高考数学一轮复习讲义第14章第1节第1课时坐标系与参数方程

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1．平面直角坐标系
设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′＝λ·x λ>0，,y′＝μ·yμ>0))的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．
2．极坐标系
(1)极坐标与极坐标系的概念
在平面内取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．点O称为极点，射线Ox称为极轴．平面内任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从射线Ox到射线OM的角度θ来刻画(如图所示)．这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标．ρ称为点M的极径，θ称为点M的极角．一般认为ρ≥0.当极角θ的取值范围是[0,2π)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ，θ) (ρ≠0)建立一一对应的关系．我们设定，极点的极坐标中，极径ρ＝0，极角θ可取任意角．
(2)极坐标与直角坐标的互化
设M为平面内的一点，它的直角坐标为(x，y)，极坐标为(ρ，θ)．由图可知下面关系式成立：
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝ρcsθ，,y＝ρsinθ))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ρ2＝x2＋y2，,tanθ＝\f(y,x)x≠0)).
这就是极坐标与直角坐标的互化公式．
3．常见曲线的极坐标方程
1．(2016·北京西城区模拟)求在极坐标系中，过点(2，eq \f(π,2))且与极轴平行的直线方程．
解 点(2，eq \f(π,2))在直角坐标系下的坐标为
(2cseq \f(π,2)，2sineq \f(π,2))，即(0,2)．
∴过点(0,2)且与x轴平行的直线方程为y＝2.
即为ρsinθ＝2.
2．在极坐标系中，已知两点A、B的极坐标分别为(3，eq \f(π,3))、(4，eq \f(π,6))，求△AOB(其中O为极点)的面积．
解 由题意知A、B的极坐标分别为(3，eq \f(π,3))、(4，eq \f(π,6))，则△AOB的面积S△AOB＝eq \f(1,2)OA·OB·sin∠AOB＝eq \f(1,2)×3×4×sineq \f(π,6)＝3.
3．在以O为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sinθ和直线ρsinθ＝a相交于A，B两点．当△AOB是等边三角形时，求a的值．
解 由ρ＝4sinθ可得x2＋y2＝4y，即x2＋(y－2)2＝4.
由ρsinθ＝a可得y＝a.
设圆的圆心为O′，y＝a与x2＋(y－2)2＝4的两交点A，B与O构成等边三角形，如图所示．
由对称性知∠O′OB＝30°，OD＝a.
在Rt△DOB中，易求DB＝eq \f(\r(3),3)a，∴B点的坐标为(eq \f(\r(3),3)a，a)．
又∵B在x2＋y2－4y＝0上，∴(eq \f(\r(3),3)a)2＋a2－4a＝0，
即eq \f(4,3)a2－4a＝0，解得a＝0(舍去)或a＝3.
题型一 极坐标与直角坐标的互化
例1 (1)以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程．
(2)在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ＝csθ和ρsinθ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，求曲线C1和C2交点的直角坐标．
解 (1)∵eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝ρcsθ，,y＝ρsinθ，))
∴y＝1－x化成极坐标方程为ρcsθ＋ρsinθ＝1，
即ρ＝eq \f(1,csθ＋sinθ).
∵0≤x≤1，∴线段在第一象限内(含端点)，
∴0≤θ≤eq \f(π,2).
(2)因为x＝ρcsθ，y＝ρsinθ，由ρsin2θ＝csθ，得ρ2sin2θ＝ρcsθ，所以曲线C1的直角坐标方程为y2＝x.由ρsinθ＝1，得曲线C2的直角坐标方程为y＝1.由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝x，,y＝1))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝1，))故曲线C1与曲线C2交点的直角坐标为(1,1)．
思维升华 (1)极坐标与直角坐标互化的前提条件：①极点与原点重合；②极轴与x轴的正半轴重合；③取相同的单位长度．(2)直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式x＝ρcsθ及y＝ρsinθ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些，解此类问题常通过变形，构造形如ρcsθ，ρsinθ，ρ2的形式，进行整体代换．
(1)曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程．
(2)求在极坐标系中，圆ρ＝2csθ垂直于极轴的两条切线方程．
解 (1)将x2＋y2＝ρ2，x＝ρcsθ代入x2＋y2－2x＝0，得ρ2－2ρcsθ＝0，整理得ρ＝2csθ.
(2)由ρ＝2csθ，得ρ2＝2ρcsθ，化为直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，即(x－1)2＋y2＝1，其垂直于x轴的两条切线方程为x＝0和x＝2，相应的极坐标方程为θ＝eq \f(π,2)(ρ∈R)和ρcsθ＝2.
题型二 求曲线的极坐标方程
例2 将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.
(1)写出曲线C的方程；
(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．
解 (1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C上的点(x，y)，依题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝x1，,y＝2y1.))
由＋yeq \\al(2,1)＝1得x2＋(eq \f(y,2))2＝1，
即曲线C的方程为x2＋eq \f(y2,4)＝1.
(2)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋\f(y2,4)＝1，,2x＋y－2＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝0，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝2.))
不妨设P1(1,0)，P2(0,2)，则线段P1P2的中点坐标为(eq \f(1,2)，1)，所求直线斜率为k＝eq \f(1,2)，
于是所求直线方程为y－1＝eq \f(1,2)(x－eq \f(1,2))，
化为极坐标方程，并整理得2ρcsθ－4ρsinθ＝－3，
即ρ＝eq \f(3,4sinθ－2csθ).
思维升华 求曲线的极坐标方程的步骤：(1)建立适当的极坐标系，设P(ρ，θ)是曲线上任意一点；(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式；(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程．
在极坐标系中，已知圆C经过点P(eq \r(2)，eq \f(π,4))，圆心为直线ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,3)))＝－eq \f(\r(3),2)与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．
解 在ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,3)))＝－eq \f(\r(3),2)中，
令θ＝0，得ρ＝1，
所以圆C的圆心坐标为(1,0)．
如图所示，因为圆C经过点
Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)，\f(π,4)))，
所以圆C的半径
PC＝eq \r(\r(2)2＋12－2×1×\r(2)cs \f(π,4))＝1，
于是圆C过极点，所以圆C的极坐标方程为ρ＝2csθ.
题型三 极坐标方程的应用
例3 (2015·课标全国Ⅰ)在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求C1，C2的极坐标方程；
(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝eq \f(π,4)(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．
解 (1)因为x＝ρcsθ，y＝ρsinθ，
所以C1的极坐标方程为ρcsθ＝－2，
C2的极坐标方程为ρ2－2ρcsθ－4ρsinθ＋4＝0.
(2)将θ＝eq \f(π,4)代入ρ2－2ρcsθ－4ρsinθ＋4＝0，
得ρ2－3eq \r(2)ρ＋4＝0，解得ρ1＝2eq \r(2)，ρ2＝eq \r(2).
故ρ1－ρ2＝eq \r(2)，即|MN|＝eq \r(2).
由于C2的半径为1，所以△C2MN为等腰直角三角形，
所以△C2MN的面积为eq \f(1,2).
思维升华 (1)已知极坐标系方程讨论位置关系时，可以先化为直角坐标方程；(2)在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，注意转化的等价性．
(2017·广州调研)在极坐标系中，求直线ρsin(θ＋eq \f(π,4))＝2被圆ρ＝4截得的弦长．
解 由ρsin(θ＋eq \f(π,4))＝2，得eq \f(\r(2),2)(ρsinθ＋ρcsθ)＝2可化为x＋y－2eq \r(2)＝0.圆ρ＝4可化为x2＋y2
＝16，由圆中的弦长公式得：2eq \r(r2－d2)＝2eq \r(42－\f(2\r(2),\r(2))2)＝4eq \r(3).故所求弦长为4eq \r(3).
1．(2015·广东)已知直线l的极坐标方程为2ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝eq \r(2)，点A的极坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\r(2)，\f(7π,4)))，求点A到直线l的距离．
解 依题可知直线l：2ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝eq \r(2)和点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\r(2)，\f(7π,4)))可化为l：x－y＋1＝0和A(2，－2)，所以点A到直线l的距离为d＝eq \f(|2－－2＋1|,\r(12＋－12))＝eq \f(5\r(2),2).
2．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ＜2π)中，求曲线ρ(csθ＋sinθ)＝1与ρ(sinθ－csθ)＝1的交点的极坐标．
解 曲线ρ(csθ＋sinθ)＝1化为直角坐标方程为x＋y＝1，ρ(sinθ－csθ)＝1化为直角坐标方程为y－x＝1.联立方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝1，,y－x＝1，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝1，))则交点为(0,1)，对应的极坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(π,2))).
3．在极坐标系中，已知圆ρ＝3csθ与直线2ρcsθ＋4ρsinθ＋a＝0相切，求实数a的值．
解 圆ρ＝3csθ的直角坐标方程为x2＋y2＝3x，
即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))2＋y2＝eq \f(9,4)，
直线2ρcsθ＋4ρsinθ＋a＝0的直角坐标方程为2x＋4y＋a＝0.
因为圆与直线相切，所以eq \f(|2×\f(3,2)＋4×0＋a|,\r(22＋42))＝eq \f(3,2)，
解得a＝－3±3eq \r(5).
4．在极坐标系中，求曲线ρ＝2csθ关于直线θ＝eq \f(π,4)对称的曲线的极坐标方程．
解 以极点为坐标原点，极轴为x轴建立直角坐标系，
则曲线ρ＝2csθ的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，
且圆心为(1,0)．
直线θ＝eq \f(π,4)的直角坐标方程为y＝x，
因为圆心(1,0)关于y＝x的对称点为(0,1)，
所以圆(x－1)2＋y2＝1关于y＝x的对称曲线为x2＋(y－1)2＝1.
所以曲线ρ＝2csθ关于直线θ＝eq \f(π,4)对称的曲线的极坐标方程为ρ＝2sinθ.
5．在极坐标系中，P是曲线C1：ρ＝12sinθ上的动点，Q是曲线C2：ρ＝12cs(θ－eq \f(π,6))上的动点，求|PQ|的最大值．
解 对曲线C1的极坐标方程进行转化：
∵ρ＝12sinθ，∴ρ2＝12ρsinθ，∴x2＋y2－12y＝0，
即x2＋(y－6)2＝36.
对曲线C2的极坐标方程进行转化：
∵ρ＝12cs(θ－eq \f(π,6))，
∴ρ2＝12ρ(csθcseq \f(π,6)＋sinθsineq \f(π,6))，
∴x2＋y2－6eq \r(3)x－6y＝0，∴(x－3eq \r(3))2＋(y－3)2＝36，
∴|PQ|max＝6＋6＋eq \r(3\r(3)2＋32)＝18.
6．在极坐标系中，O是极点，设A(4，eq \f(π,3))，B(5，－eq \f(5π,6))，求△AOB的面积．
解 如图所示，∠AOB＝2π－eq \f(π,3)－eq \f(5π,6)＝eq \f(5π,6)，
OA＝4，OB＝5，
故S△AOB＝eq \f(1,2)×4×5×sineq \f(5π,6)＝5.
7．已知P(5，eq \f(2π,3))，O为极点，求使△POP′为正三角形的点P′的坐标．
解 设P′点的极坐标为(ρ，θ)．
∵△POP′为正三角形，如图所示，
∴∠POP′＝eq \f(π,3).
∴θ＝eq \f(2π,3)－eq \f(π,3)＝eq \f(π,3)或θ＝eq \f(2π,3)＋eq \f(π,3)＝π.
又ρ＝5，∴P′点的极坐标为(5，eq \f(π,3))或(5，π)．
8．在极坐标系中，判断直线ρcsθ－ρsinθ＋1＝0与圆ρ＝2sinθ的位置关系．
解 直线ρcsθ－ρsinθ＋1＝0可化成x－y＋1＝0，圆ρ＝2sinθ可化为x2＋y2＝2y，即x2＋(y－1)2＝1.圆心(0,1)到直线x－y＋1＝0的距离d＝eq \f(|0－1＋1|,\r(2))＝0<1.故直线与圆相交．
9．在极坐标系中，已知三点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，－\f(π,3)))、N(2,0)、Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\r(3)，\f(π,6))).
(1)将M、N、P三点的极坐标化为直角坐标；
(2)判断M、N、P三点是否在一条直线上．
解 (1)由公式eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝ρcsθ，,y＝ρsinθ))得M的直角坐标为(1，－eq \r(3))；
N的直角坐标为(2,0)；P的直角坐标为(3，eq \r(3))．
(2)∵kMN＝eq \f(\r(3),2－1)＝eq \r(3)，kNP＝eq \f(\r(3)－0,3－2)＝eq \r(3).
∴kMN＝kNP，∴M、N、P三点在一条直线上．
10．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρcs(θ－eq \f(π,3))＝1，M，N分别为C与x轴、y轴的交点．
(1)写出C的直角坐标方程，并求M、N的极坐标；
(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．
解 (1)由ρcs(θ－eq \f(π,3))＝1
得ρ(eq \f(1,2)csθ＋eq \f(\r(3),2)sinθ)＝1.
从而C的直角坐标方程为eq \f(1,2)x＋eq \f(\r(3),2)y＝1，
即x＋eq \r(3)y＝2.
当θ＝0时，ρ＝2，所以M(2,0)．
当θ＝eq \f(π,2)时，ρ＝eq \f(2\r(3),3)，所以N(eq \f(2\r(3),3)，eq \f(π,2))．
(2)M点的直角坐标为(2,0)．
N点的直角坐标为(0，eq \f(2\r(3),3))．
所以P点的直角坐标为(1，eq \f(\r(3),3))．
则P点的极坐标为(eq \f(2\r(3),3)，eq \f(π,6))，
所以直线OP的极坐标方程为θ＝eq \f(π,6)(ρ∈R)．曲线
图形
极坐标方程
圆心在极点，半径为r的圆
ρ＝r(0≤θ<2π)
圆心为(r,0)，半径为r的圆
ρ＝2rcs_θ(－eq \f(π,2)≤θ圆心为(r，eq \f(π,2))，半径为r的圆
ρ＝2rsin_θ(0≤θ<π)
过极点，倾斜角为α的直线
θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R)
过点(a,0)，与极轴垂直的直线
ρcsθ＝a(－eq \f(π,2)<θ过点(a，eq \f(π,2))，与极轴平行的直线
ρsin_θ＝a(0<θ<π)