2021版高考数学导与练一轮复习（浙江版）知识梳理：第一章第二节　命题及其关系、充分条件与必要条件

第二节　命题及其关系、充分条件与必要条件

一、命题

1.命题

用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫做真命题,判断为假的语句叫做假命题.

2.四种命题及其关系

(1)四种命题间的逆否关系

(2)四种命题的真假关系

①两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;

②两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性没有确定的关系.

1.概念理解

(1)判断一个语句是否为命题,首先确定是否为陈述句,否则一定不是命题.

(2)改写命题为“若p则q”形式时,应使p,q构成完整的叙述部分,同时注意大前提的存在.

(3)四种命题之间的关系具有相对性,一旦一个命题定为原命题,也就相应的有了它的“逆命题、否命题、逆否命题”.

2.与“四种命题”相关联的结论

(1)若一个命题有大前提,其他三种命题需保留大前提;

(2)一个命题的否命题与命题的否定不是同一个命题:前者既否定条件,又否定结论,后者只否定命题的结论;

(3)常见词语的否定形式有:

3.与命题真假相关联的结论

(1)给出一个命题,要判定它是真命题,需经过严格的推理证明或转化为等价命题后再判定,而要说明它是假命题,只需举一反例即可;

(2)命题与命题的否定真假相反;

(3)互为逆否关系的命题真假相同,所以四种命题的真假个数一定为偶数.

二、充要条件

1.相关概念

2.集合与充要条件

1.概念理解

(1)要弄清先后顺序:“A是B的充分不必要条件”是指A能推出B,且B不能推出A;而“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A,且A不能推出B.

(2)要善于举出反例:如果从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行,那么可以尝试通过举出恰当的反例来说明.

2.与充要条件的判定相关的结论

判断充分必要条件的常用方法

(1)定义法.

(2)集合法.

(3)等价转化法:利用p⇒q与﹁q⇒﹁p,q⇒p与﹁p⇒﹁q,p⇔q与﹁q⇔﹁p的等价关系.对于条件或结论是否定式的命题,一般运用等价转化法.

1.下列命题中为真命题的是(　A　)

(A)命题“若x>y,则x>|y|”的逆命题

(B)命题“若x>1,则x2>1”的否命题

(C)命题“若x=1,则x2+x-2=0”的否命题

(D)命题“若x2>0,则x>1”的逆否命题

解析:对于A,其逆命题:若x>|y|,则x>y,是真命题,这是因为x>|y|=必有x>y;对于B,其否命题:若x≤1,则x2≤1,是假命题,如x=-5,x2=25>1;对于C,其否命题:若x≠1,则x2+x-2≠0,因为x=-2时,x2+x-2=0,所以是假命题;对于D,若x2>0,则x>0或x<0,不一定有x>1,因此原命题的逆否命题是假命题.故选A.

2.(2019·金华十校高考模拟)已知a,b∈R,下列四个条件中,使a>b成立的充分不必要条件是(　B　)

(A)a>b-1 (B)a>b+1

(C)|a|>|b| (D)2a>2b

解析:a>b+1⇒a>b,反之a>b不能推出a>b+1,故a>b+1是a>b的充分不必要条件. 故选B.

3.(2019·北京卷)设函数f(x)=cos x+bsin x(b为常数),则“b=0”是“f(x)为偶函数”的(　C　)

(A)充分而不必要条件

(B)必要而不充分条件

(C)充分必要条件

(D)既不充分也不必要条件

解析:因为f(x)=cos x+bsin x为偶函数,

所以对任意的x∈R都有f(-x)=f(x),

即cos(-x)+bsin(-x)=cos x+bsin x,

所以2bsin x=0.

由x的任意性,得b=0.

故f(x)为偶函数⇒b=0.必要性成立.

反过来,若b=0,则f(x)=cos x是偶函数.充分性成立.

所以“b=0”是“f(x)为偶函数”的充分必要条件.

故选C.

4.若“m≤a”是“方程x2+x+m=0有实数根”的必要不充分条件,则实数a的取值范围是　　　　. 

解析:因为一元二次方程x2+x+m=0有实数根的充要条件是Δ=1-4m≥0,即m≤,而“m≤a”是“方程x2+x+m=0有实数根”的必要不充分条件,所以a>.

答案:(,+∞)

考点一　四种命题及其真假判断

[例1] (1)原命题为“若<an,n∈N+,则{an}为递减数列”,关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性依次如下,正确的是(　　)

(A)真、真、真  (B)假、假、真

(C)真、真、假 (D)假、假、假

(2)以下说法正确的有　　　　(填写所有正确命题的序号). 

①“若log2a>0,则函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内是减函数”是真命题;

②命题“若a=0,则ab=0”的否命题是“若a≠0,则ab≠0”;

③命题“若x,y都是偶数,则x+y也是偶数”的逆命题为真命题;

④“若一个数是负数,则它的平方是正数”的否命题为真命题.

解析:(1)原命题即“若an+1<an,n∈N+ ,则{an} 为递减数列”为真命题,则其逆否命题为真,逆命题是“若{an}为递减数列,n∈N+ ,则an+1<an”为真命题,所以它的否命题也为真命题. 故选A.

(2)对于①,若log2a>0=log21,则a>1,所以函数f(x)=logax在其定义域内是增函数,故①不正确;对于②,依据一个命题的否命题的定义可知该说法正确;对于③,原命题的逆命题是“若x+y是偶数,则x,y都是偶数”,是假命题,如1+3=4是偶数,但3和1均为奇数,故③不正确;对于④,否命题为“若一个数不是负数,则它的平方不是正数”,是假命题.

答案:(1)A　(2)②

(1)在判定四个命题之间的关系时,首先要分清命题的“大前提、条件、结论”,再进行比较.

(2)判断一个命题为真命题,要给出推理证明;判断一个命题为假命题,只需举出反例.

(3)根据“互为逆否关系的命题同真同假”这一性质,当一个命题的真假不易判定时,可转化为判断其等价命题的真假.

考点二　充分必要条件的判断

[例2] 如果x,y∈R,那么“x≠y”是“cos x≠cos y”的(　　)

(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件

(C)充要条件 (D)既不充分又不必要条件

解析:设p:x≠y,q:cos x≠cos y,

所以﹁p:x=y,﹁q:cos x=cos y,

显然﹁q是﹁p的必要不充分条件,

所以p是q的必要不充分条件,故选B.

(1)在求解这类问题时应注意以下三点:一要分清条件与结论分别是什么;二要从充分性、必要性两个方面进行判断;三直接判断比较困难时,可举出反例说明.

(2)等价转化法:当命题的条件与结论带有否定性词语时,常转化为其逆否命题来判断真假.

(2019·浙江卷)若a>0,b>0,则“a+b≤4”是“ab≤4”的(　A　)

(A)充分不必要条件

(B)必要不充分条件

(C)充分必要条件

(D)既不充分也不必要条件

解析:因为a>0,b>0,若a+b≤4,

所以2≤a+b≤4.

所以ab≤4,此时充分性成立.

当a>0,b>0,ab≤4时,

令a=4,b=1,

则a+b=5>4,

这与a+b≤4矛盾,因此必要性不成立.

综上所述,当a>0,b>0时,“a+b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件.

故选A.

考点三　充分条件、必要条件的探求与应用

[例3] (1)(2018·台州中学模拟)设a,b∈R,则使a>b成立的一个充分不必要条件是(　　)

(A)a3>b3 (B)<

(C)a2>b2 (D)a>b+|b|

(2)已知命题p:x2+2x-3>0,命题q:>0,且﹁q的一个必要不充分条件是﹁p,则a的取值范围是(　　)

(A)[-3,0] (B)(-∞,-3]∪[0,+∞)

(C)(-3,0) (D)(-∞,-3)∪(0,+∞)

解析:(1)选项A是充要条件,在选项B和C中,当a取负数,b取正数时,显然不能推出a>b,选项D,由|b|≥0,b+|b|≥b,又因为a>b+|b|,所以a>b成立,由a>b不能得到a>b+|b|.故选D.

(2)x2+2x-3>0的解集为x>1或x<-3,

故﹁p:-3≤x≤1;

>0的解集为x>a+1或x<a,

故﹁q:a≤x≤a+1;

﹁q的一个必要不充分条件是﹁p,

所以[a,a+1][-3,1],

故且等号不能同时取到,

解得a∈[-3,0],故选A.

解决由充分必要条件求参数范围问题时,一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的包含关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解,要注意区间端点值的检验.

直线x-y+m=0与圆x2+y2-2x-1=0有两个不同交点的一个充分不必要条件是(　C　)

(A)-3<m<1 (B)-4<m<2

(C)0<m<1 (D)m<1

解析:若直线x-y+m=0与圆x2+y2-2x-1=0有两个不同交点,则<,即|m+1|<2,

解得-3<m<1,这是直线x-y+m=0与圆x2+y2-2x-1=0有两个不同交点的充要条件,

因此直线x-y+m=0与圆x2+y2-2x-1=0有两个不同交点的一个充分不必要条件可以是0<m<1,

故选C.

考点四　易错辨析

[例4] 条件p:-2<x<4,条件q:(x+2)(x+a)<0;若q是p的充分条件,则a的取值范围是　　　　. 

解析:设集合A={x|-2<x<4},B={x|(x+2)(x+a)<0},

因为q是p的充分条件,

所以B⊆A.

①当a=2时,B={x|(x+2)2<0}=,显然B⊆A.

②当a≠2时,因为B⊆A,

所以B={x|-2<x<-a},

所以得即-4≤a<2.

综上可知,a∈[-4,2].

答案:[-4,2]

(1)误将“充分条件”理解为“充分不必要条件”,造成漏解端点值,得到错误答案;

(2)易忽略的情形,得到错误答案;

(3)列举不等关系时忽略非空集合B存在的前提-a>-2,导致错解.

1.(2019·浙江“五校联考”高考模拟)已知x+y>0,则“x>0”是“2|x|+x2>2|y|+y2”的(　B　)

(A)充分不必要条件

(B)必要不充分条件

(C)充分必要条件

(D)既不充分也不必要条件

解析:取特殊值,“x=2,y=3”推出2|x|+x2<2|y|+y2,所以充分性不成立.构造函数f(x)=2|x|+x2,为偶函数且在(0,+∞)上单调递增,若f(x)>f(y),则|x|>|y|,又x+y>0,所以x>0,必要性得证.故选B.

2.已知p:≥1,q:x2-2x+1-m2<0(m>0),若p是q的必要不充分条件,则实数m的取值范围是　. 

解析:由≥1移项通分得≥0,

解得-1<x≤4;

由x2-2x+1-m2<0得

[x-(1-m)][x-(1+m)]<0,

因为m>0,

所以解得1-m<x<1+m;

因为p是q的必要不充分条件,

则解得0<m≤2.

答案:(0,2]