(导与练)2020版高考数学一轮复习(文数)习题：第2篇 第4节　幂函数与二次函数(含解析)

www.ks5u.com第4节　幂函数与二次函数

【选题明细表】

基础巩固(时间:30分钟)

1.幂函数f(x)=(m2-4m+4)·在(0,+∞)上为增函数,则m的值为(　B　)

(A)1或3   (B)1   (C)3   (D)2

解析:由题意知解得m=1.

2.(2018·山东济宁一中检测)下列命题正确的是(　D　)

(A)y=x0的图象是一条直线 

(B)幂函数的图象都经过点(0,0),(1,1)

(C)若幂函数y=xn是奇函数,则y=xn是增函数

(D)幂函数的图象不可能出现在第四象限

解析:A中,当α=0时,函数y=xα的定义域为{x|x≠0,x∈R},其图象为一条直线上挖去一点,A错;B中,y=xn,当n<0时,图象不过原点,B不正确.C中,当n<0,y=xn在(-∞,0),(0,+∞)上为减函数,C错误.幂函数图象一定过第一象限,一定不过第四象限,D正确.

3.(2018·郑州检测)若函数f(x)=x2+ax+b的图象与x轴的交点为(1,0)和(3,0),则函数f(x)(　A　)

(A)在(-∞,2]上递减,在[2,+∞)上递增

(B)在(-∞,3)上递增

(C)在[1,3]上递增

(D)单调性不能确定

解析:由已知可得该函数图象的对称轴为x=2,又二次项系数为1>0,所以f(x)在(-∞,2]上是递减的,在[2,+∞)上是递增的.

4.设a=(),b=(),c=(),则a,b,c的大小关系是(　B　)

(A)a<c<b  (B)b<c<a

(C)b<a<c  (D)c<b<a

解析:令函数f(x)=,易知函数f(x)=在(0,+∞)上为增函数,又>,所以a=()>()=c,令函数g(x)=()x,易知函数g(x)=()x在(0,+∞)上为减函数,又>,所以b=()<()=c.综上可知,b<c<a,故选B.

5.如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,图象过点A(-3,0),对称轴为x=-1,给出下面四个结论:

①b2>4ac;②2a-b=1;③a-b+c=0;④5a<b.其中正确的是(　B　)

(A)②④ (B)①④ (C)②③ (D)①③

解析:因为图象与x轴交于两点,所以b2-4ac>0,

即b2>4ac,①正确;对称轴为x=-1,

即-=-1,2a-b=0,②错误;

结合图象,当x=-1时,y=a-b+c>0,③错误;

由对称轴为x=-1知,b=2a,又函数图象开口向下,

所以a<0,

所以5a<2a,即5a<b,④正确.故选B.

6.若关于x的不等式x2-4x-2-a>0在区间(1,4)内有解,则实数a的取值范围是(　A　)

(A)(-∞,-2) (B)(-2,+∞) 

(C)(-6,+∞) (D)(-∞,-6)

解析:不等式x2-4x-2-a>0在区间(1,4)内有解等价于a<(x2-4x-2)max,

令f(x)=x2-4x-2,x∈(1,4),f(x)<f(4)=-2,

所以a<-2.

7.二次函数f(x)=2x2+bx+c满足{x|f(x)=x}={1},则f(x)在区间[-2,2]上的最大值为(　C　)

(A)4 (B)8 (C)16  (D)20

解析:由题方程2x2+bx+c=x仅有一个根1,即2x2+(b-1)x+c=0仅有一个根.

得b=-3,c=2.

f(x)=2x2-3x+2,对称轴为x=,

f(x)max=f(-2)=16.故选C.

8.(2018·武汉模拟)若函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(常数a,b∈R)是偶函数,且它的值域为(-∞,4],则该函数的解析式f(x)=　　　　. 

解析:由f(x)是偶函数知f(x)的图象关于y轴对称,

所以b=-2,所以f(x)=-2x2+2a2,

又f(x)的值域为(-∞,4],

所以2a2=4,故f(x)=-2x2+4.

答案:-2x2+4

9.(2018·泉州质检)若二次函数f(x)=ax2-x+b(a≠0)的最小值为0,则a+4b的取值范围是　　　　. 

解析:依题意,知a>0,且Δ=1-4ab=0,

所以4ab=1,且b>0.故a+4b≥2=2.

当且仅当a=4b,即a=1,b=时等号成立.

所以a+4b的取值范围是[2,+∞).

答案:[2,+∞)

能力提升(时间:15分钟)

10.在同一坐标系内,函数y=xa(a≠0)和y=ax+的图象可能是(　B　)

解析:若a<0,由y=xa的图象知排除C,D选项,由y=ax+的图象知选项B有可能;若a>0,由y=xa的图象知排除A,B选项,但y=ax+的图象均不适合.综上选B.

11.(2018·秦皇岛模拟)已知函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),且2是f(x)的一个零点,-1是f(x)的一个极小值点,那么不等式f(x)>0的解集是(　C　)

(A)(-4,2) 

(B)(-2,4)

(C)(-∞,-4)∪(2,+∞) 

(D)(-∞,-2)∪(4,+∞)

解析:依题意,f(x)是二次函数,其图象是抛物线,开口向上,对称轴

为x=-1,方程ax2+bx+c=0的一个根是2,另一个根是-4.因此f(x)=

a(x+4)(x-2)(a>0),于是f(x)>0,解得x>2或x<-4.

12.(2018·浙江“超级全能生”模拟)已知在(-∞,1]上递减的函数f(x)=x2-2tx+1,且对任意的x1,x2∈[0,t+1],总有|f(x1)-f(x2)|≤2,则实数t的取值范围是(　B　)

(A)[-,] (B)[1,] 

(C)[2,3]   (D)[1,2]

解析:由于f(x)=x2-2tx+1的图象的对称轴为x=t.

又y=f(x)在(-∞,1]上是减函数,所以t≥1.

则在区间[0,t+1]上,f(x)max=f(0)=1,

f(x)min=f(t)=t2-2t2+1=-t2+1,

要使对任意的x1,x2∈[0,t+1],

都有|f(x1)-f(x2)|≤2,

只需1-(-t2+1)≤2,解得-≤t≤.

又t≥1,所以1≤t≤.

13.已知二次函数f(x)满足f(2+x)=f(2-x),且f(x)在[0,2]上是增函数,若f(a)≥f(0),则实数a的取值范围是　　　　. 

解析:由题意可知函数f(x)的图象开口向下,对称轴为x=2(如图),若f(a)≥f(0),从图象观察可知0≤a≤4.

答案:[0,4]

14.如果函数f(x)=ax2+2x-3在区间(-∞,4)上单调递增,则实数a的取值范围是　　　　. 

解析:当a=0时,f(x)=2x-3在(-∞,4)上单调递增.

当a≠0时,若f(x)在(-∞,4)上单调递增.

则

解之得-≤a<0.

综上可知,实数a的取值范围是[-,0].

答案:[-,0]

15.已知函数f(x)=ax2+bx+c(a>0,b,c∈R).

(1)若函数f(x)的最小值是f(-1)=0,且c=1,

F(x)=求F(2)+F(-2)的值;

(2)若a=1,c=0,且|f(x)|≤1在区间(0,1]上恒成立,试求b的取值

范围.

解:(1)由已知c=1,a-b+c=0,且-=-1,

解得a=1,b=2,所以f(x)=(x+1)2.

所以F(x)=

所以F(2)+F(-2)=(2+1)2+[-(-2+1)2]=8.

(2)由a=1,c=0,得f(x)=x2+bx,

从而|f(x)|≤1在区间(0,1]上恒成立等价于-1≤x2+bx≤1在区间(0,1]上恒成立,

即b≤-x且b≥--x在(0,1]上恒成立.

又-x的最小值为0,--x的最大值为-2.

所以-2≤b≤0.

故b的取值范围是[-2,0].