2021版高考数学导与练一轮复习（浙江版）知识梳理：第八章第二节　平面向量基本定理及坐标运算

第二节　平面向量基本定理及坐标运算

一、平面向量基本定理

如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.

其中,不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.

1.概念理解

(1)平面内的基底是不唯一的,同一向量在不同基底下的表示不相同,但基底确定后,表示唯一,即λ1和λ2唯一确定.

(2)用平面向量基本定理可以将平面内任一向量分解成a=λ1e1+λ2e2的形式,这是线性运算的延伸.

(3)可将向量的基本定理和物理中“力的分解”相联系,加深理解.

2.与平面向量基本定理相关联的结论

(1)0不能作为基底.

(2)△ABC中,D为BC的中点,则=(+).

二、平面向量的正交分解

1.平面向量的正交分解

把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解.

2.平面向量的坐标表示

(1)在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底,对于平面内的一个向量a,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数x,y,使得a=xi+yj,这样,平面内的任一向量a都可由x,y唯一确定,我们把(x,y)叫做向量a的坐标,记作a=(x,y),其中x叫做a在x轴上的坐标,y叫做a在y轴上的坐标.

(2)若A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x2-x1,y2-y1).

1.概念理解

(1)正交分解是向量的一种特殊分解,是向量基本定理的一种特殊

情况.

(2)正交分解是将基底看作x轴正方向和y轴正方向上的单位向量,体现数学中将一般结论特殊化的思想.

2.与向量的坐标表示相关联的结论

(1)若=(x1,y1),则=(-x1,-y1).

(2)0=(0,0).

(3)a=(x1,y1),则与a方向相同的单位向量e==(,).

三、平面向量的坐标运算及共线向量的坐标表示

1.平面向量的坐标运算

(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a±b=(x1±x2,y1±y2).

(2)若a=(x,y),则λa=(λx,λy).

2.向量共线的充要条件的坐标表示

若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b⇔x1y2-x2y1=0.

概念理解

(1)向量共线常常解决交点坐标问题和三点共线问题,向量共线的充要条件表示为x1y2-x2y1=0,但不能表示为=.

(2)向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系,两个相等的向量,无论起点在什么位置,它们的坐标都是相同的.

在平面直角坐标系中,O为坐标原点,A,B,C三点满足=+,则=　　　　. 

解析:不妨设A(1,0),B(0,1),

所以=(,),

所以||==,||=,

所以=.

答案:

考点一　平面向量基本定理概念理解

[例1] (1)下列命题:

①平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.

②在△ABC中,向量,的夹角为∠ABC.

③若a,b不共线,且λ1a+μ1b=λ2a+μ2b,则λ1=λ2,μ1=μ2.

其中错误的是　　　　. 

(2)如图,在△ABC中,AD=2DB,AE=EC,BE与CD相交于点P,若=x+y (x,y∈R),则x=　　　　,y=　　　　. 

解析:(1)只有不共线的向量才能作为基底,所以①错误,②中两个向量的夹角指的是同起点两个向量之间的角,②错误,③正确.

解析:(2)由向量的三角形加法法则可知

=+=+λ

=+λ(-)=+λ(--)

=(1-λ)+λ,

同理

=+=+μ=+μ(-)

=+μ(--)=μ+(1-μ) ,

所以可得⇒

所以=+,

所以x=,y=.

答案:(1)①②　(2)　

(1)平面向量基本定理中,作为基底的向量必须是不共线的;

(2)基底选取的不同,要注意向量的表示也不相同,在平时的应用中,注意选取合理的基底能简化运算.

已知点O是△ABC的重心,点P是OC上异于端点的任意一点,且=m+n,则m+n的取值范围是　　　　. 

解析:由题意知++=0,

设=λ=λ(--)(0<λ<1),

=m+n,所以m+n=-2λ∈(-2,0).

答案:(-2,0)

考点二　平面向量基本定理的应用

[例2] 已知点O是△ABC的外接圆圆心,且AB=3,AC=4.若存在非零实数x,y,使得=x+y,且x+2y=1,则cos∠BAC 的值为(　　)

(A) (B) (C) (D)

解析:设M为AC的中点,则=x+y=x+2y,

又x+2y=1,所以O,B,M三点共线,

又O是△ABC的外接圆圆心,

因此BM⊥AC,

从而cos∠BAC=.故选A.

用平面向量基本定理解决问题的一般思路:

(1)先选择一组基底,并运用该基底将条件和结论表示成向量形式通过向量的运算解决问题.(2)基底未给出时,合理地选择基底.

在矩形ABCD中,AB=2,AD=4,AB⊥AD,点P满足=x+y,且x+2y=1,点M在矩形ABCD内(包含边)运动,且=λ,则λ的最大值等于(　C　)

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

解析:由题意知,设AD的中点为E.如图所示,

=x+y=x+2y·()=x+2y,

因为x+2y=1,

所以P,B,E三点共线,即点P在线段BE上运动,

又=λ,

所以A,M,P三点共线,

显然当M点与C点重合时,λ达到最大值,此时==2,所以λ=3,

故选C.

考点三　平面向量的坐标运算

[例3] (2018·全国Ⅲ卷)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若c∥(2a+b),则λ=　　　　. 

解析:由题易得2a+b=(4,2),因为c ∥(2a+b),

所以4λ=2,得λ=.

答案:

(1)向量的坐标表示是向量的代数表示,其中坐标运算法则是运算的关键.

(2)要区分点的坐标和向量的坐标,向量坐标中包含向量大小和方向两个信息,两向量共线有方向相同和相反两种情况.

(3)两向量共线的充要条件有两种形式:①若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b⇔x1y2-x2y1=0;②若a∥b(b≠0),则a=λb.

(4)向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行,也可由平行求参数,当两向量坐标均非零时,也可利用坐标对应比例来求解.

在梯形ABCD中,AB∥CD,且DC=2AB,三个顶点 A(1,2),B(2,1),C(4,2),则点D的坐标为　　　　. 

解析:由题意知DC=2AB,AB∥CD,

所以=2.

设点D的坐标为(x,y),

则=(4-x,2-y),=(1,-1),

所以(4-x,2-y)=2(1,-1),

即(4-x,2-y)=(2,-2),

解得

故点D的坐标为(2,4).

答案:(2,4)

类型一　平面向量基本定理的理解

1.若α,β是一组基底,向量γ=xα+yβ(x,y∈R),则称(x,y)为向量γ在基底α,β下的坐标,现已知向量a在基底p=(1,-1),q=(2,1)下的坐标为(-2,2),则a在另一组基底m=(-1,1),n=(1,2)下的坐标为(　D　)

(A)(2,0) (B)(0,-2) (C)(-2,0) (D)(0,2)

解析:因为a在基底p,q下的坐标为(-2,2),

即a=-2p+2q=(2,4),

令a=xm+yn=(-x+y,x+2y),

所以即

所以a在基底m,n下的坐标为(0,2).

故选D.

2.非零不共线向量,,且2=x+y,若=λ(λ∈R),则点Q(x,y)的轨迹方程是(　A　)

(A)x+y-2=0 (B)2x+y-1=0

(C)x+2y-2=0 (D)2x+y-2=0

解析:=λ,

得-=λ(-),

即=(1+λ) -λ.

又2=x+y,

所以

消去λ得x+y-2=0.故选A.

类型二　平面向量基本定理的应用

3.正三角形ABC内一点M满足=m+n(m,n∈R),∠MCA=45°,则的值为(　D　)

(A)-1 (B)+1

(C) (D)

解析:令m=,n=,

由已知=m+n可得=+.

根据向量加法的平行四边形法则可得四边形CDME为平行四边形.

由已知可得△MCD中∠MCD=45°,∠CMD=60°-45°,

由正弦定理可得

===,即=.

由m=,n=,

得m=,n=,

所以==·=·,

因为△ABC为正三角形,所以CB=CA.

所以=.故选D.

类型三　平面向量的坐标运算

4.已知向量=(-1,3),=(1,2),=(2,-5),若G是△ABC的重心,则的坐标是　　　　. 

解析:设D是BC中点,则+=2=-,

即(-)+(-)=-,

所以===(,0).

答案:(,0)