2021版高考数学导与练一轮复习（浙江版）知识梳理：第六章第五节　函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质(二)

第五节　函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质(二)

函数y=Asin(ωx+)(A>0,ω>0)的性质

1.奇偶性:=kπ(k∈Z)时,函数y=Asin(ωx+)为奇函数; =kπ+ (k∈Z)时,函数y=Asin(ωx+)为偶函数.

2.周期性:y=Asin(ωx+)存在周期性,其最小正周期为T=.

3.单调性:根据y=sin t和t=ωx+的单调性来研究,由-+2kπ≤ωx+≤+2kπ,k∈Z得单调递增区间;由+2kπ≤ωx+≤+2kπ,k∈Z得单调递减区间.

4.对称性:利用y=sin x图象的对称中心为(kπ,0)(k∈Z)求解,令ωx+=kπ(k∈Z),求得x.

利用y=sin x图象的对称轴为x=kπ+(k∈Z)求解,令ωx+=kπ+ (k∈Z)得其对称轴.

1.性质理解

(1)奇偶性:对函数y=Acos(ωx+),当=kπ(k∈Z)时,函数为偶函数;当=kπ+(k∈Z)时,函数为奇函数.

(2)单调性:对于函数y=Asin(ωx+),当A<0或ω<0时,欲求函数的增区间,需将ωx+代入函数y=sin x的减区间,因为函数y=Asin(ωx+),y=Acos(ωx+),y=Atan(ωx+)的单调性的实质是复合函数的单调性.

2.与奇偶性、对称性相关的结论

(1)若f(x)=Asin(ωx+)为偶函数,则当x=0时,f(x)取得最大或最小值;若f(x)=Asin(ωx+)为奇函数,则当x=0时,f(x)=0.

(2)对于函数y=Asin(ωx+),其对称轴一定经过图象的最高点或最低点,对称中心的横坐标一定是函数的零点,因此在判断直线x=x0或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时,可通过检验f(x0)的值进行判断.

(3)三角函数的对称性、奇偶性与周期性一般可以“知二求一”,具体规律结合其图象可以直观的理解,而且注意这些性质的迁移应用.

1.将函数y=2sin(2x+)的图象向右平移个周期后,所得图象对应的函数解析式为(　D　)

(A)y=2sin(2x+)

(B)y=2sin(2x+)

(C)y=2sin(2x-)

(D)y=2sin(2x-)

解析:函数y=2sin(2x+)的周期为π,将函数y=2sin(2x+)的图象向右平移个周期即个单位长度,所得图象对应的函数解析式为y=2sin[2(x-)+]=2sin(2x-),故选D.

2.已知函数f(x)=Acos(ωx+)(A>0,ω>0,∈R),则“f(x)是奇函数”是“=”的(　B　)

(A)充分不必要条件 

(B)必要不充分条件

(C)充分必要条件 

(D)既不充分也不必要条件

解析:若f(x)是奇函数,则f(0)=0,

所以cos =0,

所以=+kπ(k∈Z);

若=,则f(x)=Acos(ωx+)=-Asin ωx,

f(x)是奇函数.

所以f(x)是奇函数是=的必要不充分条件.故选B.

3.设ω>0,函数y=sin(ωx+)+2的图象向右平移个单位后与原图象重合,则ω的最小值是(　C　)

(A) (B) (C) (D)3

解析:由题意得·k= (k∈N*),

所以ω=k(k∈N*),所以ωmin=.

4.函数y=-|sin(x+)|的单调递减区间是　　　　. 

解析:作出函数y=-|sin(x+)|的简图(如图),

由图象得函数的单调递减区间为[kπ-,kπ+](k∈Z).

答案:[kπ-,kπ+](k∈Z)

5.已知函数f(x)=sin(ωx+)(ω>0,||<)的部分图象如图所示,则y=f(x+)取得最小值时x的取值集合为　　　　　　　　　. 

解析:根据所给图象,周期T=4×(-)=π,

故π=,所以ω=2,

因此f(x)=sin(2x+).

图象经过点(,0),

代入得2×+=π+2kπ(k∈Z),

再由||<,得=-,

所以f(x)=sin(2x-),

所以f(x+)=sin(2x+),

当2x+=-+2kπ(k∈Z),

即x=-+kπ(k∈Z)时,y=f(x+)取得最小值.

答案:{x|x=kπ-,k∈Z}

考点一　函数y=Asin(ωx+)的奇偶性、周期性与对称性

[例1] 已知函数f(x)=Asin(ωx+)+1(ω>0,A>0,0<<)的周期为π,f()=+1,且f(x)的最大值为3,则函数f(x)的对称中心为　　　　　　,对称轴方程为　　　　　　　　. 

解析:因为T=π,所以ω=2,

因为最大值为3,所以A=2.

所以f(x)=2sin(2x+)+1,

因为f()=+1,

所以2sin(+)+1=+1,

所以cos =.

因为0<<,所以=.

所以f(x)=2sin(2x+)+1.

令2x+=kπ,k∈Z,

得x=-(k∈Z),

所以对称中心为(-,1)(k∈Z).

由2x+=kπ+,k∈Z,

得x=+(k∈Z),

所以对称轴方程为x=+(k∈Z).

答案:(-,1)(k∈Z)　x=+(k∈Z)

(1)求三角函数周期的方法

①利用周期函数的定义;

②利用公式:y=Asin(ωx+)和y=Acos(ωx+)的最小正周期为,y=tan(ωx+)的最小正周期为;

③利用图象:对含绝对值的三角函数的周期问题,通常要画出图象,结合图象进行判断.

(2)三角函数的对称性、奇偶性

①正弦、余弦函数的图象既是中心对称图形,又是轴对称图形,正切函数图象只是中心对称图形,应熟记它们的对称轴和对称中心;

②若f(x)=Asin(ωx+)为偶函数,则=+kπ(k∈Z);若f(x)=Asin(ωx+)为奇函数,则=kπ(k∈Z);

③若求f(x)=Asin(ωx+)的对称轴,只需令ωx+=+kπ(k∈Z),求x即可;

若求f(x)=Asin(ωx+)的对称中心的横坐标,只需令ωx+=kπ(k∈Z),求x即可.

1.(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=2cos2x-sin2x+2,则(　B　)

(A)f(x)的最小正周期为π,最大值为3

(B)f(x)的最小正周期为π,最大值为4

(C)f(x)的最小正周期为2π,最大值为3

(D)f(x)的最小正周期为2π,最大值为4

解析:因为f(x)=2cos2x-sin2x+2=1+cos 2x-+2=cos 2x+,所以f(x)的最小正周期为π,最大值为4.故选B.

2.(2019·湖州高三检测)已知函数f(x)=Asin(ωx+)+B(A>0,ω>0,||<)的部分图象如图所示,将函数f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后,得到函数g(x)的图象关于点(,)对称,则m的值可能为(　D　)

(A) (B)

(C) (D)

解析:依题意得

解得

==-=,

故ω=2,则f(x)=sin(2x+)+.

又f()=sin(+)+=,

故+=+2kπ(k∈Z),

即=+2kπ(k∈Z).

因为||<,故=,

所以f(x)=sin(2x+)+.

将函数f(x)的图象向左平移m个单位长度后得到g(x)=sin(2x++2m)+的图象,

又函数g(x)的图象关于点(,)对称,

即h(x)=sin(2x++2m)的图象关于点(,0)对称,

故sin(++2m)=0,

即+2m=kπ(k∈Z),

故m=-(k∈Z).

令k=2,则m=.故选D.

考点二　函数y=Asin(ωx+)的单调性

[例2] 已知函数f(x)=-2sin(2x+)(||<π),若(,)是f(x)的一个单调递增区间,则的取值范围为(　　)

(A)[-,-]      (B)[,]

(C)[,]      (D)(-π,]∪[,π)

解析:令2kπ+≤2x+≤2kπ+,k∈Z,

所以kπ+-≤x≤kπ+-,k∈Z,

又因为(,)是f(x)的一个单调递增区间,||<π,

所以≤kπ+-,k∈Z,解得≤,

同理由≥kπ+-,k∈Z,可得≥,

所以≤≤.故选C.

(1)已知三角函数解析式求单调区间:①求函数的单调区间应遵循简单化原则,将解析式先化简,并注意复合函数单调性规律“同增异减”;②求形如y=Asin(ωx+)或y=Acos(ωx+)(其中,ω>0)的单调区间时,要视“ωx+”为一个整体,通过解不等式求解.但如果ω<0,那么一定先借助诱导公式将ω化为正数,防止把单调性弄错.

(2)已知三角函数的单调区间求参数,先求出函数的单调区间,然后利用集合间的关系求解.

已知ω>0,函数f(x)=sin(ωx+)在(,π)上单调递减,则ω的取值范围是　　　　. 

解析:令+2kπ≤ωx+≤+2kπ,k∈Z,

即+≤x≤+,k∈Z,

则得+4k≤ω≤+2k,k∈Z,

因为k>0时上式无解,所以k≤0,

又因为ω>0,所以k=0,

所以≤ω≤.

答案:[,]

考点三　由函数y=Asin(ωx+)的性质求解析式

[例3] 已知函数f(x)=(a+2cos2x)cos(2x+θ)为奇函数,且f()=0,其中a∈R,θ∈(0,π).

(1)求a,θ的值;

(2)若f()=-,α∈(,π),求sin(α+)的值.

解:(1)因为f(x)=(a+2cos2x)cos(2x+θ)是奇函数,

而y1=a+2cos2x为偶函数,

所以y2=cos(2x+θ)为奇函数,

又θ∈(0,π),

得θ=,

所以f(x)=-sin 2x·(a+2cos2x),

由f()=0得-(a+1)=0,

解得a=-1.

解:(2)由(1)得f(x)=-sin 4x,

因为f()=-sin α=-,

即sin α=,

又α∈(,π),从而cos α=-,

所以sin(α+)=sin αcos +cos αsin =.

   依据三角函数性质求y=Asin(ωx+)+B,一是用性质求参数,二是以点的代入求参数,求解过程中注意参数的范围限制.

已知函数f(x)=sin(ωx+)(ω>0,-≤≤)的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为2,且过点(2,- ),求函数f(x)的解

析式.

解:据已知两个相邻的最高点和最低点的距离为2,

可得=2,解得T=4,

故ω==,即f(x)=sin(+).

又函数图象过点(2,-),

故f(2)=sin(×2+)=-sin =-,

即sin =.

又-≤≤,解得=,故f(x)=sin(+).

考点四　易错辨析

[例4] 设函数f(x)=sin(-)-2cos2+1.

(1)求f(x)的最小正周期;

(2)若函数y=g(x)与y=f(x)的图象关于直线x=1对称,求当x∈[0,]时y=g(x)的最大值.

解:(1)f(x)=sin xcos -cos xsin -cos x

=sin x-cos x

=sin(x-).

故f(x)的最小正周期为T==8.

解:(2)法一　在y=g(x)的图象上任取一点(x,g(x)),它关于直线x=1的对称点为(2-x,g(x)).

由题设条件,知点(2-x,g(x))在y=f(x)的图象上,从而

g(x)=f(2-x)=sin[(2-x)-]

=sin[-x-]

=cos(x+).

当0≤x≤时,≤x+≤,

因此y=g(x)在区间[0,]上的最大值为cos =.

法二　因为区间[0,]关于x=1的对称区间为[,2],且y=g(x)与y=f(x)的图象关于x=1对称,故y=g(x)在[0,]上的最大值就是y=f(x)在[,2]上的最大值,

由(1)知f(x)=sin(x-),

当≤x≤2时,-≤x-≤,

因此y=g(x)在[0,]上的最大值为sin =.

易错分析  解答该类问题的易错点

(1)对三角公式不熟导致三角恒等变换错误.

(2)不能正确将x的范围转化为ωx+的范围致误.

已知函数f(x)=4tan xsin(-x)cos(x-)-.

(1)求f(x)的定义域与最小正周期;

(2)讨论f(x)在区间[-,]上的单调性.

解:(1)f(x)的定义域为(x|x≠+kπ,k∈Z).

f(x)=4tan xcos xcos(x-)-

=4sin xcos(x-)-

=4sin x(cos x+sin x) -

=2sin xcos x+2sin2x-

=sin 2x+(1-cos 2x)-

=sin 2x-cos 2x

=2sin(2x-).

所以f(x)的最小正周期为T==π.

解:(2)令z=2x-,函数y=2sin z的单调递增区间是[-+2kπ,+2kπ],k∈Z,

由-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,

得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.

设A=[-,],

B={x|-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z},

易知A∩B=[-,].

所以当x∈[-,]时,f(x)在区间[-,]上单调递增,在区间[-,-]上单调递减.

三角函数图象与性质的综合问题

[例题] 设f(x)=2sin(π-x)sin x-(sin x-cos x)2.

(1)求f(x)的单调递增区间;

(2)把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把得到的图象向左平移个单位,得到函数y=g(x)的图象,求g()的值.

解:(1)f(x)=2sin(π-x)sin x-(sin x-cos x)2

=2sin2x-(1-2sin xcos x)

=(1-cos 2x)+sin 2x-1

=sin 2x-cos 2x+-1

=2sin(2x-)+-1.

由2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),

得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),

所以f(x)的单调递增区间是[kπ-,kπ+](k∈Z)

(或(kπ-,kπ+)(k∈Z)).

解:(2)由(1)知f(x)=2sin(2x-)+-1,

把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=2sin(x-)+-1的图象,

再把得到的图象向左平移个单位,

得到y=2sin x+-1的图象,

即g(x)=2sin x+-1,

所以g()=2sin +-1=.

规范要求:(1)三角变换与性质问题的解决依据一般是针对y=Asin(ωx+)+b的形式,所以化简整理是关键的一步.

(2)函数化为asin ωx+bcos ωx是求函数解析式的难点,可借助诱导公式辅助分析确定.

(3)求三角函数y=Asin(ωx+)+b的性质一般利用y=sin x 的性质解决,此时应用复合函数的单调性方法处理.

温馨提示:解决三角函数图象与性质的综合问题的一般步骤

第一步:将f(x)化为asin x+bcos x的形式,构造f(x)=sin(x+)(其中为辅助角).

第二步:利用f(x)=sin(x+)研究三角函数的性质.

第三步:反思回顾,查看关键点、易错点和答题规范.

[规范训练1] 已知点(,0)是函数f(x)=(asin x+cos x)cos x-图象的一个对称中心.

(1)求实数a的值;

(2)求f(x)在闭区间[-,]上的最大值和最小值及取到最值时对应的x值.

解:(1)由题意得f(x)=(asin x+cos x)cos x-=sin 2x+cos 2x.

因为f(x)的图象关于点(,0)中心对称,

所以f()=sin +cos =0,解得a=.

解:(2)由(1)得f(x)=sin 2x+cos 2x=sin(2x+),

设t=2x+,x∈[-,],

则t∈[-,],

所以f(x)min=-,此时x=-.

f(x)max=1,此时x=.

[规范训练2] 设函数f(x)=sin(ωx-)+sin(ωx-),其中0<ω<3.已知f()=0.

(1)求ω;

(2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)在[-,]上的最小值.

解:(1)因为f(x)=sin(ωx-)+sin(ωx-),

所以f(x)=sin ωx-cos ωx-cos ωx

=sin ωx-cos ωx=(sin ωx-cos ωx)

=sin(ωx-).

由题设知f()=0,

所以-=kπ,k∈Z,

故ω=6k+2,k∈Z.

又0<ω<3,所以ω=2.

解:(2)由(1)得f(x)=sin(2x-),

所以g(x)=sin(x+-)=sin(x-).

因为x∈[-,],

所以x-∈[-,],

当x-=-,

即x=-时,g(x)取得最小值-.

类型一　函数y=Asin(ωx+)的奇偶性、周期性与对称性

1.已知曲线f(x)=sin 2x+cos 2x关于点(x0,0)成中心对称,若x0∈[0,],则x0等于(　C　)

(A) (B) (C) (D)

解析:由题意可知f(x)=2sin(2x+),

其对称中心为(x0,0),

故2x0+=kπ(k∈Z),

所以x0=-+(k∈Z),

又x0∈[0,],

所以k=1,x0=,故选C.

2.(2018·全国Ⅲ卷)函数f(x)=的最小正周期为(　C　)

(A) (B) (C)π (D)2π

解析:由已知得f(x)= ===sin x·cos x=sin 2x,所以f(x)的最小正周期为T==π.故选C.

3.已知函数f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0),x∈R.在曲线 y=f(x)与直线y=1的交点中,若相邻交点距离的最小值为,则f(x)的最小正周期为　　　　. 

解析:f(x)=sin ωx+cos ωx=2sin(ωx+)(ω>0).

由2sin(ωx+)=1,得sin(ωx+)=,

所以ωx+=2kπ+或ωx+=2kπ+(k∈Z).

令k=0,得ωx1+=,ωx2+=,

所以x1=0,x2=.

由|x1-x2|=,得=,

所以ω=2.

故f(x)的最小正周期T==π.

答案:π

类型二　函数y=Asin(ωx+)的单调性

4.(2018·天津卷)将函数y=sin(2x+)的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数(　A　)

(A)在区间[,]上单调递增

(B)在区间[,π]上单调递减

(C)在区间[,]上单调递增

(D)在区间[,2π]上单调递减

解析:函数y=sin(2x+)的图象向右平移个单位长度后的图象对应的函数解析式为y=sin[2(x-)+]=sin 2x,则函数y=sin 2x的一个单调增区间为[,],一个单调减区间为[,].由此可判断选项A正确.故选A.

5.函数y=sin(ωx+)(ω>0且||<)在区间[,]上单调递减,且函数值从1减小到-1,那么此函数图象与y轴交点的纵坐标为(　A　)

(A) (B) (C) (D)

解析:函数y=sin(ωx+)的最大值为1,最小值为-1,

由该函数在区间[,]上单调递减,且函数值从1减小到-1,可知-==,T=π,ω=2,

则y=sin(2x+).

又由函数y=sin(ωx+)的图象过点(,1),

代入可得=(||<),

因此函数解析式为y=sin(2x+),

令x=0,可得y=.故选A.

类型三　由函数性质求y=Asin(ωx+)的解析式

6.函数f(x)=2sin(ωx+)(ω>0,0<<)的部分图象如图所示,已知图象经过点A(0,1),B(,-1),则 f(x)=　　　　. 

解析:由已知得=,所以T=,

又T=,所以ω=3.

因为f(0)=1,所以sin =,

又因为0<<,所以=,

所以f(x)=2sin(3x+)(经检验满足题意).

答案:2sin(3x+)

7.若向量m=(sin ωx,0),n=(cos ωx,-sin ωx)(ω>0),在函数f(x)=m·(m+n)+t的图象中,对称中心到对称轴的最小距离为,且当x∈[0,]时,f(x)的最大值为1.

(1)求函数f(x)的解析式;

(2)求函数f(x)的单调递增区间.

解:(1)由题意得f(x)=m·(m+n)+t

=m2+m·n+t

=3sin2ωx+sin ωx·cos ωx+t

=-cos 2ωx+sin 2ωx+t

=sin(2ωx-)++t.

因为对称中心到对称轴的最小距离为,

所以f(x)的最小正周期为T=π,

所以=π,所以ω=1,

所以f(x)=sin(2x-)++t.

当x∈[0,]时,2x-∈[-,],

所以2x-=,即x=时,f(x)取得最大值3+t.

因为f(x)max=1,所以3+t=1,

所以t=-2,

所以f(x)=sin(2x-)-.

解:(2)令2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,

得kπ-≤x≤kπ+π,k∈Z,

所以函数f(x)的单调递增区间为[kπ-,kπ+π](k∈Z).