-,x1x2=,③
所以·
=(x1-m)(x2-m)+y1y2
=(x1-m)(x2-m)+k2(x1+1)(x2+1)
=(k2+1)x1x2+(k2-m)(x1+x2)+k2+m2,
将③代入,整理得
·=+m2
=+m2
=m2+2m--.
注意到·是与k无关的常数,从而有6m+14=0,m=-,此时·=.
(ⅱ)当直线AB与x轴垂直时,此时点A,B的坐标分别为(-1, ),(-1,-),
当m=-时,也有·=.
综上,在x轴上存在点M(-,0),使·为常数.
所谓存在性问题,就是判断满足某个(某些)条件的点、直线、曲线(或参数)等元素是否存在的问题.这类问题通常以开放性的设问方式给出,若存在符合条件的几何元素或参数值,就求出这些几何元素或参数值,若不存在,则要求说明理由.求解存在性问题时,通常的方法是首先假设满足条件的几何元素或参数值存在,然后利用这些条件并结合题目的其他已知条件进行推理与计算,若不出现矛盾,并且得到了相应的几何元素或参数值,就说明满足条件的几何元素或参数值存在;若在推理与计算中出现了矛盾,则说明满足条件的几何元素或参数值不存在,同时推理与计算的过程就是说明理由的过程.
解决存在性问题应注意以下几点:①当条件和结论不唯一时要分类讨论;②当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件;③当条件和结论都不知,按常规方法解题很难时,要思维开放,采取另外的途径.

已知点P是圆F1:(x-1)2+y2=8上任意一点,点F2与点F1关于原点对称,线段PF2的垂直平分线分别与PF1,PF2交于M,N两点.
(1)求点M的轨迹C的方程;
(2)过点G(0,)的动直线l与点M的轨迹C交于A,B两点,在y轴上是否存在定点Q,使以AB为直径的圆恒过这个点?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
解:(1)由题意得|MF1|+|MF2|=|MF1|+|MP|=|F1P|=2,|F1F2|=2,
所以点M的轨迹C为以F1,F2为焦点的椭圆,
因为2a=2,2c=2,
所以点M的轨迹C的方程为+y2=1.
(2)存在.
直线l的方程可设为y=kx+,
设A(x1,y1),B(x2,y2).
联立可得9(1+2k2)x2+12kx-16=0.
由求根公式化简整理得
x1+x2=-,x1x2=-,
假设在y轴上存在定点Q(0,m),
使以AB为直径的圆恒过这个点,
所以⊥,即·=0.
因为=(-x1,m-y1),=(-x2,m-y2),
·=x1x2+(m-y1)(m-y2)
=x1x2+(m-kx1-)(m-kx2-)
=(1+k2)x1x2+k(-m)(x1+x2)+m2-+
=--+m2-+
==0.
所以解得m=-1.
因此,在y轴上存在定点Q(0,-1),使以AB为直径的圆恒过这个点.

存在性问题
[例题] 已知椭圆M:+=1(a>b>0)的长轴长为4,且与椭圆+=1有相同的离心率.
(1)求椭圆M的方程;
(2)是否存在圆心在原点的圆C,使得该圆的任意一条切线l与M有两个交点A,B,且⊥?若存在,写出该圆的方程,并求|AB|的取值范围,若不存在,说明理由.
解:(1)椭圆的长轴长为4,故a=2,
又与椭圆+=1有相同的离心率e=,
故c=2,b=2.
所以椭圆M的方程为+=1.
(2)存在.若l的斜率存在,设l:y=kx+m,
因l与圆C相切,故r=,
即m2=r2(1+k2).①
又将直线l方程代入椭圆M的方程得
(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
由韦达定理得x1+x2=,x1x2=,
由·=0得到
x1x2+y1y2=(1+k2) +km+m2=0,
化简得3m2=8+8k2,②
联立①②得r2=.
当l斜率不存在时,不妨设l为x=r,
得A(r,),B(r,-),
由·=r2-4+=0,得r2=,
综上所述,存在圆C:x2+y2=,
当l的斜率存在时,
|AB|2=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]
=·
=(1+)
=(1+)∈(,12](k≠0).
当k=0时,|AB|2=,
所以|AB|∈[,2],
又当k不存在时,|AB|=,
故|AB|的取值范围为[,2].

规范要求:解决存在性问题的解题步骤:第一步:先假设存在,引入参变量,根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组);第二步:解此方程(组)或不等式(组),若有解,则存在,若无解,则不存在;第三步:得出结论.
温馨提示:先假设存在,将该圆的切线方程代入椭圆方程,利用韦达定理及⊥,可确定m的范围及所求的圆的方程,验证当切线的斜率不存在时,结论也成立.
[规范训练] (2019·温州模拟)如图,A为椭圆+y2=1的下顶点,过A的直线l交抛物线x2=2py(p>0)于B,C两点,C是AB的中点.

(1)求证:点C的纵坐标是定值;
(2)过点C作与直线l倾斜角互补的直线l′交椭圆于M,N两点,求p的值,使得△BMN的面积最大.
(1)证明:易知A(0,-1),不妨设B(t,),
则C(,),
代入抛物线方程得
()2=2p·,得t2=4p,
所以yC==为定值.
(2)解:因为点C是AB中点,所以S△BMN=S△AMN,
因为直线l的斜率k==,
直线l′的斜率k′=-,
所以直线l′的方程为y-=-(x-),
即y=-x+2,不妨记m=-,
则l′:y=mx+2代入椭圆方程整理得
(2m2+1)x2+8mx+6=0,
设M(x1,y1),N(x2,y2),
则x1+x2=-,x1x2=,
|MN|=|x1-x2|
=2,
A到MN的距离d=,
所以S△AMN=·|MN|·d
=3
=
≤
=.
当=时取等号,得m2=,
所以t2==,p==,
即p=时,△AMN的面积最大,为.

类型一 椭圆与圆相关的问题
1.设F是椭圆C:+=1(a>b>0)的一个焦点,P是C上的点,圆x2+y2=与线段PF交于A,B两点,若A,B是线段PF的两个三等分点,则椭圆C的离心率为(　D　)
(A) (B) (C) (D)
解析:如图所示,设线段AB的中点为D,连接OD,OA,
设椭圆C的左、右焦点分别为F,F′,连接PF′.
设|OD|=t,因为点A,B是线段PF的两个三等分点,
所以点D为线段PF的中点,
所以OD∥PF′,且|PF′|=2t,PF′⊥PF.

因为|PF|=3|AB|=6|AD|=6,
根据椭圆的定义,得|PF|+|PF′|=2a,
所以6+2t=2a,
解得t=或t=0(舍去).
所以|PF|=,|PF′|=.
在Rt△PFF′中,|PF|2+|PF′|2=|FF′|2,
即()2+()2=(2c)2,
得=,
所以椭圆C的离心率e==.故选D.
2.已知点P在椭圆C1:+=1上,C1的右焦点为F,点Q在圆C2:x2+y2+6x-8y+21=0上,则|PQ|-|PF|的最小值为(　D　)
(A)4-4 (B)4-4
(C)6-2 (D)2-6
解析:如图,点P在椭圆C1:+=1上,C1的右焦点为F(1,0),左焦点E(-1,0).

由圆C2:x2+y2+6x-8y+21=0上,可得
(x+3)2+(y-4)2=4,
所以圆心坐标为C2(-3,4),半径为2.
由椭圆的定义可得
|PE|+|PF|=2a=4,|PF|=4-|PE|,
则|PQ|-|PF|=|PQ|+|PE|-4,
由题意可得,|PQ|-|PF|的最小值为
(|PQ|-|PF|)min=(|PQ|+|PE|)min-4=|C2E|-2-4=-6=2-6,
故选D.
3.已知椭圆x2+=1(0 (1)若FC是圆P的直径,求椭圆的离心率;
(2)若圆P的圆心在直线x+y=0上,求椭圆的方程.
解:(1)由椭圆的方程知a=1,
点B(0,b),C(1,0).设F的坐标为(-c,0)(c>0),
因为FC是圆P的直径,
所以FB⊥BC,
因为kBC=-b,kBF=,
所以-b·=-1,
所以b2=c=1-c2,c2+c-1=0,
解得c=,
所以椭圆的离心率e==.
(2)因为圆P过F,B,C三点,
所以圆心P既在FC的垂直平分线上,也在BC的垂直平分线上,
FC的垂直平分线方程为x=,①
因为BC的中点为(,),kBC=-b,
所以BC的垂直平分线方程为y-=(x-),②
由①②得x=,y=,
即m=,n=.
因为P(m,n)在直线x+y=0上,
所以+=0⇒(1+b)(b-c)=0.
因为1+b>0,
所以b=c.
由b2=1-c2得b2=,
所以椭圆的方程为x2+=1.
4.如图,已知直线l:y=kx+m与椭圆E:+y2=1交于A,B两点,与单位圆O:x2+y2=1相切于点M,直线OM与椭圆E相交于C,D两点.

(1)求|AB|(用k表示);
(2)记四边形ACBD的面积为S1,△AOB的面积为S2,求的最小值.
解:(1)因为直线l与圆O相切,所以=1,
即m2=k2+1.
设A(x1,y1),B(x2,y2),由
消去y整理得(1+3k2)x2+6kmx+3m2-3=0.
所以x1+x2=-,x1x2=,
且Δ=36k2m2-4(1+3k2)(3m2-3)=24k2.
故线段|AB|=|x1-x2|=.
(2)因为AB⊥CD,
所以直线CD方程为y=-x.
代入+y2=1得x2=,y2=.
所以|CD|=2=.
所以==2·
=2·=.
设t=1+3k2,则
=·
=·
=3≥3×
==.
5.已知椭圆+=1(a>b>0)的右焦点为F2(1,0),点H(2,)在椭圆上.

(1)求椭圆的方程;
(2)若点M在圆x2+y2=b2上,且M在第一象限,过M作圆x2+y2=b2的切线交椭圆于P,Q两点,问:△PF2Q的周长是否为定值?若是,求出定值;若不是,请说明理由.
解:(1)由题意得解得
所以椭圆方程为+=1.
(2)△PF2Q的周长为定值.理由如下:
设P(x1,y1),Q(x2,y2),
则+=1(|x1|≤3),
|PF2|2=(x1-1)2+
=(x1-1)2+8(1-)
=(x1-9)2,
所以|PF2|=(9-x1)=3-x1.
连接OM,OP(图略),
由相切条件知|PM|2=|OP|2-|OM|2
=+-8
=+8(1-)-8
=.
所以|PM|=x1,
所以|PF2|+|PM|=3-x1+x1=3,
同理可求得|QF2|+|QM|=3-x2+x2=3,
所以|F2P|+|F2Q|+|PQ|=3+3=6为定值.
即△PF2Q的周长为定值.
类型二　椭圆与圆锥曲线的相关问题
6.设椭圆+=1(m>0,n>0)的右焦点与抛物线y2=8x的焦点相同,离心率为,则此椭圆的方程为(　B　)
(A)+=1 (B)+=1
(C)+=1 (D)+=1
解析:因为y2=8x的焦点为(2,0),所以m2-n2=4.
又椭圆离心率为,所以e2==,
即m2=16,n2=12.故选B.
7.已知双曲线-=1的离心率为2,焦点与椭圆+=1的焦点相同,那么双曲线的焦点坐标为　　　　;渐近线方程为　　　　　　　　. 
解析:因为双曲线的焦点与椭圆的焦点相同,
所以c=4.
因为e==2,所以a=2,
所以b2=12,所以b=2.
因为焦点在x轴上,
所以焦点坐标为(±4,0),
渐近线方程为y=±x,
即y=±x,化为一般式为x±y=0.
答案:(±4,0)　x±y=0
类型三　椭圆中的探索性问题
8.过椭圆Γ:+=1(a>b>0)的右焦点F2的直线交椭圆于A,B两点,F1为其左焦点,已知△AF1B的周长为8,椭圆Γ的离心率为.
(1)求椭圆Γ的方程;
(2)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆Γ恒有两个交点P,Q,且⊥?若存在,求出该圆的方程;若不存在,请说明理由.
解:(1)由已知,得
解得
所以b2=a2-c2=1,
故椭圆Γ的方程为+y2=1.
(2)假设满足条件的圆存在,
其方程为x2+y2=r2(0 当直线PQ的斜率存在时,设其方程为y=kx+t.
由
消去y并整理,得(1+4k2)x2+8ktx+4t2-4=0.
设P(x1,y1),Q(x2,y2),
则x1+x2=-,x1x2=.①
因为⊥,所以x1x2+y1y2=0.
又y1=kx1+t,y2=kx2+t,
所以x1x2+(kx1+t)(kx2+t)=0.
即(1+k2)x1x2+kt(x1+x2)+t2=0,②
将①代入②,得
-+t2=0,即t2=(1+k2).
因为直线PQ与圆x2+y2=r2相切,
所以r===∈(0,1),
所以存在圆x2+y2=满足条件.
当直线PQ的斜率不存在时,也适合圆x2+y2=.
综上所述,存在圆心在原点的圆x2+y2=满足条件.
9.在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率e=,且椭圆C上的点到点Q(0,2)的距离的最大值为3.
(1)求椭圆C的方程;
(2)在椭圆C上,是否存在点M(m,n),使得直线l:mx+ny=1与圆O:x2+y2=1相交于不同的两点A,B,且△OAB的面积最大?若存在,求出点M的坐标及相对应的△OAB的面积;若不存在,请说明理由.
解:(1)因为e===,
所以a2=3b2,
即椭圆C的方程可写为+=1.
设P(x,y)为椭圆C上任意一点,
则P,Q之间的距离
d=
=
=(-b≤y≤b).
当-b≤-1,即b≥1时,
dmax==3,得b=1;
当-b>-1,即b<1时,dmax==3,
得b=1(舍去).
所以b=1,a=,
故所求椭圆C的方程为+y2=1.
(2)存在满足要求的点M,使△OAB的面积最大.
假设存在满足条件的点M,
因为直线l:mx+ny=1与圆O:x2+y2=1相交于不同的两点A,B,
所以圆心O到直线l的距离d1=<1.
因为点M(m,n)在椭圆C上,
所以+n2=1 因为|AB|=2=2,
所以S△OAB=·|AB|·d1
=
=≤
=,
当且仅当1=m2时等号成立,
所以m2=∈(0,3],
因此当m=±,n=±时等号成立.
所以满足要求的点M的坐标为(,)或(,-)或(-,)或(-,-),
此时对应的△OAB的面积为.