2021版高考数学导与练一轮复习（浙江版）知识梳理：第八章第四节　复数的概念及其运算

第四节　复数的概念及其运算

一、复数的有关概念

1.复数的定义

形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中实部是a,虚部是b(i是虚数

单位).

2.复数的分类

复数z=a+bi(a,b∈R)

3.复数相等

a+bi=c+di⇔a=c且b=d(a,b,c,d∈R).

4.共轭复数

a+bi与c+di互为共轭复数⇔a=c且b=-d(a,b,c,d∈R).

5.复数的模

向量的模叫做复数z=a+bi的模,记作|z|或|a+bi|,即|z|=|a+bi|=r=(r≥0,r,a,b∈R).

二、复数的几何意义

1.复平面的概念

建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面.

2.实轴、虚轴

在复平面内,x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴,实轴上的点都表示实数;除原点以外,虚轴上的点都表示纯虚数.

3.复数的几何表示

复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b)平面向量.

三、复数的运算

1.复数的加、减、乘、除运算法则

设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则

(1)加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;

(2)减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i;

(3)乘法:z1·z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i;

(4)除法:===+ i(c+di≠0).

2.复数加法的运算定律

复数的加法满足交换律、结合律,即对任何z1,z2,z3∈C,有z1+z2=z2+z1,(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).

四、与复数运算有关的结论

1.(1±i)2=±2i.

2.=i,=-i.

3.(a+bi)(a-bi)=a2+b2.

4.(a±bi)2=a2-b2±2abi.

5.=b-ai.

概念理解

(1)复数的代数形式z=a+bi(a,b∈R),虚部是b而不是bi,即实部和虚部都是实数.

(2)一个复数若为纯虚数,则既要满足实数a=0,又要满足虚部b≠0,两个条件缺一不可.

(3)两个复数一般不能比较大小,只能说相等或不相等.

(4)两个复数相等的充要条件是它们的实部与虚部分别相等.

(5)虚轴上的点除原点外都表示纯虚数.

(6)复平面内表示复数z=a+bi的点Z的坐标为(a,b),而不是(a,bi).

五、复数的模

1.复数的模的相关结论

设z1,z2是任意两个复数,

(1)|z1·z2|=|z1|·|z2|,||=(|z2|≠0).

(2)||=|z1|n(n∈N*).

(3)||z1|-|z2||≤|z1+z2|≤|z1|+|z2|,等号成立的条件是①当|z1+z2|=|z1|+|z2|时,即z1,z2所对应的向量同向共线;②当||z1|-|z2||=|z1+z2|时,即z1,z2所对应的向量反向共线.

(4)||z1|-|z2||≤|z1-z2|≤|z1|+|z2|,等号成立的条件是①当|z1-z2|=|z1|+|z2|时,即z1,z2所对应的向量反向共线;②||z1|-|z2||=|z1-z2|时,即z1,z2所对应的向量同向共线.

2.复数的模的几何意义

(1)复数z=a+bi,则|z|表示在复平面所对应的点Z(a,b)到原点的

距离.

(2)若复数z=a+bi,z0=a0+b0i,则|z-z0|表示复平面内两点(a,b)与(a0,b0)间的距离,即两个复数差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离.

六、与复数概念有关的结论

1.实数集R与虚数集都是复数集的真子集且互为补集,即R∪{虚数}=C,R∩{虚数}=.

2.z=a+bi=0⇔a=b=0.

3.复数能比较大小的充要条件是复数为实数.

4.i2=-1.

5.i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0.

6.共轭复数的性质

设z=a+bi,=a-bi(a,b∈R),则

(1)z+=2a,z-=2bi;

(2)=z;

(3)|z|=||=,z·=a2+b2=|z|2=||2;

(4)z∈R⇔z=;

(5)z与在复平面内所对应的点关于实轴对称.

1.(2019·全国Ⅱ卷)设z=i(2+i),则等于(　D　)

(A)1+2i (B)-1+2i

(C)1-2i (D)-1-2i

解析:z=i(2+i)=2i+i2=-1+2i,

所以=-1-2i,故选D.

2.已知i为虚数单位,复数z1=a+i,z2=2-i,且|z1|=|z2|,则实数a的值为(　C　)

(A)2 (B)-2 (C)2或-2 (D)±2或0

解析:由已知=,则a=±2.故选C.

3.(2018·杭州高级中学月考)已知方程x2+(4+i)x+4+ai=0(a∈R)有实根b,且z=a+bi,则复数z的共轭复数为(　B　)

(A)2-2i (B)2+2i

(C)-2+2i (D)-2-2i

解析:方程x2+(4+i)x+4+ai=0(a∈R)可化为x2+4x+4+i(x+a)=0,

由复数相等的意义得解得x=-2,a=2,

方程x2+(4+i)x+4+ai=0(a∈R)有实根b,故b=-2,

所以复数z=2-2i,所以复数z的共轭复数为2+2i.

故选B.

4.(2019·杭州市第二学期高三教学质量检测)已知复数z=1+i(i是虚数单位),则等于(　A　)

(A)i (B)-i (C)1+i (D)1-i

解析:= ===i.故选A.

考点一　复数的概念及分类

[例1] 复数z=(m2+m-6)i+为纯虚数,则实数m的值为(　　)

(A)2 (B)-3 (C)4 (D)3或4

解析:由

得m=3或m=4.故选D.

处理有关复数的基本概念问题,关键找准复数的实部和虚部,把复数问题转化为实数问题来解决.

1.若复数m(m-2)+(m2-3m+2)i是纯虚数,则实数m的值为(　C　)

(A)0或2 (B)2 (C)0 (D)1或2

解析:因为m(m-2)+(m2-3m+2)i是纯虚数,

则解得m=0.故选C.

2.复数z=(3-2i)i的共轭复数等于(　C　)

(A)-2-3i (B)-2+3i (C)2-3i (D)2+3i

解析:因为z=(3-2i)i=2+3i,

所以=2-3i.故选C.

考点二　复数的几何意义

[例2] (1)(2019·全国Ⅱ卷)设z=-3+2i,则在复平面内对应的点位于(　　)

(A)第一象限 (B)第二象限

(C)第三象限 (D)第四象限

(2)若复数z满足z= (i是虚数单位),则在复平面内,z对应的点的坐标是(　　)

(A)(,) (B)(-,)

(C)(,-) (D)(-,-)

解析:(1)由z=-3+2i,得=-3-2i,对应点(-3,-2)位于第三象限.故

选C.

解析: (2)z=====+i,

所以在复平面内,z对应的点的坐标是(,).故选A.

判断复数所在平面内的点的位置的方法:首先将复数化成a+bi(a,b∈R)的形式,其次根据实部a和虚部b的符号来确定点所在的象限及坐标.

1.在复平面中,复数1-3i,(1+i)(2-i)对应的点分别为A,B,则线段AB的中点C对应的复数为(　D　)

(A)-4+2i (B)4-2i (C)-2+i (D)2-i

解析:(1+i)(2-i)=3+i,所以A,B的坐标分别为(1,-3)和(3,1),所以线段AB的中点C的坐标为(2,-1),所以线段AB的中点C对应的复数为2-i,故选D.

2.(2019·宁波高三上期末考试题)设i为虚数单位,给定复数z=,则z的虚部为　　　　,模为　　　　. 

解析:z====-1-i,

故z的虚部为-1,模为.

答案:-1　

3.若复数z满足|z-3i|=5,求|z+2|的最大值和最小值.

解:由复数模的几何意义可知,|z-3i|=5表示以(0,3)为圆心,以5为半径的圆上的点.则|z+2|表示该圆上点到点(-2,0)的距离,由图可知,|z+2|的最大值为5+,最小值为5-.

考点三　复数代数形式的运算

[例3] (1)i是虚数单位,复数等于(　　)

(A)1-i (B)-1+i

(C)+i (D)-+i

(2)若复数z满足(3-4i)z=|4+3i|,则z的虚部为(　　)

(A)-4 (B)- (C)4 (D)

解析:(1)复数===1-i.

故选A.

解析:(2)z==

=

=

=+i,

所以复数z的虚部是,故选D.

(1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算;复数除法运算的关键是分子、分母同乘以分母的共轭复数转化为复数的乘法运算,注意要把i的幂化成最简形式.

(2)将所求复数z分离出来,利用复数运算法则求解.

1.已知z=,其中i是虚数单位,则z+z2+z3+…+z2 017的值为(　C　)

(A)1+i (B)1-i (C)i (D)-i

解析:由于z==i,

所以z+z2+z3+…+z2 017=504(i+i2+i3+i4)+i=i,

故选C.

2.已知复数z1满足(z1-2)(1+i)=1-i(i为虚数单位),复数z2的虚部为2,z1·z2是实数,求z2.

解:由(z1-2)(1+i)=1-i⇒z1=2-i,

设z2=a+2i(a∈R),

则z1·z2=(2-i)(a+2i)=(2a+2)+(4-a)i,

因为z1·z2是实数,所以a=4⇒z2=4+2i.