|学案下载
搜索
    上传资料 赚现金
    2020版新设计一轮复习数学(理)江苏专版讲义:第四章第三节三角函数的图象与性质
    立即下载
    加入资料篮
    2020版新设计一轮复习数学(理)江苏专版讲义:第四章第三节三角函数的图象与性质01
    2020版新设计一轮复习数学(理)江苏专版讲义:第四章第三节三角函数的图象与性质02
    2020版新设计一轮复习数学(理)江苏专版讲义:第四章第三节三角函数的图象与性质03
    还剩11页未读, 继续阅读
    下载需要20学贝 1学贝=0.1元
    使用下载券免费下载
    加入资料篮
    立即下载

    2020版新设计一轮复习数学(理)江苏专版讲义:第四章第三节三角函数的图象与性质

    展开
    第三节三角函数的图象与性质


    1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
    正弦函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象上,五个关键点是:(0,0),,(π,0),,(2π,0).
    余弦函数y=cos x,x∈[0,2π]的图象上,五个关键点是:(0,1),,(π,-1),,(2π,1).
    2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z).
    函数
    y=sin x
    y=cos x
    y=tan x
    图象



    定义域
    R
    R
    x|x∈R,且x

    值域
    [-1,1]
    [-1,1]
    R
    周期性


    π
    奇偶性
    奇函数
    偶函数
    奇函数
    单调性
    为增;
    为减
    [2kπ-π,2kπ]为增;[2kπ,2kπ+π]为减
    为增
    对称中心
    (kπ,0)


    对称轴
    x=kπ+
    x=kπ


    [小题体验]
    1.(2019·徐州调研)函数f(x)=3sin的最小正周期为________.
    答案:4π
    2.函数y=-tan+2的定义域为________________.
    答案:
    3.函数y=sin的图象的对称轴是________.
    解析:y=sin=cos x,根据余弦函数的性质可知,y=sin图象的对称轴是x=kπ,k∈Z.
    答案:x=kπ,k∈Z
    4.(2019·苏州调研)若函数f(x)=sin πx,x∈,则f(x)的值域为________.
    解析:函数f(x)=sin πx,
    ∵x∈,∴πx∈,∴≤sin πx≤1.
    即f(x)的值域为.
    答案:

    1.闭区间上最值或值域问题,首先要在定义域基础上分析单调性,含参数的最值问题,要讨论参数对最值的影响.
    2.要注意求函数y=Asin(ωx+φ)的单调区间时ω的符号,尽量化成ω>0时的情况.
    3.三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结.
    [小题纠偏]
    1.函数y=tan x的值域为________.
    解析:作出正切函数在,内的图象,根据图象可以得到函数的值域为 (-∞,-]∪[1,+∞).
    答案:(-∞,-]∪[1,+∞)
    2.(2019·常州调研)已知函数f(x)=sin,则f(x)的单调递增区间为________________.
    解析:函数f(x)=sin=-sin,
    由2kπ+≤4x-≤2kπ+,k∈Z,
    得+≤x≤+,k∈Z,
    故f(x)的单调递增区间为,k∈Z.
    答案:,k∈Z

     
    [题组练透]
    1.(2019·扬州中学检测)函数y=tan的定义域为________________.
    解析:由2x-≠kπ+,k∈Z,得x≠+,k∈Z,
    故所求定义域为.
    答案:
    2.求函数y=lg(sin 2x)+的定义域.
    解:由得
    所以-3≤x<-或0<x<.
    所以函数y=lg(sin 2x)+的定义域为∪.
    [谨记通法]
    (1)应用正切函数y=tan x的定义域求函数y=Atan(ωx+φ)的定义域,要注意本身的 要求.
    (2)求复杂函数的定义域时转化为求解简单的三角不等式.
     
    [典例引领]
    1.(2019·淮安联考)已知函数f(x)=2cos,x∈,则f(x)的值域是________.
    解析:∵x∈,∴x+∈,
    ∴cos∈,
    ∴2cos∈[-1,2],故f(x)的值域是[-1,2].
    答案:[-1,2]
    2.(2019·徐州调研)当x∈时,函数y=3-sin x-2cos2x的最小值是________,最大值是________.
    解析:由正弦函数的性质知,
    当x∈时,sin x∈.
    ∵y=3-sin x-2cos2x=2sin2x-sin x+1
    =22+,
    ∴当sin x=时,ymin=;当sin x=1或-时,ymax=2.
    答案: 2
    [由题悟法]
    三角函数最值或值域的3种求法
    (1)直接法:直接利用sin x和cos x的值域求解.
    (2)化一法:把所给三角函数化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式,由正弦函数单调性写出函数的值域.
    (3)换元法:把sin x、cos x、sin xcos x或sin x±cos x换成t,转化为二次函数来求.
    [即时应用]
    1.已知函数f(x)=sin,其中x∈,若f(x)的值域是,则实数a的取值范围是________.
    解析:由x∈,知x+∈.
    因为x+∈时,f(x)的值域为,
    所以由函数的图象知≤a+≤,所以≤a≤π.
    答案:
    2.求函数y=cos2x+sin x的最大值与最小值.
    解:令t=sin x,因为|x|≤,所以t∈.
    所以y=-t2+t+1=-2+,
    所以当t=时,ymax=,当t=-时,ymin=.
    所以函数y=cos2x+sin x的最大值为,最小值为.
     

    [锁定考向]
    三角函数的性质主要包括单调性、奇偶性、周期性、对称性,而三角函数的对称性多与奇偶性、周期性结合.
    常见的命题角度有:
    (1)三角函数的周期性;
    (2)三角函数的对称性;
    (3)三角函数的单调性.     
    [题点全练]
    角度一:三角函数的周期性
    1.(2019·南京调研)函数y=tan的最小正周期是________.
    解析:函数y=tan=-tan的最小正周期是=1.
    答案:1
    角度二:三角函数的对称性
    2.若函数f(x)=sin-cos的图象关于原点对称,则角θ=________.
    解析:因为f(x)=2sin,且f(x)的图象关于原点对称,所以f(0)=2sin=0,即sin=0,所以θ-=kπ(k∈Z),即θ=+kπ(k∈Z).又|θ|<,所以θ=.
    答案:
    角度三:三角函数的单调性
    3.已知f(x)=sin,x∈[0,π],则f(x)的单调递增区间为________.
    解析:由-+2kπ≤x+≤+2kπ,k∈Z,
    得-+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z.
    又x∈[0,π],所以f(x)的单调递增区间为.
    答案:
    4.若函数f(x)=sin ωx(ω>0)在区间上单调递增,在区间上单调递减,则ω=________.
    解析:因为f(x)=sin ωx(ω>0)过原点,
    所以当0≤ωx≤,即0≤x≤时,y=sin ωx是增函数;
    当≤ωx≤,即≤x≤时,y=sin ωx是减函数.
    由f(x)=sin ωx(ω>0)在上单调递增,
    在上单调递减知,=,所以ω=.
    答案:
    [通法在握]
    1.函数f(x)=Asin(ωx+φ)的奇偶性、周期性和对称性
    (1)若f(x)=Asin(ωx+φ)为偶函数,则当x=0时,f(x)取得最大或最小值;若f(x)=Asin(ωx+φ)为奇函数,则当x=0时,f(x)=0.
    (2)对于函数y=Asin(ωx+φ),其对称轴一定经过图象的最高点或最低点,对称中心一定是函数的零点,因此在判断直线x=x0或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时,可通过检验f(x0)的值进行判断.
    2.求三角函数单调区间的2种方法
    (1)代换法:就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u(或t),利用基本三角函数的单调性列不等式求解.
    (2)图象法:画出三角函数的正、余弦曲线,结合图象求它的单调区间.
    [演练冲关]
     已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期为π.
    (1)求当f(x)为偶函数时φ的值;
    (2)若f(x)的图象过点,求f(x)的单调递增区间.
    解:因为f(x)的最小正周期为π,则T==π,所以ω=2.
    所以f(x)=sin(2x+φ).
    (1)当f(x)为偶函数时,φ=+kπ,k∈Z,
    所以cos φ=0,因为0<φ<,所以φ=.
    (2)f(x)的图象过点时,sin=,
    即sin=.
    又因为0<φ<,所以<+φ<π.
    所以+φ=,φ=.
    所以f(x)=sin.
    令2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,
    得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.
    所以f(x)的单调递增区间为,k∈Z.

    一抓基础,多练小题做到眼疾手快
    1.(2019·南通调研)已知函数y=cos aπx(a>0)的最小正周期为2,则实数a=________.
    解析:∵函数y=cos aπx(a>0)的最小正周期为=2,∴a=1.
    答案:1
    2.(2018·南京名校联考)函数y=tan x,x∈的值域是________.
    解析:函数y=tan x在区间上单调递增,所以值域是[0,1].
    答案:[0,1]
    3.(2018·南京调研)如图,已知A,B分别是函数f(x)=sin ωx(ω>0)在y轴右侧图象上的第一个最高点和第一个最低点,且∠AOB=,则该函数的最小正周期是________.
    解析:连结AB,设AB与x轴的交点为C,则由∠AOB=,得CO=CA=CB.又OA=CA,所以△AOC是高为的正三角形,从而OC=2,所以该函数的最小正周期是4.
    答案:4


    4.(2018·苏北四市调研)函数y=3sin x+cos x的单调递增区间是________.
    解析:化简可得y=2sin,由2kπ-≤x+≤2kπ+(k∈Z),得-+2kπ≤x≤+2kπ(k∈Z),又x∈,所以函数的单调递增区间是.
    答案:
    5.已知函数f(x)=sin,其中x∈.若f(x)的值域是,则α的取值范围是________.
    解析:若-≤x≤α,则-≤2x+≤2α+.因为当2x+=-或2x+=时,sin=-,所以要使f(x)的值域是,则≤2α+≤,即≤2α≤π,所以≤α≤,即α的取值范围是.
    答案:
    6.下列正确命题的序号为________.
    ①y=tan x为增函数;
    ②y=tan(ωx+φ)(ω>0)的最小正周期为;
    ③在x∈[-π,π]上y=tan x是奇函数;
    ④在上y=tan x的最大值是1,最小值为-1.
    解析:函数y=tan x在定义域内不具有单调性,故①错误;函数y=tan(ωx+φ)(ω>0)的最小正周期为,故②正确;当x=-,时,y=tan x无意义,故③错误;由正切函数的图象可知④正确.
    答案:②④
    二保高考,全练题型做到高考达标
    1.(2018·如东中学检测)函数y=sin2x+sin x-1的值域为________.
    解析:由y=sin2x+sin x-1,令t=sin x,t∈[-1,1],则有y=t2+t-1=2-,画出函数图象如图所示,从图象可以看出,当t=-及t=1时,函数取最值,代入y=t2+t-1,可得y∈.
    答案:
    2.设偶函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,△KLM为等腰直角三角形,∠KML=90°,KL=1,则f=________.
    解析:由题意知,点M到x轴的距离是,根据题意可设f(x)=cos ωx,
    又由题图知·=1,所以ω=π,所以f(x)=cos πx,故f=cos=.
    答案:
    3.函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0)对任意x都有f=f,则f=________.
    解析:因为函数f(x)=2sin(ωx+φ)对任意x都有f=f,所以该函数图象关于直线x=对称,因为在对称轴处对应的函数值为最大值或最小值,故f=±2.
    答案:-2或2
    4.(2018·通州期末)已知f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R上的偶函数,其图象关于M对称,在区间上是单调函数,则φ=________,ω=________.
    解析:由f(x)是R上的偶函数,得φ=+kπ,k∈Z.
    ∵0≤φ≤π,∴φ=.
    ∴f(x)=sin=cos ωx.
    ∵函数f(x)的图象关于M对称,
    ∴ω=+kπ,k∈Z,即ω=+k,k∈Z.
    又f(x)在区间上是单调函数,
    ∴≥,即T≥π,
    ∴0<ω≤2.故ω=2或.
    答案: 2或
    5.(2019·海安模拟)函数f(x)=sin的图象在区间上的对称轴方程为________.
    解析:对于函数f(x)=sin的图象,
    令2x+=kπ+,k∈Z,得x=+,k∈Z,
    令k=0,可得函数f(x)在区间上的对称轴方程为x=.
    答案:x=
    6.(2018·镇江一中测试)已知角φ的终边经过点P(-4,3),函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)图象的相邻两条对称轴之间的距离等于,则f=________.
    解析:由于角φ的终边经过点P(-4,3),所以cos φ=-.再根据函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)图象的相邻两条对称轴之间的距离等于,可得=2×,所以ω=2,所以f(x)=sin(2x+φ),所以f=sin=cos φ=-.
    答案:-
    7.(2019·阜宁中学检测)若直线x=(|k|≤1)与函数y=tan的图象不相交,则k=________.
    解析:直线x=(|k|≤1)与函数y=tan的图象不相交,等价于当x=时,函数y=tan无意义,即2×+=+mπ,m∈Z,∴k=m+,m∈Z.
    当m=0时,k=,满足条件.
    当m=-1时,k=-,满足条件.
    当m=1时,k=,不满足条件.
    故满足条件的k=或-.
    答案:或-
    8.(2019·常州调研)如图,在平面直角坐标系xOy中,函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的图象与x轴的交点A,B,C满足OA+OC=2OB,则φ=________.
    解析:设函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的图象与x轴的交点坐标分别为A(x1,0),B(x3,0),C(x2,0),

    ①-②得-x3=3x1,
    将x3=-3x1代入②,得x2=5x1,
    所以T=x2-x3=8x1,所以ω==,
    故f(x)=sin.
    由图象可知f(x1)=0,所以sin=0,
    令+φ=kπ,k∈Z,
    得φ=kπ-,k∈Z.
    又0<φ<π,所以φ=.
    答案:
    9.(2019·宿迁中学调研)已知函数f(x)=sin 3x+cos 3x,x∈R.
    (1)求函数f(x)的单调递增区间;
    (2)求函数f(x)在区间上的最值,并求出取得最值时x的值.
    解:(1)f(x)=sin 3x+cos 3x
    =2
    =2sin.
    由2kπ-≤3x+≤2kπ+(k∈Z),
    得-≤x≤+(k∈Z),
    故函数f(x)的单调递增区间为
    (k∈Z).
    (2)∵x∈,∴3x+∈.
    当3x+=-或,即x=-或时,f(x)min=-;
    当3x+=,即x=时,f(x)max=2.
    10.(2018·清江中学测试)已知a>0,函数f(x)=-2asin+2a+b,当x∈时,-5≤f(x)≤1.
    (1)求常数a,b的值;
    (2)设g(x)=f且lg g(x)>0,求g(x)的单调区间.
    解:(1)因为x∈,所以2x+∈.
    所以sin∈,
    又因为a>0,所以-2asin∈[-2a,a],
    所以f(x)∈[b,3a+b].
    又因为-5≤f(x)≤1,所以b=-5,3a+b=1,
    因此a=2,b=-5.
    (2)由(1)知a=2,b=-5,所以f(x)=-4sin-1,
    g(x)=f=-4sin-1=4sin-1,
    又由lg g(x)>0,得g(x)>1,
    所以4sin-1>1,所以sin>,
    所以2kπ+<2x+<2kπ+,k∈Z.
    当2kπ+<2x+≤2kπ+,k∈Z,即kπ<x≤kπ+,k∈Z时,g(x)单调递增,
    所以g(x)的单调递增区间为,k∈Z.
    当2kπ+≤2x+<2kπ+,k∈Z,即kπ+≤x<kπ+,k∈Z时,g(x)单调递减.
    所以g(x)的单调递减区间为,k∈Z.
    综上,g(x)的单调递增区间为,k∈Z;单调递减区间为,k∈Z.
    三上台阶,自主选做志在冲刺名校
    1.函数y=tan(sin x)的值域为________.
    解析:因为-1≤sin x≤1,所以sin x∈.又因为y=tan x在上单调递增,所以tan(-1)≤y≤tan 1,故函数的值域是[-tan 1,tan 1].
    答案:[-tan 1,tan 1]
    2.(2018·扬州期末)已知函数f(x)=sin(0≤x<π),且f(α)=f(β)=(α≠β),则α+β=________.
    解析:因为0≤x<π,所以2x+∈,所以由f(x)=得2x+=或,解得x=或,由于f(α)=f(β)=(α≠β),所以α+β=+=.
    答案:
    3.(2019·扬州调研)已知函数f(x)=1+cos 2x-2sin2.
    (1)求f(x)的最小正周期和单调递减区间;
    (2)若方程f(x)-m=0在区间上有两个不同的实数解,求实数m的取值范围.
    解:(1)∵f(x)=1+cos 2x-2sin2
    =cos 2x+cos=cos 2x+sin 2x
    =2sin,
    ∴T==π.
    由+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,
    得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.
    ∴f(x)的单调递减区间为(k∈Z).
    (2)由题意知,函数y=f(x)在区间上的图象与直线y=m有两个不同的交点.
    由(1)知,函数f(x)在上单调递减,在上单调递增,
    ∴f(x)min=f=-2,
    又f=1,f(π)=,
    ∴当-2<m≤1时,函数y=f(x)在区间上的图象与直线y=m有两个不同的交点,
    即方程f(x)-m=0在区间上有两个不同的实数解.
    ∴实数m的取值范围为(-2,1].


    免费资料下载额度不足,请先充值

    每充值一元即可获得5份免费资料下载额度

    今日免费资料下载份数已用完,请明天再来。

    充值学贝或者加入云校通,全网资料任意下。

    提示

    您所在的“深圳市第一中学”云校通为试用账号,试用账号每位老师每日最多可下载 10 份资料 (今日还可下载 0 份),请取消部分资料后重试或选择从个人账户扣费下载。

    您所在的“深深圳市第一中学”云校通为试用账号,试用账号每位老师每日最多可下载10份资料,您的当日额度已用完,请明天再来,或选择从个人账户扣费下载。

    您所在的“深圳市第一中学”云校通余额已不足,请提醒校管理员续费或选择从个人账户扣费下载。

    重新选择
    明天再来
    个人账户下载
    下载确认
    您当前为教习网VIP用户,下载已享8.5折优惠
    您当前为云校通用户,下载免费
    下载需要:
    本次下载:免费
    账户余额:0 学贝
    首次下载后60天内可免费重复下载
    立即下载
    即将下载:资料
    资料售价:学贝 账户剩余:学贝
    选择教习网的4大理由
    • 更专业
      地区版本全覆盖, 同步最新教材, 公开课⾸选;1200+名校合作, 5600+⼀线名师供稿
    • 更丰富
      涵盖课件/教案/试卷/素材等各种教学资源;900万+优选资源 ⽇更新5000+
    • 更便捷
      课件/教案/试卷配套, 打包下载;手机/电脑随时随地浏览;⽆⽔印, 下载即可⽤
    • 真低价
      超⾼性价⽐, 让优质资源普惠更多师⽣
    VIP权益介绍
    • 充值学贝下载 本单免费 90%的用户选择
    • 扫码直接下载
    元开通VIP,立享充值加送10%学贝及全站85折下载
    您当前为VIP用户,已享全站下载85折优惠,充值学贝可获10%赠送
      充值到账1学贝=0.1元
      0学贝
      本次充值学贝
      0学贝
      VIP充值赠送
      0学贝
      下载消耗
      0学贝
      资料原价
      100学贝
      VIP下载优惠
      0学贝
      0学贝
      下载后剩余学贝永久有效
      0学贝
      • 微信
      • 支付宝
      支付:¥
      元开通VIP,立享充值加送10%学贝及全站85折下载
      您当前为VIP用户,已享全站下载85折优惠,充值学贝可获10%赠送
      扫码支付0直接下载
      • 微信
      • 支付宝
      微信扫码支付
      充值学贝下载,立省60% 充值学贝下载,本次下载免费
        下载成功

        Ctrl + Shift + J 查看文件保存位置

        若下载不成功,可重新下载,或查看 资料下载帮助

        本资源来自成套资源

        更多精品资料

        正在打包资料,请稍候…

        预计需要约10秒钟,请勿关闭页面

        服务器繁忙,打包失败

        请联系右侧的在线客服解决

        单次下载文件已超2GB,请分批下载

        请单份下载或分批下载

        支付后60天内可免费重复下载

        我知道了
        正在提交订单

        欢迎来到教习网

        • 900万优选资源,让备课更轻松
        • 600万优选试题,支持自由组卷
        • 高质量可编辑,日均更新2000+
        • 百万教师选择,专业更值得信赖
        微信扫码注册
        qrcode
        二维码已过期
        刷新

        微信扫码,快速注册

        还可免费领教师专享福利「樊登读书VIP」

        手机号注册
        手机号码

        手机号格式错误

        手机验证码 获取验证码

        手机验证码已经成功发送,5分钟内有效

        设置密码

        6-20个字符,数字、字母或符号

        注册即视为同意教习网「注册协议」「隐私条款」
        QQ注册
        手机号注册
        微信注册

        注册成功

        下载确认

        下载需要:0 张下载券

        账户可用:0 张下载券

        立即下载
        账户可用下载券不足,请取消部分资料或者使用学贝继续下载 学贝支付

        如何免费获得下载券?

        加入教习网教师福利群,群内会不定期免费赠送下载券及各种教学资源, 立即入群

        返回
        顶部
        Baidu
        map