2021版高考数学导与练一轮复习（浙江版）知识梳理：第一章第一节　集　合

第一节　集　合复习目标学法指导1.集合的含义与表示.2.集合间的基本关系.(1)子集、真子集的概念.(2)空集的概念.3.集合的基本运算.(1)并集的含义.(2)交集的含义.(3)全集与补集.能利用集合的关系和运算及Venn图来求有限集合中元素的个数.1.能根据代表元素、元素性质识别集合.2.求解集合关系、运算问题时,能熟练应用Venn图或数轴,利用数形结合思想解题.3.能熟练地转化集合关系或运算符号表示的函数、方程不等式问题.一、集合的基本概念1.元素的特性(1)确定性;(2)互异性;(3)无序性.2.集合与元素的关系(1)a属于A,记为a∈A;(2)a不属于A,记为a∉A.3.常见集合的符号自然数集正整数集整数集有理数集实数集NN*或N+ZQR4.集合的表示方法(1)列举法;(2)描述法;(3)Venn图法.1.概念理解(1)元素特性之确定性的含义:元素a与集合A之间有且只有两种关系,a∈A或aA.(2)集合是由元素构成的,元素可以是数、字母、点等,明确集合中的元素是解题的关键.(3)集合的三种表示方法之间可以相互转化.2.与集合知识相关联的结论集合的分类:按集合中元素个数划分,可分为有限集、无限集、空集;按所含元素的属性分类,可分为点集、数集或其他集合.3.与集合应用相关联的结论(知识)(1)集合的运算求解中,对于所求字母的值一定要检验集合中元素的互异性.(2)对于集合相等首先要分析已知元素与另一个集合中哪一个元素相等,分几种情况列出方程组进行求解,或利用和与积相等列方程组求解.二、集合间的基本关系　　表示关系　　文字语言符号表示集合间的基本关系子集集合A中任意一个元素都是集合B的元素A⊆B或B⊇A真子集集合A是集合B的子集,并且B中至少有一个元素不属于AAB或BA相等集合A的每一个元素都是集合B的元素,集合B的每一个元素也都是集合A的元素A⊆B且B⊆A⇔A=B空集空集是任何集合的子集⊆A空集是任何非空集合的真子集B且B≠1.概念理解(1)子集与真子集的区别与联系:集合A的真子集一定是其子集,而A的子集不一定是其真子集.(2)元素与集合之间的关系是从属关系,集合与集合之间的关系是包含关系.2.与子集知识相关联的结论(1)包含关系具备传递性,即A⊆B,B⊆C,则A⊆C.(2)若有限集A中有n个元素,则A的子集个数为2n,非空子集个数为2n-1,真子集个数为2n-1,非空真子集个数为2n-2.3.与子集应用相关联的结论(1)在解题时,若未明确说明集合非空时,要考虑到集合为空集的可能性.例如:A⊆B,则需考虑A=和A≠两种可能的情况.(2)判断集合关系的三种方法①一一列举观察;②集合元素特征法:首先确定集合的元素是什么,弄清集合元素的特征,再利用其特征判断集合关系;③数形结合法:利用数轴或Venn图.三、集合的基本运算 并集交集补集图形表示意义{x|x∈A或x∈B}{x|x∈A且x∈B}{x|x∈U且x∉A}符号表示A∪BA∩B若全集为U,则集合A(A⊆U)的补集为UA1.概念理解并集定义中联结词为“或”,不能理解为“和”,否则会与元素的互异性冲突.2.与集合的运算相关的结论(1)A∪=A,A∪A=A,A∪B=A⇔B⊆A;(2)A∩=,A∩A=A,A∩B=B⇔B⊆A;(3)A∪(UA)=U,A∩(UA)=,U(UA)=A; (4)数形结合思想:数轴和Venn图是进行集合运算的有力工具,解题时要先把集合中说明元素特征的各种代数式化简,使之明确,尽可能借助数轴、坐标系或Venn图等工具,将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化,然后利用数形结合的思想方法解题.1.(2019·浙江卷)已知全集U={-1,0,1,2,3},集合A={0,1,2},B={-1,0,1},则(UA)∩B等于(　A　)(A){-1}    (B){0,1}(C){-1,2,3} (D){-1,0,1,3}解析:因为U={-1,0,1,2,3},A={0,1,2},所以UA={-1,3}.又因为B={-1,0,1},所以(UA)∩B={-1}.故选A.2.设全集U是实数集R,M={x|(x+2)(x-2)>0},N={x|-1<x≤5},则图中阴影部分表示的集合是(　D　)(A){x|-2≤x<-1} (B){x|x<-2或x>5}(C){x|-1<x≤2}    (D){x|x<-2或x>-1}解析:从Venn图可知阴影部分是M∪N,又M={x|x<-2或x>2},所以M∪N={x|x<-2或x>-1}.3.(2019·永康市高考适应性考试)已知集合P={x|x(x-2)≥0},Q=(x|>0),则P∩Q等于(　C　)(A)         (B){x|x≥2}(C){x|x>2}  (D){x|x≥2或x<0}解析:由题意得P={x|x≤0或x≥2},Q={x|x>2},故 P∩Q={x|x>2}.故选C.4.定义A-B={x|x∈A且x∉B},若M={1,2,3,4,5},N={2,3,6},则M-N=　　　　 . 解析:由定义A-B={x|x∈A且x∉B}可得M-N为M中去掉N的元素,所以M-N={1,4,5}.答案:{1,4,5}5.已知集合M={1,m},N={n,log2n}.若M=N,则(m-n)2 019=　　　　. 解析:若n=1,则m=log2n=log21=0,所以(m-n)2 019=-1;若log2n=1,即n=2,m=n=2,所以(m-n)2 019=0.答案:0或-1考点一　集合的基本概念[例1] (1)(2018·全国Ⅱ卷)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},则A中元素的个数为(　　)(A)9 (B)8 (C)5 (D)4(2)已知a∈R,若(a,,1)={a2,a+b,0},则a+b=　　　　. 解析:(1)将满足x2+y2≤3的整数x,y全部列举出来,即(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,-1),(0,0),(0,1),(1,-1),(1,0),(1,1),共有9个.故选A.(2)由集合元素的互异性知a≠0且a≠1,所以由知答案:(1)A　(2)-1 (1)考查集合元素个数的判断,研究一个集合,首先要看清集合的代表元素,然后再分析元素的限制条件,当集合用描述法表示时,注意弄清其元素表示的意义是什么.(2)考查集合内元素的特征:互异性与无序性,对于含有字母的集合求解要分类讨论,并在求出字母的值后,注意检验集合元素是否满足互异性.若集合A={1,2,3},B={(x,y)|x+y-4>0,x,y∈A},则集合B中的元素个数为(　D　)(A)9 (B)6 (C)4 (D)3解析:列举法,将满足x+y-4>0,x,y∈A的元素一一列举出来,有(2,3),(3,3),(3,2),所以B中有3个元素.故选D.考点二　集合的基本关系[例2] (1)已知集合A={x||x-2|<1},集合B={x|x<m},若A⊆B,则m的取值范围是(　　)(A){m|m≥3} (B){m|m≤2}(C){m|m>3} (D){m|m<2}(2)设A={x|x2-8x+15=0},B={x|ax-1=0},若B⊆A,则实数a的取值组成的集合C=　　　　. 解析:(1)根据题意,|x-2|<1,等价于-1<x-2<1,1<x<3,那么根据数轴法可知,要使得集合A是集合B的子集,则可知m≥3,故选A.(2)因为A={3,5},B⊆A,所以当B=时,方程ax-1=0无解,则a=0,此时有B⊆A;当B≠时,则a≠0,由ax-1=0,得x=,即⊆{3,5},所以=3或=5,所以a=或a=,所以C={0,,}.答案:(1)A　(2) {0,,} (1)空集是任何集合的子集,在涉及集合关系时,必须优先考虑空集的情况,否则会造成漏解;(2)已知两集合关系求参数时,关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数所满足的关系,常用数轴、Venn图来直观解决这类问题.设M为非空的数集,M⊆{1,2,3},且M中至少含有一个奇数元素,则这样的集合M共有(　A　)(A)6个 (B)5个 (C)4个 (D)3个解析:若M中只有一个奇数元素,则M={1},{3},{1,2},{2,3};若M中含有两个奇数元素,则M={1,3},{1,2,3},所以选A.考点三　集合的基本运算[例3] (1)(2019·全国Ⅱ卷)设集合A={x|x2-5x+6>0},B={x|x-1<0},则A∩B等于(　　)(A)(-∞,1) (B)(-2,1)(C)(-3,-1) (D)(3,+∞)(2)已知集合M,NI,若M∩N=N,则(　　)(A)IM⊇IN (B)M⊆IN(C)IM⊆IN (D)M⊇IN(3)已知集合A={x|x<a},B={x|1≤x<2},且A∪(RB)=R,则实数a的取值范围是(　　)(A){a|a≤1} (B){a|a<1}(C){a|a≥2} (D){a|a>2}解析:(1)由题意得,A={x|x<2或x>3},B={x|x<1},则A∩B={x|x<1}.故选A.(2)根据条件作出Venn图如图所示.由Venn图得IM⊆IN,故选C.(3)RB={x|x<1或x≥2},若A∪(RB)=R,由数轴可知,a≥2,选C. (1)有关集合的运算要注意以下两点:①要关注集合中的代表元素是什么.②要对集合的化简进行恒等变换,并且特别注意是否含端点.(2)有关集合的运算常有以下技巧:①离散型数集或抽象集合间的运算,常借助Venn图求解;②连续型数集的运算,常借助数轴求解;③已知集合的运算结果求集合,借助数轴或Venn图求解;④根据集合运算求参数,先把符号语言译成文字语言,然后适时应用数形结合求解.1.(2019·温州市高考适应性考试)已知集合A={1,2,-1},集合B={y|y=x2,x∈A},则A∪B等于(　C　)(A){1} (B){1,2,4}(C){-1,1,2,4} (D){1,4}解析:由题意得B={1,4},故A∪B={1,2,-1,4}.故选C.2.设A,B是非空集合,定义A*B={x|x∈(A∪B),且x∉(A∩B)},已知A={x|0≤x≤3},B={y|y≥1},则A*B=　　　　 . 解析:由题意,A∪B=[0,+∞),A∩B=[1,3],所以A*B=[0,1)∪(3,+∞).答案:[0,1)∪(3,+∞)考点四　易错辨析[例4] 设集合A={0,-4},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0,x∈R},若A∩B=B,则实数a的取值范围是　　　　. 解析:因为A∩B=B,所以B⊆A,分以下三种情况:①当B=A时,0和-4是方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的两个根,得解得a=1;②当B≠且BA时,B={0}或B={-4},并且Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=0,解得a=-1,此时B={0}满足题意;③当B=时,Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<0,解得a<-1.综上所述,a≤-1或a=1.答案:(-∞,-1]∪{1}由A∩B=B,可知B⊆A,所以B可以为,解题时易忽视方程无解的情况,造成漏解,此外B中只有一个元素时,即方程有两个相等的根时,若代入求参数,忽视Δ=0易导致增解.已知M={(x,y)=3},N={(x,y)|ax+2y+a=0},且M∩N=,则a等于(　A　)(A)-6或-2 (B)-6 (C)2或-6      (D)2解析:M={(x,y)=3}={(x,y)|y=3x-3,x≠2},N={(x,y)|ax+2y+a=0}={(x,y)| y=-x-},由M∩N=,所以两直线平行或直线ax+2y+a=0过(2,3)点,得a的值为-6或-2,故选A.