(导与练)2020版高考数学一轮复习(文数)习题：第2篇 第3节　函数的奇偶性与周期性(含解析)

www.ks5u.com第3节　函数的奇偶性与周期性

【选题明细表】

基础巩固(时间:30分钟)

1.(2018·云南玉溪模拟)下列函数中,既是偶函数,又在(0,1)上单调递增的函数是(　C　)

(A)y=|log3x|  (B)y=x3

(C)y=e|x|     (D)y=cos |x|

解析:对于A选项,函数定义域是(0,+∞),故是非奇非偶函数;对于B选项,函数y=x3是一个奇函数,不正确;对于C选项,函数的定义域是R,是偶函数,且当x∈(0,+∞)时,函数是增函数,故在(0,1)上单调递增,选项C正确;对于D选项,函数y=cos |x|是偶函数,在(0,1)上单调递减,不正确.故选C.

2.已知f(x)在R上是奇函数,且满足f(x+4)=f(x),当x∈(-2,0)时,f(x)=2x2,则f(2 019)等于(　B　)

(A)-2   (B)2   (C)-98   (D)98

解析:由f(x+4)=f(x)知,f(x)是周期为4的周期函数,

f(2 019)=f(504×4+3)=f(3)=f(-1).

由-1∈(-2,0)得f(-1)=2,所以f(2 019)=2.故选B.

3.(2018·石家庄一模)已知f(x)为偶函数,且当x∈[0,2)时,f(x)=2sin x,当x∈[2,+∞)时,f(x)=log2x,则f(-)+f(4)等于(　D　)

(A)-+2  (B)1

(C)3     (D)+2

解析:因为f(-)=f()=2sin =,f(4)=log24=2,所以f(-)+f(4)=

+2.

4.设函数f(x)=,则下列结论错误的是(　D　)

(A)|f(x)|是偶函数

(B)-f(x)是奇函数

(C)f(x)·|f(x)|是奇函数

(D)f(|x|)·f(x)是偶函数

解析:f(-x)==-f(x),

所以函数f(x)是奇函数,|f(-x)|=|f(x)|,

函数|f(x)|是偶函数,-f(x)是奇函数,

f(x)·|f(x)|为奇函数,f(|x|)是偶函数,

所以f(|x|)·f(x)是奇函数,所以错的是D.故选D.

5.(2018·河北“五个一”名校联盟二模)设函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x)=则g(-8)等于(　A　)

(A)-2   (B)-3   (C)2   (D)3

解析:法一　当x<0时,-x>0,且f(x)为奇函数,

则f(-x)=log3(1-x),

所以f(x)=-log3(1-x).

因此g(x)=-log3(1-x),x<0,

故g(-8)=-log39=-2.

法二　由题意知,

g(-8)=f(-8)=-f(8)=-log39=-2.故选A.

6.(2018·南昌模拟)若定义域为R的函数f(x)在(4,+∞)上为减函数,且函数y=f(x+4)为偶函数,则(　D　)

(A)f(2)>f(3) (B)f(2)>f(5)

(C)f(3)>f(5) (D)f(3)>f(6)

解析:因为y=f(x+4)为偶函数,

所以f(-x+4)=f(x+4),

因此y=f(x)的图象关于直线x=4对称,

所以f(2)=f(6),f(3)=f(5).

又y=f(x)在(4,+∞)上为减函数,

所以f(5)>f(6),

所以f(3)>f(6).故选D.

7.若f(x)=ln(e3x+1)+ax是偶函数,则a=　　　　. 

解析:由于f(-x)=f(x),

所以ln(e-3x+1)-ax=ln(e3x+1)+ax,

化简得2ax+3x=0(x∈R),则2a+3=0.

所以a=-.

答案:-

8.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+2)=-,当2≤x≤3时,

f(x)=x,则f(105.5)=　           . 

解析:f(x+4)=f[(x+2)+2]=-=f(x).

故函数的周期为4,

所以f(105.5)=f(4×27-2.5)=f(-2.5)=f(2.5),

因为2≤2.5≤3,

由题意,得f(2.5)=2.5,所以f(105.5)=2.5.

答案:2.5

9.设函数f(x)=ln(1+|x|)-,则使得f(x)>f(2x-1)成立的x的取值范围是　　　　. 

解析:由f(x)=ln(1+|x|)-,知f(x)为R上的偶函数,于是f(x)>

f(2x-1),

即为f(|x|)>f(|2x-1|).

当x≥0时,f(x)=ln(1+x)-,

所以f(x)为[0,+∞)上的增函数,

则由f(|x|)>f(|2x-1|)得|x|>|2x-1|,

两边平方,整理得3x2-4x+1<0,解得<x<1.

答案:(,1)

能力提升(时间:15分钟)

10.(2018·吉林省实验中学模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x),当x∈[-2,0]时,f(x)=-2x,则f(1)+f(4)等于(　D　)

(A) (B)1 (C)-1 (D)-

解析:因为f(x)是定义在R上的偶函数,

且f(x+4)=f(x),

所以f(x)是以4为周期的周期函数,

又因为x∈[-2,0]时,f(x)=-2x,

所以f(1)+f(4)=f(-1)+f(0)

=-2-1-20

=--1

=-.

故选D.

11.(2018·山东、湖北部分重点中学模拟)已知定义在R上的函数f(x)在[1,+∞)上单调递减,且f(x+1)是偶函数,不等式f(m+2)≥f(x-1)对任意的x∈[-1,0]恒成立,则实数m的取值范围是(　A　)

(A)[-3,1] 

(B)[-4,2]

(C)(-∞,-3]∪[1,+∞) 

(D)(-∞,-4]∪[2,+∞)

解析:f(x+1)是偶函数,所以f(-x+1)=f(x+1),所以f(x)的图象关于x=1对称,由f(m+2)≥f(x-1)得|(m+2)-1|≤|(x-1)-1|,所以|m+1|≤2,解得-3≤m≤1.故选A.

12.(2017·安徽马鞍山三模)函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)与f(x-1)都是奇函数,则f(5)等于(　B　)

(A)-1 (B)0 (C)1 (D)5

解析:因为函数f(x+1),f(x-1)都是奇函数,

所以f(1)=f(-1)=0,函数f(x)既关于(1,0)对称,又关于(-1,0)对称,

即f(2-x)=-f(x),f(-2-x)=-f(x),

那么f(2-x)=f(-2-x),即f(2+x)=f(-2+x),

所以f(x)=f(x+4),

因此函数的周期是4,f(5)=f(1)=0.故选B.

13.已知奇函数f(x)=则f(-2)的值等于　　　　. 

解析:因为函数f(x)为奇函数,所以f(0)=0,

则30-a=0,

所以a=1,

所以当x≥0时,f(x)=3x-1,

则f(2)=32-1=8,

因此f(-2)=-f(2)=-8.

答案:-8

14.已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数,且当0≤x<2时,

f(x)=x3-x,则函数y=f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点个数为　　　　. 

解析:因为当0≤x<2时,f(x)=x3-x,

又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数,且f(0)=0,

则f(6)=f(4)=f(2)=f(0)=0.

又f(1)=0,

所以f(3)=f(5)=f(1)=0,

故函数y=f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点有7个.

答案:7

15.(2018·湖北荆州中学质检)若函数f(x)=为奇函数,g(x)=

则不等式g(x)>1的解集为　　　　. 

解析:因为f(x)=为奇函数且定义域为R,

所以f(0)=0,

即=0,

解得a=-1,

所以g(x)=

所以当x>0时,由-ln x>1,

解得x∈(0,);

当x≤0时,由e-x>1,

解得x∈(-∞,0),

所以不等式g(x)>1的解集为(-∞,0)∪(0,).

答案:(-∞,0)∪(0,)