2021版高考数学导与练一轮复习（浙江版）知识梳理：第八章第三节　平面向量的数量积及应用

第三节　平面向量的数量积及应用

一、数量积的定义及意义

1.向量的夹角

(1)定义

已知两个非零向量a和b,作=a,=b,如图所示,则∠AOB=θ叫做向量a与b的夹角,也可记作<a,b>=θ.

(2)范围

向量夹角θ的范围是[0,π],a与b同向时,夹角θ=0;a与b反向时,夹角θ=π.

(3)垂直关系

如果非零向量a与b的夹角是90°,我们说a与b垂直,记作a⊥b.

2.平面向量的数量积

已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,则数量|a||b|cos θ 叫做a与b的数量积(或内积),记作a·b. 

规定:零向量与任一向量的数量积为0.

两个非零向量a与b垂直的充要条件是a·b=0.

3.平面向量数量积的几何意义

数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积. 

1.概念理解

(1)在平面图形中运算向量的数量积要注意向量夹角的取值,注意区分平面图形中的角和向量夹角的区别.

(2)理解数量积的概念可以和物理中功的公式相联系,加深对概念的理解.

(3)向量a与b的夹角为锐角⇔a·b>0且a与b不共线,a,b夹角为钝角⇔a·b<0且a与b不共线.

2.与数量积的定义有关的结论

(1)a在b方向上的投影:|a|·cos θ或.

(2)|a·b|≤|a||b|,“=”当且仅当a与b共线时取到.

二、数量积的性质与运算律

1.平面向量数量积的重要性质

(1)e·a=a·e=|a|cos θ(e为单位向量,θ为a与e的夹角); 

(2)非零向量a,b,a⊥b⇔a·b=0;

(3)当a与b同向时,a·b=|a||b|;

当a与b反向时,a·b=-|a||b|,a·a=|a|2,

|a|=;

(4)cos θ=(θ为a与b的夹角).

2.平面向量数量积满足的运算律

(1)a·b=b·a(交换律);

(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(λ为实数);

(3)(a+b)·c=a·c+b·c.

3.平面向量数量积的坐标表示

已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ为向量a,b的夹角.

(1)a·b=x1x2+y1y2.

(2)|a|=.

(3)cos θ=.

1.与数量积的性质和运算律相关的结论

(1)0·a=0,0·a=0.

(2)a·b=b·c⇔b=0或b⊥(a-c).

2.与坐标运算有关的结论

A(x1,y1),B(x2,y2),则AB的中点坐标为(,),AB的两个三等分点坐标为(,)和(,).

1.对于向量a,b,c和实数λ,下列命题中正确的是(　B　)

(A)若a·b=0,则a=0或b=0

(B)若λa=0,则λ=0或a=0

(C)若a2=b2,则a=b或a=-b

(D)若a·b=a·c,则b=c

解析:当a⊥b时,a·b=0,故A错;当a⊥b,|a|=|b|=1时,a2=b2,故C错;当a⊥b,a⊥c时,a·b=a·c=0,故D错.故选B.

2.(2018·全国Ⅱ卷)已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)等于(　B　)

(A)4 (B)3 (C)2 (D)0

解析:a·(2a-b)=2a2-a·b=2|a|2-a·b.

因为|a|=1,a·b=-1,所以原式=2×12+1=3.故选B.

3.已知向量与的夹角为120°,且||=3,| |=2.若=λ+,且⊥,则实数λ的值为　　　　. 

解析:因为⊥,

所以·=0,

所以(λ+)·(-)=0,

即-λ+(λ-1)·=0,

又因为·=3×2×(-)=-3,

所以4-9λ-3(λ-1)=0.

所以λ=.

答案:

4.(2019·江苏卷)如图,在△ABC中,D是BC的中点,E在边AB上,BE=2EA,AD与CE交于点O.若·=6·,则的值是　　　　. 

解析:如图,过点D作DF∥CE交AB于点F,由D是BC的中点,可知F为BE的中点.又BE=2EA,则知EF=EA,从而可得AO=OD,则有==(+),=-=-,

所以6·=(+)·(-)

=-+·

=·,

整理可得=3,所以=.

答案:

考点一　平面向量数量积的运算

[例1] (2018·天津卷)在如图的平面图形中,已知OM=1,ON=2,∠MON=

120°,=2,=2,则·的值为(　　)

(A)-15  (B)-9 (C)-6  (D)0

解析:如图,连接MN.

因为=2,=2,

所以==,

所以MN∥BC,且=,

所以=3=3(-),

所以·=3(·-)

=3(2×1×cos 120°-12)

=-6.

故选C.

(1)求两个向量的数量积,有三种方法:利用定义;利用向量的坐标运算;利用数量积的几何意义.

(2)解决涉及几何图形的数量积运算问题时,可先利用向量的加减运算或数量积的运算律化简再运算,但要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补.

(2018·嘉兴模拟)如图,B,D是以AC为直径的圆上的两点,其中AB=,AD=,则·等于(　A　)

(A)1 (B)2

(C)t (D)2t

解析:·

=·(-)

=·-·

=||||cos ∠DAC-||||cos ∠BAC

=-

=(t+2)-(t+1)

=1.

考点二　平面向量的夹角

[例2] 已知单位向量e1,e2的夹角为α,且cos α=,向量a=3e1-2e2与b=3e1-e2的夹角为β,则cos β=　　　　. 

解析:由已知得e1·e2=1×1×=,

a·b=(3e1-2e2)·(3e1-e2)

=9+2-9e1·e2

=11-3

=8.

又因为a2=(3e1-2e2)2=9+4-12e1·e2=13-4=9,

得|a|=3,

b2=(3e1-e2)2=9+1-6e1·e2=10-2=8,

得|b|=2,

所以cos β===.

答案:

根据平面向量数量积的性质,若a,b为非零向量,则cos<a,b>=,a⊥b⇔a·b=0等,可知利用平面向量的数量积可解决有关角度、垂直问题.

1.(2019·金丽衢十二校第一次联考)已知向量a=(4, ),b=

(1,5),则a与b的夹角为(　C　)

(A)30° (B)45° (C)60° (D)90°

解析:cos<a,b>===,

所以<a,b>=60°.故选C.

2.(2018·浙江台州期末统考)设非零向量a,b,则“a,b的夹角为锐角”是“|a+b|>|a-b|”的(　A　)

(A)充分不必要条件 

(B)必要不充分条件

(C)充要条件 

(D)既不充分也不必要条件

解析:由于|a+b|>|a-b|等价于a·b>0,若a,b的夹角为锐角,则a·b>0,所以|a+b|>|a-b|成立,反之不一定成立,如a,b夹角为0,不一定为锐角,所以“a,b的夹角为锐角”是“|a+b|>|a-b|”的充分不必要条件.故选A.

考点三　平面向量的模

[例3] (1)设a,b为单位向量,若向量c满足|c-(a+b)|=|a-b|,则|c|的最大值是(　　)

(A)2 (B)2 (C) (D)1

(2)(2018·浙江卷)已知a,b,e是平面向量,e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为,向量b满足b2-4e·b+3=0,则|a-b|的最小值是(　　)

(A)-1 (B)+1 (C)2 (D)2-

解析:(1)如图.记=a,=b,=c,

则a+b=,a-b=,

由已知得|-|=||,

又由||=|-|≥||-||得|c|=||≤||+||=|a+b|+|a-b|,

由已知得|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2)=4,

而≤=,

故|c|≤2.故选A.

解析:(2)由b2-4e·b+3=0得b2-4e·b+3e2=(b-e)·(b-3e)=0.设b=,e=,3e=,

所以b-e=,b-3e=,

所以·=0,取EF的中点为C,则B在以C为圆心,EF为直径的圆上.如图,设a=,作射线OA,使得∠AOE=,所以|a-b|=|(a-2e)+(2e-b)|≥|a-2e|-|2e-b|=||-||≥-1.故选A.

(1)求向量模的常用方法:利用公式|a|2=a2,将模的运算转化为数量积的运算.

(2)求模也可将向量置于特殊图形中,利用图形解决向量的模.

(2019·温州2月模拟)在平面上,e1,e2是方向相反的单位向量,|a|=

2,(b-e1)·(b-e2)=0,则|a-b|的最大值为(　D　)

(A)1 (B) (C)2 (D)3

解析:由题意得(b-e1)·(b-e2)=0⇒b2-b·(e1+e2)+e1·e2=0,

e1,e2是方向相反的单位向量,

所以e1+e2=0,e1·e2=-1,b2-1=0⇒|b|=1,

所以|a-b|≤|a|+|b|=3,|a-b|的最大值为3.

故选D.

考点四　平面向量的应用

[例4] (1)已知点O,N,P在△ABC所在平面内,且||=||=||,

++=0,·=·=·,则点O,N,P依次是△ABC的(　　)

(A)重心、外心、垂心 (B)重心、外心、内心

(C)外心、重心、垂心 (D)外心、重心、内心

(2)(2019·浙江卷)已知正方形ABCD的边长为1,当每个λi

(i=1,2,3,4,5,6)取遍±1时,|λ1+λ2+λ3+λ4+λ5+

λ6|的最小值是　　　　,最大值是　　　　. 

解析:(1)由||=||=||知点O到A,B,C距离相等,为外心;由++=0,

即=-(+)知N为△ABC三条中线交点即重心;

由·=·,

即·(-)=0得·=0,

即⊥,同理⊥,⊥,

即P为垂心,故选C.

解析:(2)如图,以A为原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系,则=(1,0),=(0,1).

设a=λ1+λ2+λ3+λ4+

λ5+λ6

=λ1+λ2-λ3-λ4+λ5(+)+λ6(-)　

=(λ1-λ3+λ5-λ6)+(λ2-λ4+λ5+λ6)

=(λ1-λ3+λ5-λ6,λ2-λ4+λ5+λ6).

故|a|=.

因为λi(i=1,2,3,4,5,6)取遍±1,

所以当λ1-λ3+λ5-λ6=0,λ2-λ4+λ5+λ6=0时,|λ1+λ2+λ3+λ4+λ5+λ6|取得最小值0.

考虑到λ5-λ6,λ5+λ6有相关性,要确保所求模最大,只需使|λ1-λ3+λ5-λ6|,|λ2-λ4+λ5+λ6|尽可能取到最大值,即当λ1-λ3+λ5-λ6=2,λ2-λ4+λ5+λ6=4时可取到最大值,

所以|λ1+λ2+λ3+λ4+λ5+λ6|的最大值为=2.

答案:(1)C　(2)0　2

以向量为载体求相关变量的取值范围是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题,通过几何图形的分析,转化为不等式解集或函数值域等问题.

已知圆O:x2+y2=4上有三个不同的点P,A,B,且满足=x-(其中x>0),则实数x的取值范围是　　　　. 

解析:因为=x-,

所以-=x-,

即x=-,

两边平方得4x2=4+1-·,

设<,>=α,则4x2=5-4cos α,

因为-1<cos α<1,

所以1<5-4cos α<9,即1<4x2<9,

因为x>0,所以<x<.

即实数x的取值范围是(,).

答案:(,)

类型一　平面向量数量积的运算

1.(2019·衢州二中第一次模拟)在梯形ABCD中,AD∥BC,BC=2AB=2AD=2DC=4,AC与BD相交于O,过点A作AE⊥BD于E,则·等于(　C　)

(A) (B) (C)3 (D)2

解析:

如图,由题意知BD⊥DC,∠ADC=120°,

所以∠ADB=30°,∠ACD=30°,

由题意得AE∥CD,

所以∠EAO=30°,AC=2,AE=1,·=||·||·cos 30°=1×2×=3.故选C.

类型二　平面向量的夹角

2.(2019·浙江省模拟)设θ是两个非零向量a,b的夹角,已知对任意实数t,|b+ta|的最小值为1,则(　B　)

(A)若θ确定,则|a|唯一确定

(B)若θ确定,则|b|唯一确定

(C)若|a|确定,则θ唯一确定

(D)若|b|确定,则θ唯一确定

解析:|b+ta|2=b2+2ta·b+t2a2,令g(t)=b2+2ta·b+t2a2,二次函数图象开口向上,所以最小值为=|b|2-|b|2cos2θ=|b|2sin2θ=1,故当θ确定,则|b|唯一确定.

故选B.

3.(2019·余高、缙中、长中5月模拟)已知平面向量a,b不共线,且|a|=1,a·b=1,记b与2a+b的夹角是θ,则θ最大时,|a-b|等于(　C　)

(A)1 (B) (C) (D)2

解析:设|b|=x,则b·(2a+b)=2a·b+b2=x2+2,

(2a+b)2=4a2+4a·b+b2=x2+8,

cos θ==,

所以cos2θ=

=

=,

即当x2=4,x=2时,cos2θ取到最小值,则θ取到最大值,此时|a-b|2=

a2-2a·b+b2=1-2+4=3,

所以|a-b|=.故选C.

类型三　平面向量的模

4.已知在△ABC中,||=10,·=-16,D为边BC的中点,则||等于(　D　)

(A)6 (B)5 (C)4 (D)3

解析:因为·=-16,= -,

所以||=|-|,

所以|-|2=||2=100,

所以+-2·=100,

所以+=68,

又因为=+,

所以||2=(++2·)

=×(68-32)

=9.

所以||=3.

类型四　平面向量的应用

5.(2019·浙江三校第一次联考)如图,圆O是半径为1的圆,OA=,设B,C是圆上的任意2个点,则·的取值范围是(　A　)

(A)[-,3] (B)[-1,3]

(C)[-1,1] (D)[-,1]

解析:由题意,设<,>=θ,

·=(-)·=·-·

=||·||cos∠BCO-||·||cos θ

=-||·||cos θ

=-||cos θ,

又因为cos θ≤1,

所以-||cos θ

≥-||

=(||-)2-,

又因为||∈[0,2],

所以当||=时,·取到最小值为-,

当||=2,cos θ=-1,·取到最大值为3.

故选A.

6.已知△ABC满足|AB|=3,|AC|=4,O是△ABC的外心,且=λ+(λ∈R),则△ABC的面积是　　　　. 

解析:由=λ+,

得

即

解方程组得或

当·=9时,cos A=,sin A=,

所以S△ABC=×3×4×=;

当·=8时,cos A=,sin A=,

所以S△ABC=×3×4×=2.

所以△ABC的面积是2或.

答案:2或